Н.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. Волков - Дифференциальные уравнения. Курс лекций, страница 22

Внутри промежутка −a < x < a этим значениям Cсоответствуют замкнутые фазовые траектории, а при x > a - незамкнутые фазовые траектории(рис.6, кривые красного цвета).При больших по абсолютной величине отрицательных значениях C функцияp2U (x ) = −принимает неотрицательные значения только если x достаточно велико. Этим2значениям C соответствуют незамкнутые фазовые траектории, обозначенные на рисунке 6сиреневым цветом.б)Несимметричный случай.Построим фазовый портрет уравненияd 2x= f (x ) ≡ x ( x + a1 )( x − a2 ) ,0 < a 2 < a1 .dt 2Точки покоя этого уравнения:x = 0, x = −a1, x = a 2 .На рисунке 7 показан график функции f (x ) = x ( x + a1 )( x − a2 ) .

Определим по этомуграфику знак производной fx′ для каждого значения x , соответствующего точкам покоя:fx′ ( 0 ) < 0, fx′ ( −a1 ) > 0, fx′ (a2 ) > 0 . Следовательно, точка ( 0, 0 ) - точка покоя центр, а точки( −a1, 0 ) и (a2, 0 )- сёдла.p2= ∫ f (x )dx + C . При достаточно2больших C > 0 график первообразной приподнимется над осью OY (кривые синего цвета).Если значение C уменьшается, то график первообразной опускается.xp2Сиреневым цветом показана первообразная= ∫ f (s )ds .

Она касается оси OY в точке2 a2На рисунке 8 изображены графики первообразных(a2, 0 ) .На фазовой плоскости (рис.9) ей соответствуют сепаратрисы седла (a2 , 0 ) .xСепаратрисы седла (−a1 , 0) описываются уравнением p = ± 2 ∫ f (s ) ds и изображены−a1на фазовой плоскости (рис.9) черным цветом. В остальном рассмотрение фазового портретааналогично случаю с квадратичной нелинейностью.f(x)рис.7S1S1S2S2-а1рис.8а2xp22а2-а1xрис.9pxПример 3.Математический маятник.Рассмотрим поведение фазовых кривых следующего автономного ОДУ второго порядка:d 2x= f (x ) ≡ − sin x .dt 2Это уравнение эквивалентно системе ОДУ 1-го порядка••x = p,p = − sin x .Корни x = π mуравнения f ( x ) = 0 определяют точки покоя этой системы ДУ⎧⎪−1, m = 2kЗаметим,чтоfx′ (π m ) = ⎨, k ∈Z ,следовательно,(x m , p ) = (π m, 0 ) .⎪⎩ 1, m = 2k + 1(x 2k +1, p ) = ( (2k + 1) π , 0 ) - точки покоя типа седло, (x 2k , p ) = ( 2k π , 0 ) - точки покоя типа центр.Получим явное выражение для фазовых траекторий:p2= − ∫ sin xdx + C = − cos x + C .2В рассматриваемом случае U (x ) = − cos x , поэтому, уравнения фазовых траекторийp = ± 2 cos x + C ,C ≥ −2 .Фазовый портрет изображен на рисунке 10.Рис.

10При C = 2 получаем сепаратрису, соединяющую точки покоя. Если −2 < C < 2 , тофазовые траектории замкнуты и заполняют область между сепаратрисами («захваченные»частицы, совершающие финитные колебания в потенциальных ямах). В случае C > 2 фазовыетраектории незамкнуты и соотвествуют «пролетным» частицам, движение которых инфинитно(периодические колебания около некоторого значения скорости), причем верхней и нижнейветвям фазовых кривых соответствуют различные направления скорости.Задание.Докажите устойчивость точки покоя (0, 0) математического маятника1) при помощи определения;x2) методом функций Ляпунова, выбрав V (x , p) = 4 sin2 + p 2 .2Глава 7.

Понятие об асимптотических методахЛекция 12§ 1.Регулярно и сингулярно возмущенные задачи.При построении математических моделей физических объектов, характеризующихсяразличными масштабами по пространству, либо различными скоростями протекающих всистеме процессов, часто возникают задачи, содержащие малые параметры. В этих случаяхестественно поставить вопрос: если упростить математическую модель, положив малыйпараметр равным нулю (т.е. пренебречь влиянием некоторых процессов или составных частейфизической системы), получим ли мы решение, приближенно описывающее исходный объектмоделирования?Пусть математическая модель в некоторой области D изменения переменныхописывается уравнением(1)Lμ u = 0 ,где оператор Lμ зависит от малого параметра μ .Обозначим решение этой задачиuμ .Положив параметр μ равным нулю, получим вырожденное (т.е.

