Н.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. Волков - Дифференциальные уравнения. Курс лекций, страница 13

Для доказательства достаточно показать линейную независимостьуказанной системы функций. Предположим обратное, т.е. пусть существует набор константnC1 , C2 , ... , Cn ,∑Ci =12i≠ 0 , что выполнено соотношениеC1e λ1 x + C2 e λ2 x + ... + Cn e λn x = 0 .(4п)λn xПоложим, для определенности, C1 ≠ 0 .

Разделим (4п) на e ≠ 0 и продифференцируем.Получим(5п)C1 (λ1 − λn )e ( λ1 − λn ) x + C2 (λ2 − λn )e ( λ2 − λn ) x + ... + Cn −1 (λn −1 − λn )e ( λn−1 − λn ) x = 0 .Разделим (5п) на e( λn−1 −λn ) x ≠ 0 и снова продифференцируем:C1 (λ1 − λn )(λ1 − λn −1 )e ( λ1 − λn−1 ) x + C2 (λ2 − λn )(λ2 − λn −1 )e ( λ2 − λn−1 ) x + ...

+ Cn − 2 (λn − 2 − λn −1 )e ( λn−2 − λn−1 ) x = 0 .Выполнив указанную процедуру n − 1 раз, будем иметьC1 (λ1 − λn ) ⋅ (λ1 − λn −1 ) ⋅ ... ⋅ (λ1 − λ2 )e ( λ1 − λ2 ) x = 0 .Отсюда следует, что C1 = 0 , так как e( λ1 −λ2 ) x ≠ 0 и все λi различны по предположению.Полученное противоречие доказывает теорему.Таким образом, в случае простых корней характеристического уравнения общеерешение однородного линейного дифференциального уравнения с постояннымикоэффициентами имеет видny ( x ) = ∑ Ck e λk x .k =1Замечание.

В случае комплексных корней пару комплекснозначных функций e(α +iβ ) x , e(α −iβ ) x ,отвечающих паре комплексно сопряженных корнейλk = α + i β , λk +1 = α − i β , обычнозаменяют вещественными функциями eα x cos β x, eα x sin β xдействительные функции.2.и получают ФСР, содержащуюПусть характеристическое уравнение M (λ ) = 0 (3п) имеет кратные корни, т.е.M (λ ) = ( λ − λ1 ) 1 ( λ − λ2 ) 2 ...( λ − λs ) s ...( λ − λm ) m = 0 ,kkkkгде ks - кратность корня λs , причем k1 + k2 + ... + ks + ... + km = n .

В этом случае ФСР выглядитиначе. Далее рассмотрим случай, когда имеется один кратный корень.Теорема 14 .Пустьλi ,i = 1, 2,..., k = n − p - простые корни характеристическогоуравнения, а λk +1 - корень кратности p.Тогда корню λk +1 отвечает p линейно независимых частных решений уравнения (2п)eλk +1x , xeλk +1x , x 2 eλk +1x , ... , x p −1eλk +1x ,т.е. n функцийeλ1x , eλk +1x , ... , eλk x , xeλk +1x , x2 eλk +1x , ... , x p −1eλk +1xобразуют ФСР однородного уравнения (2п).Доказательство. Покажем, что все указанные функции удовлетворяют однородномууравнению (2п).

Это проверяется непосредственной подстановкой функций системыeλk +1x , xeλk +1x , x 2 eλk +1x , ... , x p −1eλk +1x в уравнение (2п).Рассмотрим тождество L ⎡⎣ e λ x ⎤⎦ = M (λ )e λ x и продифференцируем его по λ . Применяяформулу Лейбница, получимL ⎡⎣ xeλ x ⎤⎦ = M ′(λ )eλ x + M (λ ) xeλ x , ….L ⎡⎣ x p e λ x ⎤⎦ = { x p M (λ ) + px p −1M ′(λ ) + ... + M ( p ) (λ )} e λ x .Если λs – корень кратности ks , то M (λs ) = 0, M ′(λs ) = 0, ... , M ( ks −1) (λs ) = 0, M ( ks ) (λs ) ≠ 0 .Следовательно, L ⎡⎣ x p eλ x ⎤⎦ = 0 при всех p = 0,1,..., ks − 1 , т.е. функции видаx p e λ x , гдеp = 0,1,..., ks − 1 , являются решениями однородного уравнения (2п).Вторую часть теоремы, т.е. линейную независимость указанных функций, можнодоказать аналогично тому, как это было сделано в теореме 13.Замечание. В случае комплексных корней пару комплекснозначных функций x p e (α + iβ ) x ,x p e (α −iβ ) x заменяют вещественными функциями x p eα x cos β x , x p eα x sin β x и получают другуюФСР.20.Неоднородное уравнение.Напомним, что (см.

