И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко, Е.В. Хорошилова - Вещественные числа и последовательности (1108554)
Текст из файла
сM .V.LOMONOSOV MOSCOW STATEUNIVERSIТYМОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТFaculty of Computational Mathematics and Cyberneticsимени М.В . ЛОМОНОСОВАФакультет вычислительной математики и кибернетикиSadovnichaya I.V., Fomenko T.N., Кhoroshilova E.V.И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко, Е.В. ХорошиловаMATHEMATICAL ANAL YSISREAL NUMBERS, LIMIT OF NUMBER SEQUENCE:THEORY AND PROBLEMSМАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ:ТЕОРИЯ И ЗАДАЧИText-bookf or 1-st year university studentsУчебное пособиедля студентовUnder general editorship Ьу V.A. Ilyin,тетЬеr of Russian Academy of Sciences1 курса университетовпод общей редакциейакадемика РАН В.А.
Ильинамoscow-2011МОСКВА- 2011з6 МУДКс378(075.8):517.2ББК 22.161я73-1113С14ПРЕДИСЛОВИЕГЛАВА1._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,04ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _05§1. Элементы теории множеств. Операции над множествами . Отображе-Печатается по решению Редакционно-издательского советафакультета вычислительной математики и кибернетикиния множеств . Мощность множестваМГУ имени М.В. Ломоносова§2.Рецензенты:05Отношения на множествах.
Эквивалентности , порядки. Фактор-мно-жество. Понятие об алгебраической системедоценты факультета ВМ:К МГУк.ф.-м.н . Тихомиров В .В., д.ф. -м.н. Фомичёв В.В.§3.09Вещественные числа. Числовая ось . Сравнение вещественных чисел.Приближение вещественных чисел рациональными§4. Алгебраическая система . (арифметика) вещественных чисел.
Ее полСадовничая И.В., Фоменко Т.Н.;Хорошилова Е.В.С 1412нота. Различные модели постро.ения арифметики вещественных чиселМатематический анализ: Вещественные числа и последова-тельности: Теория и задачи: Учеб. пособие для студентов 1 курсауниверситетов. - М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им.М.В. Ломоносова (лицензия ИД N 05899 от 24.09.2001 г.); МАКС2011. - 80 с.ISBN 978-5-89407-457-3ISBN 978-5-317-03797-018ГЛАВА2.ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ_ __ _ _ _ 27§1.
Понятие последовательности. Ограниченные и неограниченные , бес-Пресс,конечно малые и бесконечно большие последовательност§2.Сходящиеся последовательности и их свойстваИздание посвящено теоретическим и практическим аспектам тем «Вещественные§3.Монотонные последовательностичисла» и <<Предел числовой последовательности», изучаемых в первом семестре врамках программы курса математического анализа.
Оно основано на опыте чтения§4.Предельные точки последовательностейавторами лекций и ведения практических заюrrnй на факультете ВМК МГУ. Посо27_________ 29_________ ______,33____________ 37бие содержит 3 главы, первая из которых посвящена понятию вещественного числа,его алгебраической и геометрической интерпретации, операциям над веществен§5. Критерий Коши сходимости последовательности ________41ными числами и их свойс111ам, проблеме полноты арифметики вещественных чисел. Во второй главе излагается теория последовательностей вещественных чисел,вводится понятие предела последовательности, изучаются свойства сходящихся поГЛАВА 3. ЗАДАЧИ - - - - - - - - - - - - - - - - - - ' 4 2следовательностей, замечательные пределы и способы их вычисления.
В третьей§1.Задачи к первой главе_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.42главе приводится набор задач по всем рассматриваемым разделам, часть из которыхизлагается с полным решением, а часть дается для самостоятельной работы студентов . Цель данного учебного пособия - помочь студенту в изучении теоретическойчасти и приобретении практических навыков решения задач по темам «Вещественные числа>> и «Предел числовой последовательности».Для студентов университетов . Издание может бьrrь полезно также преподавателям , читающим лекции и ведущим практические занятия по математическому ана§2. Задачи ко второй главе·------------------·46СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _64лизу и всем, кто желает самостоятельно изучить данные темы или более подробнос ними ознакомиться .УДКНАУЧНАЯБИБJIИОТЕКАМГУISBN 978-5-89407-457-3ISBN 978-5-317-03797-0378(075.8):517.2ББК 22.161я737© Факультет вычислительно й математикии кибернетики МГУ имени М.В .
