А.В. Овчинников - Курс лекций по аналитической геометрии, страница 6

Докажите, что для существования тройки b1 , b2 , b3 ,взаимной к a1 , a2 , a3 , необходимо и достаточно, чтобы векторы a1 , a2 , a3 были некомпланарны. Выразите векторы b1 , b2 , b3 через векторы a1 , a2 , a3 . Докажите, что если векторыa1 , a2 , a3 образуют базис, то векторы взаимной тройки b1 , b2 , b3 образуют базис той жеориентации.Ответ. b1 =[a2 , a3 ][a3 , a1 ][a1 , a2 ], b2 =, b3 =.(a1 , a2 , a3 )(a1 , a2 , a3 )(a1 , a2 , a3 )Задача 10. Решите систему векторных уравнений в пространстве: (x, a) = p, (x, b) = q,(x, c) = r, где a, b, c — некомпланарные векторы, p, q, r — числа. Объясните геометрический смысл решения. [Указание. Воспользуйтесь взаимным базисом, описанным в задаче 9.]p[b, c] + q[c, a] + r[a, b]— радиус-вектор точки пересечения плоскостей, за(a, b, c)даваемых уравнениями системы (см. задачу 6).Ответ.

x =Лекция 4Прямые и плоскости1. ПРЯМАЯНА ПЛОСКОСТИСначала получим разные виды уравнения прямой на плоскости в произвольной косоугольной системе координат Oe1 e2 .1.1. Параметрическое уравнение прямой на плоскости.Рассмотрим прямую на плоскости, проходящую через точку M0 с радиус-вектором r 0 ,называемую опорной точкой прямой, и параллельную вектору a, называемому направляющим вектором этой прямой.

Если M (r) — произвольная точка прямой, то вектор−−−→M0 M = r − r 0 коллинеарен вектору a, т.е.r − r 0 = ta,t ∈ R,откуда получаем векторное уравнение прямой:r = r 0 + ta.aMM0rr0OЗаписывая это уравнение в координатах, получим(x = x0 + tl,y = y0 + tm,где r = (x, y), r 0 = (x0 , y0 ), a = (l, m).Исключив параметр t, получимx − x0y − y0=.lmЭто уравнение называется каноническим уравнением прямой на плоскости.

В знаменателях допускаются нули; в этом случае соотношение следует «перемножить крест-накрест»,как пропорцию.1.2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.Напишем уравнение прямой, проходящей через точкиM1 (r 1 ) = M1 (x1 , y1 ),M2 (r 2 ) = M2 (x2 , y2 ).В качестве опорной точки можно выбрать любую из точек M1 или M2 , а в качественаправляющего вектора — вектор−−−−→M1 M2 = r 2 − r 1 = (x2 − x1 , y2 − y1 ).Уравнение в векторном параметрическом виде:r = r 1 + t(r 2 − r 1 ),12в каноническом видеy − y1x − x1=.x2 − x1y2 − y11.3. Общее уравнение прямой.Из канонического уравненияx − x0y − y0=lmполучаемm(x − x0 ) = l(y − y0 ) ⇐⇒ Ax + By = D,где A = m, B = −l, D = mx0 − ly0 .

Это уравнение называется общим уравнением прямойна плоскости в декартовой (косоугольной) системе координат.1.4. Нормальное уравнение прямой. Пусть теперь система координат прямоугольная,причем базис ортонормированный.Рассмотрим прямую на плоскости, проходящую через опорную точку M0 (r 0 ) и перпендикулярную вектору n, называемому нормальным вектором этой прямой. Если M (r) —−−−→произвольная точка прямой, то вектор M0 M = r − r 0 ортогонален вектору n, т.е.(r − r 0 , n) = 0.nMM0rr0OЭто уравнение называется нормальным уравнением прямой; его можно записать такжев виде(r, n) − (r 0 , n) = 0 ⇐⇒ (r, n) = D,где D = (r 0 , n).В прямоугольных декартовых координатах нормальное уравнение принимает видA(x − x0 ) + B(y − y0 ) = 0,где r = (x, y), r 0 = (x0 , y0 ), n = (A, B).Это уравнение можно записать также в видеAx + By = D;отличие этого уравнения от общего уравнения прямой в произвольной косоугольной системе координат заключается в том, что коэффициенты A, B здесь являются координатамивектора нормали прямой (в косоугольной системе координат это не так!).31.5.

Основные формулы.Теорема.Даны точка M1 (r 1 ) и прямая l, заданная уравнением (r, n) = D.(1) Ортогональная проекция M2 (r 2 ) точки M1 (r 1 ) на прямую l выражается формулой(r 1 , n) − Dr2 = r1 −n.(n, n)(2) Расстояние от точки M1 (r 1 ) до прямой l, выражается формулойd(M1 , l) =|(r 1 , n) − D|.knkВ координатной форме:d(M1 , l) =|Ax1 + By1 − D|√;A2 + B 2здесь (x1 , y1 ) — координаты точки M1 , а прямая l задана уравнениемAx + By = D.(3) Точка M3 (r 3 ), симметричная точке M1 (r 1 ) относительно прямой l, выражаетсяформулойr3 = r1 − 2(r 1 , n) − Dn.(n, n)M3nr3M2lr2M1r1O◭ Имеем:−−−−→ −−−→ −−−→M1 M2 = OM2 − OM1 = λn.Умножим обе части равенства скалярно на вектор n:−−−→−−−→(OM2 , n) − (OM1 , n) = λ(n, n),| {z } | {z }=(r1 ,n)=Dоткудаλ=−(r 1 , n) − D.(n, n)Для радиус-вектора r 2 проекции M2 точки M1 на прямую имеем:−−−→ −−−→ −−−−→(r 1 , n) − Dn.r 2 = OM2 = OM1 + M1 M2 = r 1 + λn = r 1 −(n, n)4Расстояние от точки M1 до прямой l:−−−−→ (r 1 , n) − D d(M1 , l) = d(M1 , M2 ) = M1 M2 = n=(n, n)|(r 1 , n) − D||(r 1 , n) − D|knk =.(n, n)knkДля радиус-вектора r 3 точки M3 , симметричной точке M1 относительно прямой, имеем:−−−→ −−−→ −−−−→ −−−→−−−−→r 3 = OM3 = OM1 + M1 M3 = OM1 + 2M1 M2 === r 1 + 2λn = r 1 − 22.