§3) общее решение y ( x) неоднородного линейногодифференциального уравнения представимо в виде суммы его частного решения y ( x) иобщего решения z ( x ) соответствующего однородного уравнения, т.е.ny ( x ) = y ( x ) + z ( x ) ≡ y ( x) + ∑ Ci yi ( x) ,i =1010ny1 ( x),… , yn ( x) есть ФСР, а C ,… , C - произвольные постоянные.Общие методы поиска частных решений линейных уравнений были рассмотрены в §3.Для уравнений с постоянными коэффициентами в случае специального вида правых частейчастные решения могут быть эффективно получены еще несколькими способами.где1)Метод неопределенных коэффициентов.Рассмотрим уравнение с постоянными коэффициентами.Ly = y ( n ) + a1 y ( n −1) + ... + an y = f ( x ),(6п)где f ( x) = Pl ( x ) eλ x , P ( x ) - многочлен степени l, λ - константа.Утверждение 1.Пусть λ1 , λ2 ,… , λs ,… , λm - корни характеристического уравнения M (λ ) = 0кратностей k1 , k2 , …, k s ,…, km , где k1 + k2 + ... + ks + ...

+ km = n .Тогда:1).Если λ ≠ λs ( s = 1,..., m) (нерезонансный случай) то частное решение уравнения (6п) ищемв видеy ( x) = Ql ( x ) eλ x ,где Ql ( x ) - многочлен степени l, с неопределенными коэффициентами.2).Если λ = λs (кратности ks ) (резонансный случай), то частное решение уравнения (7)ищем в видеy ( x ) = x ks Rl ( x )e λ x ,где Rl ( x ) - многочлен степени l с неопределенными коэффициентами.Подставляя искомый вид решений в (6п) и приравнивая коэффициенты при одинаковыхстепенях x , находим неопределенные коэффициенты многочленов Ql ( x) и Rl ( x) (методнеопределенных коэффициентов).Замечание 1.уравнение ЭйлераК уравнению с постоянными коэффициентами сводится однородноеx n y ( n ) + a1 x n −1 y ( n −1) + ... + an y = 0,если положить x = et .Замечание 2.Методом неопределенных коэффициентов решается неоднородноеуравнение Эйлера со специальной правой частью f ( x) = S (ln x) x λ (переходящей при заменеx = et в функцию f (t ) = S (t )eλt ).Примеры.1) y′′ + 4 y = e3 x , M (λ ) = λ 2 + 4 = 0, λ1,2 = ±2i ≠ λ = 3, y = Ae3 x2) y′′ + 4 y = ( x + 2)e3 x M (λ ) = λ 2 + 4 = 0, λ1, 2 = ±2i ≠ λ = 3 , y = ( Ax + B)e3 x3) y′′ − 4 y = ( x + 2)e 2 x M (λ ) = λ 2 − 4 = 0, λ1, 2 = ±2, m1 = 1, λ = λ1 , y = x( Ax + B)e 2 x4) y′′′ + 3 y′′ + 3 y′ + y = ( x + 2)e − x M (λ ) = (λ + 1)3 = 0, λ1 = −1, m1 = 3, λ = λ1 = −1 y = x 3 ( Ax + B)e− x5) y′′ − 4 y = cos 2 x = Ree ±2ix M (λ ) = λ 2 − 2 = 0, λ1, 2 = ±2, λ = ±2i, λ ≠ λk y = A cos 2 x + B sin 2 x6) y′′ + 4 y = cos 2 x = Ree±2ix M (λ ) = λ 2 + 2 = 0 , y = x ( A cos 2 x + B sin 2 x )2)Операторный метод Хевисайда.dkdk, тогда D = kРассмотрим оператор дифференцирования D =dxdxИспользуя оператор D, можно записать ЛДУ (7) в видеLy = y ( n ) + a1 y ( n −1) + ...

+ an y = D n y + a1 D n −1 y + ... + an −1 Dy + an y = Pn ( D ) y = f ( x)1Pn ( D ) y = f ( x ) , и его частное решение можно найти как y =f ( x) .Pn ( D )Свойства операторного многочлена Pn ( D ) .11(v ( x ) ) .1. Pn ( D ) kv ( x ) = kPn ( D ) v ( x ) ⇔(kv ( x ) ) = kPn ( D )Pn ( D )2. Pn ( D ) e kx = Pn ( k ) e kx ⇔1e kx.e kx ) =(Pn ( D )Pn ( k )⎛ ⎧ sin ax ⎫ ⎞ ⎧ sin ax ⎫⎧ sin ax ⎫1 ⎛ ⎧ sin ax ⎫ ⎞123.

