Н.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. Волков - Дифференциальные уравнения. Курс лекций, страница 23

.Подставив этот ряд в правую часть уравнения и в начальное условие, разложим функцииF ( x, z , μ ) и ϕ ( x, μ ) в ряды Маклорена по степеням параметра μ :F ( x, z0 ( x ) + μ z1 ( x ) + μ 2 z2 ( x ) + ..., μ ) ≡ 1 + μ ⋅ ( z0 ( x ) + μ z1 ( x) + μ 2 z2 ( x ) + ...) = 1 + μ z0 ( x ) + μ 2 z1 ( x ) + ... ,h ( x, μ ) = 1 + 2 μ .Приравнивая теперь коэффициенты при степенях параметра в правой левой частяхуравнения и начального условия, получим последовательность задач:⎧ dz0=1⎪0μ : →z0 ( x ) = 1 + x⇒⎨ dx⎪⎩ z0 (0) = 1⎧ dz1= z0 ( x ) = 1 + xx2⎪μ : →zxx()2⇒=++dx⎨12⎪⎩ z1 (0) = 2⎧ dz0x2zxx=≡++()2x 2 x3⎪1zxx()2μ2 : →⇒=++и т. д.2⎨ dx226⎪ z (0) = 0⎩ 0Таким образом, решение исследуемой задачи (первые 3 члена ряда по степенямпараметра μ ) имеет вид1⎛⎛x2 ⎞x 2 x3 ⎞z ( x, μ ) = 1 + x + μ ⋅ ⎜ 2 + x + ⎟ + μ 2 ⋅ ⎜ 2 x + + ⎟ + ...

,2⎠2 6⎠⎝⎝что, как легко видеть, совпадает разложением в ряд Маклорена точного решения ( x > 0 фиксировано):⎛ x2⎞μ x 2 μ 2 x32++ o( μ 2 ) =z ( x, μ ) = (1 + 2μ ) ⋅ e + (e − 1) = 1 + μ ⋅ (2 + x) + μ ⋅ ⎜ + 2 x ⎟ + o( μ ) + x +μ26⎝ 2⎠⎛⎛x2 ⎞x 2 x3 ⎞.= 1 + x + μ ⋅ ⎜ 2 + x + ⎟ + μ 2 ⋅ ⎜ 2 x + + ⎟ + o( μ 2 )2⎠2 6⎠⎝⎝μxЗамечание.1μx2Если рассматривать задачу не на конечном отрезкеасимптотически большом (порядка1μ0 ≤ x ≤ H , а на), или бесконечном промежутке, то предельный переходlim y ( x, μ ) = y0 ( x) уже может не быть равномерным по x .

В этом можно убедиться вμ →+0разобранных ниже примерах.Пример 2.Рассмотрим задачу Кошиdy= 1+ μ ydxy (0, μ ) = −1 + 2 μ0< x≤Hгде μ > 0 - малый параметр. Ее точное решение,-y ( x , μ ) = ( −1 + 2 μ ) ⋅ e μ x +(eμ1μx− 1) .Соответствующая невозмущенная (т.е. при μ = 0 ) задача имеет видdy=10< x≤ H,dxy (0) = −1а ее решение естьy ( x) = x − 1 .Легко видеть, что имеет место равномерный на отрезке 0 ≤ x ≤ H предельный переход1⎡⎤lim y ( x, μ ) ≡ lim ⎢( −1 + 2μ ) ⋅ e μ x + ( e μ x − 1) ⎥ = −1 + x ≡ y ( x) ,μ →+0μ →+0μ⎣⎦что соответствует результату, сформулированному в теореме 1. Однако, если H ∼1μ, т.е.