ПЛОСКОСТЬ(r 1 , n) − Dn.(n, n)◮В ПРОСТРАНСТВЕСначала получим различные виды уравнения плоскости в произвольной косоугольнойсистеме координат.2.1. Уравнения плоскостей.Рассмотрим плоскость π в пространстве, проходящую через точку M0 (r 0 ) и параллельную двум векторам a и b, называемым направляющими векторами. Если M (r) —−−−→произвольная точка плоскости π, то вектор M0 M = r − r 0 компланарен векторам a, b, такчтоr = r 0 + αa + βb,α, β ∈ R.Это — векторное параметрическое уравнение плоскости.M0baMr0rOВ координатах это уравнение принимает вид системыx = x0 + αa1 + βb1 ,y = y0 + αa2 + βb2 , z = z + αa + βb ,033где r = (x, y, z), r 0 = (x0 , y0 , z0 ), a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ).Факт компланарности векторов r − r 0 , a, b может быть выражен условием равенстванулю определителя, составленного из координат этих векторов:x − x y − y z − z 000a2a3 = 0.

a1 b1b2b3 Обратите внимание, что здесь мы (пока!) не говорим о смешанном произведении векторов!5Раскрывая определитель по элементам первой строки и вводя сокращенные обозначениядля коэффициентов получающегося уравнения, получим общее уравнение плоскости:Ax + By + Cz = D.2.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.Запишем уравнение плоскости, проходящей через точкиM1 (r 1 ) = M1 (x1 , y1 , z1 ),M2 (r 2 ),M3 (r 3 ).−−−→ −−−−→Если M (r) = M (x, y, z) — произвольная точка плоскости, то векторы M1 M , M1 M2 ,−−−−→M1 M3 компланарны, так чтоx−xy − y1 z − z1 1x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0.x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 M3M1MM2r0rO2.3.

Уравнение плоскости, проходящей через две точки параллельно заданному вектору.Запишем уравнение плоскости, проходящей через точки M1 (r 1 ), M2 (r 2 ) параллельновектору l = (l, m, n). Если M (r) = M (x, y, z) — произвольная точка плоскости, то векторы−−−→ −−−−→M1 M , M1 M2 , l компланарны, так чтоx−xy − y1 z − z1 1x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0. lmn 2.4. Нормальное уравнение плоскости.Рассмотрим плоскость, проходящую через опорную точку M0 (r 0 ) перпендикулярно век−−−→тору n. Для произвольной точки M (r) этой плоскости вектор M0 M ортогонален векторуn, так что(r − r 0 , n) = 0 ⇐⇒ (r, n) = D,где D = (r 0 , n).

Вектор n называется нормальным вектором плоскости.M0Mr0rOn62.5. Основные формулы.Теорема.Даны точка M1 (r 1 ) и плоскость π, заданная уравнением (r, n) = D.(1) Ортогональная проекция M2 (r 2 ) точки M1 (r 1 ) на плоскость π выражается формулой(r 1 , n) − Dr2 = r1 −n.(n, n)(2) Расстояние от точки M1 (r 1 ) до плоскости π выражается формулойd(M1 , π) =|(r 1 , n) − D|.knkВ координатной форме расстояние от точки M1 (x1 , y1 , z1 ) до плоскостиπ : Ax + By + Cz = D выражается формулойd(M1 , π) =|Ax1 + By1 + Cz1 − D|√.A2 + B 2 + C 2(3) Точка M3 (r 3 ), симметричная точке M1 (r 1 ) относительно плоскости π, выражается формулой(r 1 , n) − Dr3 = r1 − 2n.(n, n)nM3r3M2r2M1r1O3.

ПРЯМАЯВ ПРОСТРАНСТВЕКак и прямая на плоскости, прямая в пространстве может быть задана векторнымпараметрическим уравнениемr = r 0 + ta,где r 0 — радиус-вектор опорной точки, a — направляющий вектор прямой.В косоугольной системе координат Oe1 e2 e3 векторное параметрическое уравнение превращается в систему параметрических уравненийx = x0 + tl,y = y0 + tm, z = z + tn,07где r 0 = (x0 , y0 , z0 ) и a = (l, m, n).Исключая параметр t из параметрических уравнений, получим каноническое уравнениепрямойx − x0y − y0z − z0==.lmnОтметим, что это соотношение представляет собой не одно, а несколько (пару) уравнений.Нули в знаменателях допустимы; в соответствующем случае считаем, что в числителетакже стоит нуль.Прямая может быть задана как пересечение двух непараллельных плоскостей, заданных, например, общими уравнениями:(A1 x + B1 y + C1 z = D1 ,A2 x + B2 y + C2 z = D2 .Понятие векторного произведения позволяет записать еще один тип уравненя прямой впространстве.Умножая векторное параметрическое уравнение прямойr = r 0 + taвекторно на вектор a, получаем[r, a] = [r 0 , a] + t [a, a] .| {z }=0Обозначим b = [r 0 , a]; отметим, что b⊥a.