А.В. Овчинников - Курс лекций по аналитической геометрии, страница 10

Направляющей является эллипс, образующие параллельны оси Oz.10 Мнимый эллиптический цилиндрУравнение мнимого эллиптического цилиндраx2 y 2+ 2 = −1,a2bгде a > 0, b > 0. Эта поверхность не содержит ни одной вещественной точки.11Пара мнимых пересекающихся плоскостейУравнение пары мнимых пересекающихся плоскостейx2 y 2+ 2 = 0,a2bгде a > 0, b > 0. Вещественные точки этой поверхности заполняют прямую (ось Oz).12 Гиперболический цилиндрУравнение гиперболического цилиндраx2 y 2− 2 = 1,a2bгде a > 0, b > 0. Направляющей является гипербола,образующие параллельны оси Oz.613Пара пересекающихся плоскостейУравнение пары пересекающихся плоскостейx2 y 2− 2 = 0,a2bгде a > 0, b > 0.14Параболический цилиндрУравнение гиперболического цилиндраy 2 = 2px,где p > 0.

Направляющей является парабола, образующие параллельны оси Oz.15Пара параллельных плоскостейУравнение пары параллельных плоскостейy 2 = a2 ,где a > 0.16Пара мнимых параллельных плоскостейУравнение пары мнимых параллельных плоскостейy 2 = −a2 ,где a > 0.17Пара совпадающих плоскостейУравнение пары совпадающих плоскостейy 2 = 0.2. ЛИНЕЙЧАТЫЕПОВЕРХНОСТИПоверхность называется l-кратно линейчатой поверхностью, если через каждую ееточку проходит ровно l различных прямых, называемых прямолинейными образующими.Примеры.1. Все цилиндры являются 1-линейчатыми поверхностями.2.

Конус является 1-линейчатой поверхностью, все прямолинейные образующие которой проходят через одну точку — вершину конуса.7Однополостный гиперболоидТеорема.Однополостный гиперболоид является дважды линейчатой поверхностью.Пусть (x0 , y0 , z0 ) — точка, лежащая на однополостном гиперболоидеx2 y 2 z 2+ 2 − 2 = 1.a2bc(1)Рассмотрим прямую, проходящую через эту точку:x = x0 + lt,y = y0 + mt,z = z0 + nt.(2)Для краткости введем обозначенияyzY = , Z= ,bcx0y0z0X0 = , Y0 = , Z0 = ,abcmnlL= , M = , N = .abcУравнение гиперболоида (1) в новых обозначенияхX=x,aX 2 + Y 2 − Z 2 = 1 ⇐⇒ X 2 + Y 2 = 1 + Z 2 ,(3)а уравнение прямой (2) —X = X0 + Lt,Y = Y0 + M t,Z = Z0 + N t.(4)Подставляя (4) в (3), получим(X0 + Lt)2 + (Y0 + M t)2 − (Z0 + N t)2 = 1 ⇐⇒⇐⇒ (X02 + Y02 − Z02 ) +2t(X0 L + Y0 M − Z0 N ) + t2 (L2 + M 2 − N 2 ) = 1|{z}=1⇐⇒ 2t(X0 L + Y0 M − Z0 N ) + t2 (L2 + M 2 − N 2 ) = 0.Это уравнение выполняется тождественно (т.