Ломоносова,2011©Садовничая И.В" Фоменко Т.Н., Хорошилова Е.В ., 20115ПРЕДИСЛОВИЕ.ГлаваУважаемые читатели! Наше учебное пособие содержитматериал по темам «Вещественные числа>> и «Предел числовойпоследовательности» в объёме программы по математическомуанализу для студентов первого курса факультета ВМК (какспециалистов, так и бакалавров) и некоторые дополнения .Впособииглавы.3теоретический материал, в3Ви1главах2§1.Вещественные числа.1.Элементы теории множеств.Операции над множествами. Отображения множеств.
Мощность множества.Определение1.1.МноЭtСесmвом назъ~вают совокуnностъ обr,-е ктов nроизволъноil природы, назъ~ваемъ~х его элементами.излагаетсяглаве предлагаются задачи по всемПримеры.множество точек на пряыой;мелким шрифтом и горизонтальными линиями здесь выделен1.1)1.2)1.3)1.4)1.5)дополнительный материал, не входящий в программукурсаЕсли элемент а принадлежит множеству А , то пишут: а Е А . Еслиразделам первых двух глав.Впервой главе,написанной Т.Н. Фоменко, излагаетсятеоретический материал по теме «Вещественные числа>>. Более1множество студентов в аудитории ;множество натуральных чиселмножество целых чиселN;Z;множество рациональных чиселQ.факультета ВМК. Мы поместили его для полноты изложениявсе элементы множества В содержатся в множестве А, то говорят,данной темы.
Во второй главе, написанной И.В.Садовничей,что В является nод.мnо:J1сество.м А , и пишут: В ~ А . Если при этом всодержится теоретический материал по теме «Предел числовоймножестве А есть элементы не принадлежащие В, то пишут: В С А .последовательности».двойнаянумерацияуказаниемномераВкаждой изопределенийпараграфа.Впервых двухивсехглавсвояутверждений,третьей главе,снаписаннойЕ.В.Хорошиловой, помещены задачи по всем разделам первыхдвух глав. В ней содержатся не только задачи из известногозадачника Б.П.Демидовича, но и из дРУГИХ источников.
Нарядусвычислительнымизадачами,приводитсярядзадачнадоказательство. Мы полагаем, что их решение является одной изнаиболееэффективныхматериала. При этомформусвоениятеоретическогочасть задач приводится с подробнымирешениями, а остальные даются для самостоятельной работыстудентов.Все задачи снабжены ответами,а в некоторыхслучаях указаниями к решеншо.Вконцедополнительнойзадачники,данногопособия мылитературы,которыепособия,приводимгдесписокосновнойиперечисляемучебникиииспользовалисьатакженамипринекоторыесоставленииисточникидлядальнейшего знакомства с изложенными в пособии темами.Пособие предназначено, в первую очередь, для студентовпервогокурсапервокурсниковматематическийфакультетадругиханализ.Мыполезным как студентам, так иВМКМГУ,университетов,надеемся,чтоатакжедляизучающихоноокажетсяпреподавателям при изученииили преподавании данной темы.И.В.САДОВНИЧАЯ, Т.Н.ФОМЕНКО, Е.В.ХОРОIШ1ЛОВА.Пустъ~.м .множеством называют условное множество, в котором нетни одного элемента.