при μ = 0 ) уравнениеL0u = 0 , решение которого обозначим u0 .Определение. Задача (1) называется регулярно возмущенной, если решение u0 вырожденногоуравнения L0u = 0 дает равномерное в области D приближение для решения u μ задачи (1).В противном случае задача (1) называется сингулярно возмущенной.Примером регулярно возмущенной задачи является задача Коши для обыкновенногодифференциального уравнения на конечном отрезке 0 ≤ x ≤ H , малый параметр μ в которомнаходится в правой части, т.е.dy= f ( y, x, μ ),(2)dx0y (0, μ ) = yгде 0 < μ ≤ μ0 - малый параметр. В этом случае работает доказанная ранее теорема онепрерывной зависимости решения от параметра и, следовательно, полагая формально μ = 0 ,получаем (обычно более простую) задачуdy= f ( y, x, 0 ),dx0y (0) = yрешение которой y ( x ) дает равномерное на отрезке 0 ≤ x ≤ H приближение для решениязадачи (2).Если же малый параметр входит в уравнение как множитель при производной (старшейпроизводной), напримерdyμ = f ( y, x, μ ),(3)dx0y (0, μ ) = yто вырожденной уравнение f ( y, x, 0) = 0 уже не будет дифференциальным, и его решениеy ( x ) , вообще говоря, не удовлетворяет начальному условию, т.е.

не дает равномерного на всемотрезке 0 ≤ x ≤ H приближения для решения задачи (3).Пример.Рассмотрим задачуdy= −y,dxy(0) = 1μ−xрешением которой является функция y ( x, μ ) = e μ . Если же положить μ = 0 , то получимвырожденное уравнение f ( x, y , 0) ≡ − y = 0 , решение которого y ( x ) ≡ 0 не близко к точному−xрешению y ( x, μ ) = e μ в окрестности точки x = 0 . Характерной особенностью подобных задачявляется наличие пограничного слоя, т.е. области вблизи начальной (или внутренней) точки,где происходит очень резкое изменение решения (см. рис.

1).§ 2.Регулярно возмущенная задача10.Асимптотическое приближение решения по малому параметру.Рассмотрим задачу Кошиdy= f ( y, x, μ ), 0 < x ≤ H , 0 < μ ≤ μ0,(4)dx0y (0, μ ) = y ( μ )Полагая μ = 0 , получим задачуdy= f ( y, x, 0 ),(5)dx0y (0) = yрешение которой y ( x ) , как было отмечено выше, дает равномерное на отрезке 0 ≤ x ≤ Hприближение решения задачи (4), т.е. y ( x, μ ) − y ( x ) = α ( μ ) , где α ( μ ) → 0 при μ → 0 .Чтобы уточнить полученное приближение, будем искать решение задачи (4) в виде рядапо степеням малого параметра μ(6)y ( x, μ ) = y0 ( x ) + μ y1 ( x ) + μ 2 y2 ( x ) + ...

.Подставим это разложение в (4) и представим правую часть уравнения (4) и начальноеусловие также в виде рядов по степеням μ :dy0dy+ μ 1 + ... = f ( y0 ( x) + μ y1 ( x) + ..., x, μ ) ≡ f ( y0 , x, 0) + μ ⎡⎣ f y ( y0 , x, 0) ⋅ y1 ( x) + f μ ( y0 , x, 0) ⎤⎦ + ....dxdx001y ( μ ) = y + μ y + ...Приравнивая теперь члены при одинаковых степенях параметра μ в правых и левых частяхуравнения и начального условия в (4), получим последовательность задач для определенияфункций yi ( x) в разложении (6).⎧ dy0= f ( y0 , x, 0)⎪μ : →1.⎨ dx⎪ y (0) = y 0⎩ 0Эта задача совпадает с (5). Потребуем, чтобы ее решение y0 ( x) = y ( x) существовало наотрезке 0 ≤ x ≤ H и было единственным.

Далее,⎧ dy1= f y ( y0 ( x), x, 0) ⋅ y1 + f μ ( y0 ( x), x, 0)⎪12.μ : →⎨ dx⎪⎩ y1 (0) = 00Задача для y1 ( x) является линейной и ее решение может быть получено в квадратурах,например, методом вариации постоянной. Аналогично находятся следующие члены ряда (6),причем задачи для yi ( x), i = 2,3,...

также будут линейными. Справедлива следующаяТеорема 1. Пусть:1) в некоторой области D = {| y |< b, 0 ≤ x ≤ H , 0 ≤ μ ≤ μ 0 } пространства переменныхявляется непрерывной вместе со всеми частными( y, x, μ ) функция f ( y, x, μ )производными до n + 1 - го порядка;2) вырожденная задача (5) имеет на отрезке 0 ≤ x ≤ H единственное решение y0 ( x) .Тогда при достаточно малых μ ( 0 < μ ≤ μ1 ≤ μ0 ) на сегменте 0 ≤ x ≤ H существуетединственное решение y = y ( x, μ ) задачи (4), причем имеет место оценкаy ( x, μ ) − Yn ( x, μ ) ≤ C μ n +1 ,где C > 0 - некоторая постоянная, не зависящая от параметра μ , а Yn ( x, μ ) - частичная суммаряда (6).Доказательство этой теоремы мы не приводим. Его можно найти, например, в книгеА.Б.Васильевой иВ.Ф.Бутузова“Асимптотические разложения решений сингулярновозмущенных уравнений”. Далее проиллюстрируем результат на конкретных примерах.Пример 1.Рассмотрим задачу Кошиdz= 1 + μ z ≡ F ( x, z , μ )dxz (0, μ ) = 1 + 2 μ ≡ h( x, μ )Точным решением ее являетсяx>0.1z ( x, μ ) = (1 + 2μ ) ⋅ e μ x + (e μ x − 1) .μБудем строить решение в виде ряда по параметру μ : z = z0 ( x ) + μ z1 ( x) + μ 2 z2 ( x ) + ...