Н.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. Волков - Дифференциальные уравнения. Курс лекций, страница 21

Корни характеристическогоуравнения−λ1= λ 2 − fx′ ( x i0 ) = 0⇒λ1,2 = ± fx′ ( x i0 ) .0fx′ ( x i ) −λЕсли fx′ ( x i0 ) > 0 , то характеристические числа действительные и разных знаков, еслиfx′ ( x i0 ) < 0 , то характеристические числа чисто мнимые. В первом случае из теоремы Ляпуноваоб устойчивости по первому приближению следует, что соответствующая точка покоя системы(2) является неустойчивой.

Во втором случае эта теорема ответ об устойчивости не дает.Для системы первого приближения в случае действительных λ1,2 разных знаков точкапокоя является седлом, а в случае чисто мнимых λ1,2 - центром. Эта классификацияпереносится и на систему (2) и уравнение (1).30.Фазовые траектории.В области p > 0 фазовый портрет системы (2), а, следовательно, и уравнения (1)образуют фазовые траектории, являющиеся интегральными кривыми уравненияdp f (x )=(4)dxpПеременные в уравнении (4) разделяются pdp = f (x )dx , откудаp2= ∫ f (x )dx + Cилиp = 2∫ f (x )dx + C .2Аналогично, в области p < 0 ,p = − 2 ∫ f (x )dx + C .Cинтегральные кривые, если они существуют,Очевидно, что при каждомрасположены симметрично относительно оси x на фазовой плоскости. Фазовые траекторииуравнения (4), проходящие через точки покоя типа седла, называют сепаратрисами.

Можнопоказать, что движение точки фазовой плоскости по сепаратрисам, проходящим через данноеседло ( x 0, 0 ) , происходит так, что точка приближается к этому седлу при t → +∞ или приt → −∞ .Уравнения сепаратрис, проходящих через седловую точку ( x 0, 0 ) , удобно записывать ввидеxp = ± 2 ∫ f (s )ds .(5)x0Отметим, что в силу автономности уравнения (1) и единственности решения задачи Коши дляэтого уравнения, через каждую точку ( x 0 , p 0 ) фазовой плоскости может проходить только однафазовая траектория, откуда следует, что фазовые траектории уравнения (1) не пересекаются.Точки покоя не могут лежать на фазовых траекториях системы, поскольку они сами являютсярешениями системы, и таким образом, будет нарушена единственность решения системы.Фазовые траектории могут лишь стремиться к указанным точкам при t → +∞ или при t → −∞ .Если начальное условие задачи Коши соответствует точке покоя, то решение не меняется приизменении t , оставаясь этой точкой покоя.40.Примеры решения задач.Пример 1.Уравнение с квадратичной нелинейностью.d 2x= x (a − x ) ≡ f ( x ) , где a > 0 .Рассмотрим уравнение видаdt 2эквивалентно системе ОДУ 1-го порядка:•x = p,•p = x (a − x)Это уравнение(6)Корни x1 = 0, x2 = a уравнения f ( x ) = 0 определяют две точки покоя системы (6)( x , p ) = ( 0, 0 ) и ( x , p ) = (a, 0 ) .

Причем, fx′ ( 0 ) = a > 0 ; fx′ (a ) = −a < 0 , поэтому ( 0, 0 ) - точкапокоя - седло, (a, 0 ) - точка покоя - центр.Получим явное выражение для фазовых траекторий системы (6). В соответствии с п. 3,p2= ∫ x (x − a )dx + C = −U (x ) + C ,2x3x2U (x ) =−a .где32Тогда уравнения фазовых траекторий описываются формулойp = ± 2 ∫ x (x − a )dx + C = ± −2U (x ) + C .(7)Графики функции f ( x ) и ее первообразных при различных значениях C , а такжефазовые портрет для системы (6) изображены на рисунках 1- 3.f(x)рис. 13a2S1ap2=2∫f(x ) d xxS2+Cрис. 23a2axpрис. 33a2axНа рисунке 1 показана функция f ( x ) .На рисунке 2 представлены различные первообразные функции f ( x ) :p2= ∫ f (x )dx + C = −U (x ) + C .2Черным цветом выделена первообразная, соответствующая сепаратрисе.

Значение этойпервообразной в каждой точке численно равно площади под кривой f ( x ) , изображенной нарисунке 1. Здесь мы полагаем значение площади под графиком f ( x ) положительным приp2f ( x ) > 0 и отрицательным при f ( x ) < 0 . В области положительных значений x функция2возрастает до тех пор, пока f ( x ) > 0 .

В точке x = a график f ( x ) проходит через ноль и затемp2становится меньше нуля, т.е.начинает убывать.2p2обратится в2изуравненияКогда площади S1 и S 2 сравняются по абсолютной величине, U ( x ) = −x = xопределить3a∫0 x (a − x )dx = −∫a x (a − x )dx , то есть ∫0 x (a − x ) dx = 0 . Это точка x = 2 .