Оно обозначается символом0. Пустое множествопринято считать подмножеством любого множества .Способы задания множеств.1. Пере"{ис.ление элементов множества (например: А= {1 , 5, 7, 9} );2. Въ~деление признаков, характеризующих элементы данного множества (например : kZ = { х Е Z/x - число, кратное k} , где k > 1 фиксированное натуральное число);3.Задапие хара-ктеристи"{еской функv,ии множества А (в видетаблицы ее значений или графика). Это функциях:В -> {О,1},определенная на некотором множестве В, А ~ В, которая задаетсятак: х(х)= { О)1,х d А'F,х Е А.Основные операции над множествами .Определение1.2.Об~>единением двух .мно:Jкеств А и В назъ~ваеrпс.я мно:Jtсество АU В, эле.мента.ми которого .явл.я~отс.я какэле.ментъt .мно :)lсества А, так и элементъt мноэкества В.
Иnа"{е говоря, х Е А U В тогда и толъ-ко тогда, когда либо х Е А, либо х Е В .Кратко это .можпо записатъ так: (х Е AUB) {:} ((х Е A)V(x ЕВ)).Символ V ( логи"{еска.я дизr,юнкv,и.я) за.меняет союз "или"и озна"{ает въ~полнение хот.я бы одного из тех условий, которые он соединяет.Определение1.3.Пересе-чением двух двух множеств А и Вназываете.я .множество Аn В,эле.мента.ми которого .явл.яютс.я общие эле.менты множеств А и В. Ина"{е говор.я, х Е АnВтогдаи толъ-ко тогда, когда одновременно х Е А и х Е В. Кратко это.можпо записатъ так: (х ЕAn В){:}7((х Е А)/\ (х ЕВ)). Символ/\{логи"tеска.я кон15юнкци.я) замен.яет союз "и"и озна"tает одновременное вътолнение тех условий, которые он соединяет.Определение1.4.Дополнением множества В до мно:жества А {или разностью множеств А и В) называете.я мно:>1сество А\ В, состоящее из тех элементов множества А, которъ~е непринадлежат В.
Кратко это можно записатъ так: (х Е А\ В){:}((х Е А) Л (х ~В)).Отображения множеств.ОпределениеКомбинируя основные операции, можно рассматривать более сложные операции, например, симметрическую разность.Определение6)А n (В u С)= (А n В) u (А n С);7)(А \В) U (А\ С)= (А\ (В n С);8)(А \В) n (А\ С)= А\ (BUC). ОСвойства 7) и 8) называют законами двойственности. Благодаряим, в свойствах 3)-6) можно менять местами операции U и n.1.5.Симметрическоii разн.остью множествА и В называете.я множество А6. В:= (А\ В) U (В\ А) = (А UВ)\ (AnB).Отобра:NСением1.6.А в множество В ~~азываетс.я правилоf,f:А.......В из мно:жествасопоставляющее каждому элементу а Е А единственнъ~й элем.ешп Ь= f(a)ЕВ, которъ~uf,а вся.кий эленазывают образом элемента а при отображениимент а, для которого Ь=f(a)(вообще говор.я, не единственнъ~u),иазывают прообразом элемента Ь при отобра:женииf.Примеры.на1.6) Z \ N - все целые числа, не являющиеся натуральными;1.7) NUZ = Z;1.8) NnZ=N;1.9) 2Z63Z- множество целых чисел, делящихся либо на 2, либо3, но не делящихся на 6.Операции над множествами изображены символически штриховкой на Рис.1-4.Рис .Определение2:Пересечение множеств А1.
7.Отображение <р : А.......n В.В 11з мно:жества Ав множество В, называете.я взаимн.о-одн.означнъ~.м, если одновременно выполненъ~ следующиеРис.1:Объединение множеств АU В.2 услови.я:1) (1.р(а) = ip(b)) =?(а= Ь) (ин15ективностъ),2) 1:/Ь Е В3а, а Е А, 1.р(а) = Ь (сюр15ективностъ).Определение 1.8. Если отображение <р: А ....... Виз мно:)/сестваА в множество В взаимно-одиозна"tно, то отображение, ставящеев соответствие каждому элементу у Е В его прообраз {то естъСвойства операций над множествами.единственнъ~й элемент х Е А, для которого 1.р(х) =у), назъ~ваетс.яПеречислим основные свойства объединения, пересечения и до-обратным отображением и обозна"lаетс.я 1.р- 1 : Вполнения........
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