прямая (4) целиком лежит на гиперболоиде(3)) тогда и только тогда, когдаX0 L + Y0 M − Z0 N = 0,L2 + M 2 − N 2 = 0.Поскольку направляющий вектор прямой может быть выбран с точностью до произвольного ненулевого множителя, положим n = c, тогда N = 1, и получимX0 L + Y0 M = Z0 ,L2 + M 2 = 1.Второе уравнение допускает параметризациюL = cos ϕ,M = sin ϕ,8после чего первое уравнение примет видX0 cos ϕ + Y0 sin ϕ = Z0 ⇐⇒qYX0p 0X02 + Y02  p 2cosϕ+sinϕ = Z0 ⇐⇒22 X0 + Y02X0 + Y0||{z}{z}=cos θ=sin θZ0Z0=p;⇐⇒ cos(ϕ − θ) = p 22X0 + Y01 + Z02последняя дробь строго меньше единицы по модулю, поэтому тригонометрическое уравнение имеет ровно 2 решения на [0, 2π):ПустьТогдаZ0Z0⇐⇒ ϕ = θ ± arccos p.ϕ − θ = ± arccos p21 + Z01 + Z02Z0β = arccos p∈ [0, π]1 + Z02⇒Z0cos β = p,1 + Z02sin β = p11 + Z02.cos ϕ = cos(θ ± β) = cos θ cos β ∓ sin θ sin βZ1Y0X0 Z0 ∓ Y0Xp 0p∓p 2=,=p 222221 + Z02X0 + Y0 1 + Z0X0 + Y0 1 + Z0sin ϕ = sin(θ ± β) = sin θ cos β ± cos θ sin βZ1X0Y0 Z0 ± X0Y0p 0p±p 2=.=p 222221 + Z02X0 + Y0 1 + Z0X0 + Y0 1 + Z0Таким образом, имеем два решенияLε = cos ϕ =X0 Z0 − εY0,1 + Z02Mε = sin ϕ =Y0 Z0 + εX0,1 + Z02ε = ±1.Каждое из возможных значений ε определяет направляющий вектор.Итак, через точку (X0 , Y0 , Z0 ) гиперболоида (3) проходят ровно две прямые, целикомлежащие на гиперболоиде:X = X0 +X0 Z0 − εY0t,1 + Z02Y = Y0 +Y0 Z0 + εX0t,1 + Z02Z = Z0 + t,ε = ±1.Эти прямые пересекаются с плоскостью z = 0 (Z = 0) в точках (X1 , Y1 , Z1 ), (X−1 , Y−1 , Z−1 ),отвечающих значению параметра t0 = −Z0 :X0 + εY0 Z0Y0 Z0 + εX0X0 Z0 − εY0Z0 ==ε= εMε ,221 + Z01 + Z01 + Z02Y0 Z0 + εX0Y0 − εX0 Z0X0 Z0 − εY0Yε = Y0 −Z0 == −ε= −εLε ,221 + Z01 + Z01 + Z02Xε = X0 −Zε = 0,ε = ±1.9Ясно, что эти две точки лежат на горловом эллипсе гиперболоида.

Теперь можно записатьуравнения прямолинейных образующих в видеX = Xε − εYε t,Y = Yε + εXε t,Z = t.Обратно, пусть (X∗ , Y∗ ) — точка горлового эллипса однополостного гиперболоида (3),т.е.X∗2 + Y∗2 = 1.Рассмотрим две прямыхX = X∗ − εY∗ t,Y = Y∗ + εX∗ t,Z = t,ε = ±1.ПосколькуX 2 + Y 2 − Z 2 = (X∗ − εY∗ t)2 + (Y∗ + εX∗ t)2 − t2 == (X∗2 + Y∗2 ) +2t(Xε Yε − Xε Yε ) + t2 (X∗2 + Y∗2 − 1) = 1,|{z}| {z }=1=0обе эти прямые целиком лежат на гиперболоиде.Итак, через любую точку гиперболоида проходит ровно две прямолинейные образующие, одна из которых отвечает значению ε = 1, а другая — значению ε = −1. Все прямолинейные образующие разбиваются на два семейства; к одному семейству относятсяобразующие, отвечающие ε = 1, к другому — отвечающие ε = −1.Рассмотрим две образующие, проходящие через точки (X1 , Y1 ) и (X2 , Y2 ) горловогоэллипса:X = X2 − ε2 Y2 t,X=X−εYt,111Y = Y2 + ε2 X2 t,Y = Y1 + ε1 X1 t, Z = t. Z = t,Выясним вопрос о взаимном расположении этих прямых.

Рассмотрим определитель X2 − X1X2 − X1Y2 − Y10 Y2 − Y10 D = −ε1 Y1ε1 X1 − ε2 X20 =ε1 X11 = −ε1 Y1 + ε2 Y2 −ε2 Y2−ε2 Y2ε2 X21 ε2 X21 X −XY2 − Y121=. ε2 Y2 − ε1 Y1ε1 X1 − ε2 X2 Обозначим ε = ε1 ε2 ; тогда ε2 = εε1 = εε1 и далее X −XX−XY−YY−Y 21212121== ε2 Y2 − ε1 Y1εε1 Y2 − ε1 Y1ε1 X1 − εε1 X2 ε1 X1 − ε2 X2 X −XhiY−Y2121(X−X)(εX−X)+(Y−Y)(εY−Y)=−ε= ε1 21212121 .1 εY2 − Y1X1 − εX2 Если ε = 1, т.е. образующие принадлежат к одному семейству, тоhihi22D = −ε1 (X2 − X1 )(X2 − X1 ) + (Y2 − Y1 )(Y2 − Y1 ) = −ε1 (X2 − X1 ) + (Y2 − Y1 ) 6= 0,10т.е. рассматриваемые две прямые скрещиваются. Если ε = −1, т.е.