наасимптотически большом (или бесконечном промежутке) это неверно.Пример 3.Рассмотрим задачу Кошиy′′ + y = 00< x≤ H.y (0) = 0,y′(0) = 1Ее точное решение - y ( x ) = sin x .Внесем в уравнение малое регулярное возмущение ( μ > 0 - малый параметр)y′′ + y + (2μ + μ 2 ) y = 00< x≤ H(7)y (0, μ ) = 0,y′(0, μ ) = 1и будем строить приближенное решение задачи Коши (7) на отрезке 0 ≤ x ≤ H в виде рядаy ( x, μ ) = y0 ( x) + μ y1 ( x ) + μ 2 y2 ( x ) + ... .Подставляя записанный ряд в уравнение и начальное условие, и приравниваякоэффициенты при степенях μ , получим последовательность задач для определения членовряда:⎧ y0′′ + y0 = 0μ0 : →y0 ( x) = sin x⇒⎨⎩ y0 (0) = 0, y0′ (0) = 1μ1 :→⎧ y1′′ + y1 + 2 y0 ≡ y1′′ + y1 + 2sin x = 0⎨⎩ y1 (0) = 0, y1′ (0) = 0⇒y1 ( x) = − sin x + x cos x⎧ y2′′ + y2 + 2 y1 + y0 = 0μ : →⎨⎩ y2 (0) = 0, y2′ (0) = 0……………………..…Легко видеть, что функция⇒2x2y2 ( x) = sin x − x cos x − sin x ,2y ( x, μ ) = y0 ( x) + μ y1 ( x) + μ 2 y2 ( x) = sin x + μ (− sin x + x cos x) + μ 2 (sin x − x cos x −x2sin x)2удовлетворяет уравнению и начальным условиям с точностью o( μ 2 ) .sin(1 + μ ) xТочное решение задачи (7) есть y ( x, μ ) =.

Убедитесь сами, что первые три1+ μчлена асимптотического разложения указанной функции по малому параметру μ совпадают сполученным выше приближенным решением, т.е. частичная сумма построенного ряда даетравномерное на конечном отрезке 0 ≤ x ≤ H приближение для точного решения.Замечание.В рассмотренном примере 3, как точное решение возмущенного уравнения, таки решение вырожденного уравнения являются периодическими функциями (периоды –соответственно2πμ +1и2π–асимптотическиблизки).Однакополученноенамиасимптотическое приближение содержит малые непериодические слагаемые вида μ x cos x иμ 2 x 2 sin x , т.е.

уже не является периодической функцией! Это означает, что рассмотренныйспособ построения асимптотического ряда дает равномерное приближение для решенияначальной задачи лишь на конечном отрезке 0 ≤ x ≤ H , но не может быть использован длянахождения приближения периодического решения.В случае периодической задачи нужно использовать другие подходы, например, методусреднения Крылова-Боголюбова, с которым можно ознакомиться в книге Н.Н.Боголюбова иЮ.А.Митропольского “Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний”.§ 2.Сингулярные возмущения10.Теорема Тихонова.Предельный переходlim y ( x, μ ) = y0 ( x) ,μ →+0о котором говорится в теореме 1, имеетместо на конечном отрезке 0 ≤ x ≤ H , где H - некоторая постоянная, причем на указанноммножестве это предельный переход является равномерным относительно x ∈ [0, H ] . Такимобразом, в случае регулярного возмущения решение вырожденного уравнения даетравномерное на отрезке приближение для точного решения.

Однако, в случае сингулярноговозмущении это не так и, более того, решение вырожденного уравнения может быть вообще неблизко к точному решению.Рассмотрим систему уравнений, содержащую малый параметр при старшейпроизводной. Требуется найти функции z ( x, μ ) и y ( x, μ ) - решение следующей задачи Коши:⎧ dz⎪⎪ μ dx = F ( z, y, x)⎨.(8)⎪ dy = f ( z, y, x)⎪⎩ dxz (0, μ ) = z 0 ,y (0, μ ) = y 0где μ > 0 - малый параметр.dz 1= F ( z, y, x) не являетсяВ данном случае правая часть первого уравненияdx μрегулярно возмущенной (см. определение 1).

Полагая формально μ = 0 в задаче (8), получимневозмущенную (вырожденную) систему⎧ 0 = F ( z , y, x )⎪,(9)⎨ dy()=fz,y,x⎪⎩ dxгде первое уравнение системы – алгебраическое (а не дифференциальное) относительноПредположим, что оно имеет действительные решения - функциипеременной z .zi = ϕi ( y, x), i = 1, 2,..., p , - причем все корни изолированы, т.е. для каждого из них существуетокрестность z − ϕi ( y, x) ≤ d , в которой нет других решений этого уравнения.Пусть z = ϕ ( y , x ) - один из корней первого уравнения системы (9).y ( x) ≡ y ( x, 0) , тогда получим следующую вырожденную задачуdy= f (ϕ ( y , x), y , x)dxy (0) = y 0Теорема 2 (теорема А.Н.Тихонова).Пусть:1) функции F ( z, y, x), f ( z, y, x), F ′ z, F ′ y, f ′ z, f ′ y -Обозначим(10)непрерывны в некоторой области трехпеременных ( z, y, x) : G = D × Z , ( y, x) ∈ D, z ∈ Z ;2) функции ϕ ( y, x), ϕ ′ y ∈ C ( D) ;3) существует решение задачи (10) y = y ( x) на сегменте 0 ≤ x ≤ H ;∂F< 0;4) корень ϕ ( y, x) является устойчивым в области D , т.е.∂z z =ϕ ( y , x )5) начальное значение z 0 принадлежит области влияния устойчивого корня ϕ ( y 0 , x)уравнения F ( z 0 , y 0 , 0) = 0 , т.е.