Дальше в областьнуль.Соответствующеезначениеxaможноxp2может приниматьположительных значений x сепаратрису продолжить нельзя, так как2только неотрицательные значения.xp2= ∫ f (x )ds принимаетВ области отрицательных значений x функция20положительные значения при f ( x ) < 0 и, следовательно, U (x ) = −p22существует при всехотрицательных x .На рисунке 3 черным цветом показаны сепаратрисы седла (0, 0) . На фазовой плоскости(рис.3) сепаратриса, расположенная в правой полуплоскости, образует так называемую петлю.Стрелками показано направление движения точки по фазовой траектории при изменении t .dxЭто направление можно определить, исходя из следующих соображений: если p => 0 , то xdt– возрастает, т.е.

движение происходит направо.Будем изменять значение C . При увеличении C кривая (график первообразной) нарисунке 2 приподнимается (синий цвет). Формула (7) определяет незамкнутые фазовыетраектории, которые продолжаются вправо до некоторой точки, лежащей правее x .При уменьшении C кривая на рисунке 2 опускается и её положительная часть будетсостоять из двух отдельных кривых (красный цвет).

Формула (7) определяет в правойполуплоскости замкнутые траектории, стягивающиеся с уменьшением C к точке покоя (a, 0 ) .Эти замкнутые траектории соответствуют периодическим движениям. В левой полуплоскостирис. 3 формула (7) определяет незамкнутые траектории.При каких значениях x 0 разрешима краевая задачаd 2x= x (a − x ) , x ( 0 ) = x 0 , x ( ∞ ) = 0 .2dtРешение.Согласно п. 30, точка фазовой плоскости, двигаясь по сепаратрисе седла ( 0, 0 ) ,приближается к этому седлу либо при t → +∞ , либо при t → −∞ .

Поэтому разрешима при техx 0 , которым соответствует точка фазовой плоскости, лежащая на сепаратрисе, входящей вточку покоя ( 0, 0 ) .Задача.(x 0, p ( 0) ) фазовой плоскостинаходилась на сепаратрисе. Тогда, двигаясь по сепаратрисе от точки ( x 0 , p ( 0 ) ) в направлении•Подберем значение x ( 0 ) = z ( 0 ) так, чтобы точкаt → +∞ , она будет приближаться к точке ( 0, 0 ) при t → +∞ .3a3aПри x 0 < 0 и x 0 =задача имеет единственное решение. Если 0 < x 0 <, то задача22имеет два решения, так как каждому x 0 , лежащему внутри петли, соответствует два значенияp ( 0 ) таких, что точка ( x 0 , p ( 0 ) ) лежит на петле, то есть на сепаратрисе, входящей в точку3aпокоя ( 0, 0 ) . В случае p 0 >, очевидно, решений краевой задачи нет.2Пример 2.Уравнение с кубической нелинейностью.

В этом случае в зависимости от видафункции f ( x ) могут представиться следующие варианты.а)Симметричный случай - ячейка на фазовой плоскости.Построим фазовый портрет уравненияd 2x= f (x ) ≡ x ( x 2 − a 2 ) .dt 2Определим точки покоя:f (x ) = 0⇔ x (x 2 − a 2 ) = 0⇒x = 0, x = ± a .f(x)рис.4S1S1S1S1-axaрис.5p22-aaxрис.6p1-a2axНа рис.4 показан график функции f (x ) = x ( x 2 − a 2 ) . Найдем по этому графику знакпроизводной fx′ в точках покоя x = 0, x = ± a : fx′ ( 0 ) < 0 , fx′ ( ±a ) > 0 .

Поэтому, согласно §5,точка ( 0, 0 ) - центр, а точки (a, 0 ) и ( −a, 0 ) - сёдла.x2p2x42 x= ∫ f (x )dx =−a+ C (рис. 5). Заметим,Запишем уравнения первообразных242aчто функция f ( x ) - нечетная, значит её первообразная - функция четная, и фазовый портретбудет симметричным относительно оси ординат.В силу симметрии имеемx∫ f (s ) ds =ax∫ f (s ) ds , и уравнения сепаратрис седловых точек (a, 0 )и ( −a, 0 ) можно записать в−axодной формулой:p = ± 2 ∫ f (x )ds .aНа рисунке 6 сепаратрисы выделены черным цветом.

Сепаратрисы 1 и 2 оказываютсяобщими для обоих сёдел. В этом случае говорят, что сепаратрисы 1 и 2 образуют ячейку нафазовой плоскости.Будем изменять значение C . При увеличении C график первообразной приподнимаетсянад осью OY . Соответствующая фазовая траектория будет определена на всей вещественнойоси (рис.6, синий цвет).Если уменьшать значение C , то график первообразной опускается относительно осиx2OY , и область неотрицательных значений U ( x ) = −будет состоять из трех промежутков2(рис.5, кривые красного цвета).