образующие принадлежат к разным семействам, тоihhiD = −ε1 (X2 − X1 )(−X2 − X1 ) + (Y2 − Y1 )(−Y2 − Y1 ) = −ε1 (X2 − X1 )2 + (Y2 − Y1 )2 == ε1 [X22 − X12 + Y22 − Y12 ] = 0,т.е. рассматриваемые две прямые лежат в одной плоскости.Рассмотрим три попарно различные одноименные прямолинейные образующие, проходящие через точки (X1 , Y1 ), (X2 , Y2 ), (X3 , Y3 ) горлового эллипса. Рассмотрим определитель, составленный из координат направляющих векторов указанных прямых: −Y1X11X21 6= 0, −Y2 −Y3X31 поскольку точки (X1 , Y1 ), (X2 , Y2 ), (X3 , Y3 ) не лежат на одной прямой. Таким образом,рассматриваемые три прямолинейные образующие не компланарны.Доказана следующая теорема.Теорема.Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида обладают следующимисвойствами:1.

Через каждую точку гиперболоида проходит одна и только одна образующаякаждого семейства.2. Каждая образующая пересекает горловой эллипс гиперболоида.3. Любые две образующие, принадлежащие к одному семейству, скрещиваются.4. Любые две образующие, принадлежащие к разным семействам, лежат в однойплоскости.При решении задач более удобен иной метод нахождения прямолинейных образующих.Запишем уравнение однополостного гиперболоида в видеx z x z x2 z 2y2yy− 2 = 1 − 2 ⇐⇒−+= 1−1+.a2cba ca cbbПусть точка (x0 , y0 , z0 ) лежит на гиперболоиде.

Рассмотрим две системы однородных линейных уравнений  y0 y z x0 z0 xαγ 0 − 0 = δ 1 + 0 ,=β 1−, −cbc b xaaxz0 z0y0 y000β++=α 1+,  δ=γ 1−acbacb11относительно неизвестных (α, β) для первой системы и (γ, δ) для второй. Определителиэтих систем равны нулю; например, для первой системы xy0 0 z0−−1− xz0 x0 z0 y0 y0 acb 0=−+− 1+1−= 0. x0 z0 y0acacbb+− 1 +bacТаким образом, каждая из систем обладает нетривиальным решением; обозначим этирешения через (α0 , β0 ) и (γ0 , δ0 ) соответственно. Рассмотрим теперь системы уравнений  yyx zx z α0= β0 1 −,= δ0 1 +,−−γ0ba c b xa zc x zyy δ0 β0++= α0 1 +, = γ0 1 −a cba cbотносительно неизвестных (x, y, z).

Точка (x0 , y0 , z0 ) является решением каждой из систем, и при этом каждая из систем определяет прямую, проходящую через указаннуюточку. Поскольку при перемножении уравнений каждой из систем получается уравнениегиперболоида, любое решение (x, y, z) каждой из систем представляет точку, лежащую нагиперболоиде. Таким образом, обе прямых, представляемых данными системами, целикомлежат на гиперболоиде.Гиперболический параболоидТеорема.Гиперболический параболоид является дважды линейчатой поверхностью.Пусть точка (x0 , y0 , z0 ) лежит на гиперболическом параболоидеx2 y 2− 2 = 2z.a2b(5)Рассмотрим прямую, проходящую через эту точку:x = x0 + lt,y = y0 + mt,z = z0 + nt.Для краткости введем обозначенияyY = , Z = z,bx0y0X0 = , Y0 = , Z0 = z0 ,ablmL = , M = , N = n.abУравнения параболоида (7) и прямой (6) в новых обозначениях имеют видX = X0 + Lt,X 2 − Y 2 = 2Z,Y = Y0 + M t, Z = Z + N t.X=x,a012(6)Подставляя параметрические уравнения прямой в уравнение параболоида,получим(X0 + Lt)2 − (Y0 + M t)2 = 2(Z0 + N t) ⇐⇒⇐⇒ (X02 − Y02 ) +2t(X0 L − Y0 M ) + t2 (L2 − M 2 ) = 2Z0 + 2N t ⇐⇒| {z }=2Z0⇐⇒ 2t(X0 L − Y0 M ) + t2 (L2 − M 2 ) = 2N t.Это уравнение выполняется тождественно, т.е.