если ϕ1 ( y, x) и ϕ 2 ( y, x) – два ближайших к ϕ ( y, x) корнясоответственно снизу и сверху, то необходимо, чтобы начальное значение z 0 лежало вобластью влияния (или областьюинтервале (ϕ1 ( y 0 , x) ; ϕ 2 ( y 0 , x) ) , называемойпритяжения) корня ϕ ( y, x) .Тогда:1) существует решение z ( x, μ ) , y ( x, μ ) задачи (8), определенное на сегменте 0 ≤ x ≤ H ;2) имеет место предельный переходlim y ( x, μ ) = y ( x),0≤ x≤ Hμ →+0,lim z ( x, μ ) = ϕ ( y ( x), x),0< x≤ Hμ →+0где y ( x ) - решение вырожденной задачи (10).сформулированной теоремы можно найти, например, в книгеДоказательствоА.Б.Васильевой иВ.Ф.Бутузова“Асимптотические разложения решений сингулярновозмущенных уравнений”.Замечание. Предельный переход для функции y ( x, μ ) является равномерным относительноx на отрезке 0 ≤ x ≤ H , в то время как для функции z ( x, μ ) - неравномерным.

Можно доказать,что равномерный предельный переход в формуле для z ( x, μ ) имеет место на отрезкеx0 ≤ x ≤ H , где x0 > 0 .Пример 1.Рассмотрим задачу Кошиdzμ = 2− z,dxz (0, μ ) = 1(11)решение которой легко выписывается:−x(12)z ( x, μ ) = 2 − e μ .Функция в правой части уравнения (8) есть F ( z , μ ) = 2 − z . Полагая в (11) μ = 0 ,которое имеет единственноеполучим вырожденное уравнениеF ( z , 0) ≡ 2 − z = 0 ,∂F= − 1 < 0 , то(следовательно, изолированное) решение z ( x ) = ϕ ( x ) ≡ 2 .

Так как∂z z =ϕ ( x ) ≡ 2корень вырожденного уравнения является устойчивым.Заметим, что других корней у уравнения (11) нет, поэтому областью влиянияустойчивого корня вырожденного уравнения z ( x ) = ϕ ( x ) ≡ 2 является вся плоскость ( x, z ) , иначальное значение z (0, μ ) = 1 принадлежит этой области влияния. Структуру области влияния∂Fможно изучить и непосредственно: так как условие= − 1 < 0 выполняется на всей∂z z =ϕ ( x ) ≡ 2dzплоскости ( x, z ) , то при z > 2 имеет место F ( z , 0 ) < 0 ⇒< 0 , а при z < 2 dxdzF ( z, 0 ) > 0 ⇒> 0 , т.е.

при любом начальном значении z (0, μ ) решение задачи (11)dxz ( x, μ ) будет приближаться к устойчивому корню вырожденного уравнения z ( x ) = ϕ ( x ) ≡ 2 .Суммируя сказанное выше, на основании теоремы Тихонова можно утверждать, чтоlim z ( x, μ ) = ϕ ( x) ≡ 2,0< x≤ H .имеет место предельный переходμ →+0В справедливости последнего утверждения при любом H > 0 можно легко убедитьсянепосредственно, вычислив предел точного решения (12):lim z ( x, μ ) = lim (2 − eμ →+0−xμμ →+0) = 2,x > 0.Кроме того, на множестве x ≥ x0 > 0 имеет местоlim sup z ( x, μ ) − ϕ ( x) = lim sup (2 − eμ →+0 x ≥ x > 00μ →+0 x ≥ x > 00−xμ) − 2 = lim sup eμ →+0 x ≥ x > 00−xμ= lim eμ →+0−x0μ= 0,т.е.