Pn ( D 2 ) ⎜ ⎨=⎬⎟ = ⎨⎬ Pn ( − a ) ⇔⎨⎬⎨⎬⎜⎟Pn ( D 2 ) ⎝ ⎩cos ax ⎭ ⎠ Pn ( − a 2 ) ⎩cos ax ⎭⎝ ⎩cos ax ⎭ ⎠ ⎩cos ax ⎭11(v ( x ) ) .4. Pn ( D ) (e kx v ( x ) ) = e kx Pn ( D + k ) (v ( x ) ) ⇔e kx v ( x ) ) = e kx(Pn ( D )Pn ( D + k )15. n , n ∈ N - это операция n-кратного интегрирования.D(M > m )6. (am D m + am +1D m +1 + ...aM D M ) Pm −1 ( x ) ≡ 01(Fk (x ) ) = {1 ≡ Pn (D )Qk (D ) + R>k (D )} = Qk (D ) Fk (x )Pn ( D )111v1 ( x ) + k2v2 ( x )8.(k1v1 (x ) + k2v2 (x ) ) = k1Pn ( D )Pn ( D )Pn ( D )11(v ( x ) ) =(v ( x ) )9.F1 ( D ) F2 ( D )F2 ( D ) F1 ( D )7.Примеры.1) y′ = e 4 x , Dy = e 4 x ,y ( x) = ∫ e 4 x dx =1 4xe42) y′′ − 2 y′ − 3 y = e 4 x , ( D 2 − 2 D − 3) y = e 4 x ,y ( x) =1e4 xe4 x4xe==()D2 − 2D − 342 − 2 ⋅ 4 − 3 51sin 5 x1( sin 5 x ) = 2 = − sin 5 x−5 + 916D +911y(x ) = 47x = 2 27xD + D2D ( D + 1)3) y ′′ + 9 y = sin 5 x , ( D 2 + 9 ) y = sin 5 x ,4) y IV + y ′′ = 7xВычислим(D4y ( x) =+ D 2 ) y = 7x ,217x .

Воспользуемся правилом деления многочлена «столбиком»D +111 + D2−1 + D2 1 − D2 .2− D2=01D ⎞D 2x⎛x1xx=−=−= x − 0 = x , откуда⎜D2 + 1D 2 + 1 ⎟⎠D2 + 1⎝117x 3.y(x ) = 2 27x = 7 2 x = 7 ∫ ∫ xdx dx =D ( D + 1)D62Таким образом,()Глава 4. Системы линейных уравненийЛекция 7§ 1.Общие свойства.Определение 1.Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравненийназывается система вида•x = A(t ) x + F (t ) ,(1)где A ( t ) — квадратная матрица ( n × n ) , а F ( t ) = { f1 (t ),… , f n (t )} — заданная вектор–функция,определенные при t ∈ [ a, b] , x ( t ) = { x1 (t ),… , xn (t )} .Везде далее предполагается, что элементы aij (t ) матрицы A ( t ) , а также функции f i (t )непрерывны на отрезке [ a, b] .Однородной системой (ОС) линейных ДУ, соответствующей системе (1),Определение 2.называется система уравнений•x = A(t ) x(2)Докажем несколько теорем, устанавливающих наиболее важные свойства решенийсистем линейных уравнений.Теорема 1.Линейная комбинация решений ОС (2) также является решением этой системы.Доказательство.•x=••Пусть x1 = A ( t ) x1 и x2 = A ( t ) x2 .

Положим x = α x1 + β x2 , тогда••d(α x1 + β x2 ) = α x1 + β x2 = α A ( t ) x1 + β A ( t ) x2 = A ( t )(α x1 + β x2 ) = A ( t ) xdtТеорема 2.Разность любых двух решений НС (1) есть решение ОС (2).Доказательство.••Пусть x1 = A ( t ) x1 + F ( t ) и x2 = A ( t ) x2 + F ( t ) . Тогда, вычитая, получимd( x1 − x2 ) = A ( t ) x1 − A ( t ) x2 = A ( t )( x1 − x2 )dtСледствие. Сумма любого (частного) решения НС (1) и решения соответствующей ОС (2)есть решение НС (1).••x1 − x2 =Сформулируем правило сложения решений НС линейных уравнений, котороеприменяется при практическом нахождении решений НС.Теорема 3.••Если x1 = A ( t ) x1 + F1 ( t ) и x2 = A ( t ) x2 + F2 ( t ) , то x = α x1 + β x2 — решение•системы уравнений x = A ( t ) x + α F1 ( t ) + β F2 ( t ) .ДоказательствоТеорема 4.проведите самостоятельно.Пусть x ( t ) ( t ∈ [ a, b ]) — решение системы уравнений (1), матрица A ( t ) и вектор– функция F ( t ) непрерывны на некотором отрезке t ∈ [ a, b] .