А.В. Овчинников - Курс лекций по аналитической геометрии, страница 19

. , er — базис в P ∩ Q, dim(P ∩ Q) = r;f 1 , . . . , f p — его дополнение до базиса в P , dim P = r + p;g 1 , . . . , g q — его дополнение до базиса в Q, dim Q = r + q .Тогда все эти векторы образуют базис в P + Q (объясните почему), иdim(P + Q) = r + p + q = (p + r) + (q + r) − r = dim P + dim Q − dim(P ∩ Q).113.5. Прямая сумма ЛПП.Пусть V (K) — ЛП, P V , Q V . Тогда для любого вектора z ∈ P + Q существуюттакие x ∈ P , y ∈ Q, что z = x + y . Такое разложение, вообще говоря, не единственно.Если же оно единственно, то сумма ЛПП называется прямой суммой; P ⊕ Q.Теорема.Сумма ЛПП P и Q является прямой суммой тогда и только тогда, когдаP ∩ Q = {0}.

1. Пусть P ∩ Q = {0}. Тогда базиса в P ∩ Q не существует, а базисы в P и Q сутьf 1, . . . , f p,g1, . . . , gq ,где p = dim P , q = dim Q. Базис в P +Q состоит из всех этих векторов, поэтому ∀z ∈ P +Qимеемx = x1 f 1 + · · · + xp f p + y 1 g 1 + · · · + y q g q . =x=yЭто разложение единственно (единственность разложения по базису) ⇒ P + Q = P ⊕ Q.2. Пусть P + Q = P ⊕ Q. Докажем, что P ∩ Q = {0}.Предположим противное, т.е. допустим, что ∃v ∈ P ∩ Q, v = 0. Тогда v ∈ P , v ∈ Q и∀z ∈ P ⊕ Q имеемz =x+y =x+ v + y − v , ∈P∈Qт.е. разложение вида z = x + y не единственно; противоречие.

Задача. Докажите, чтоKn×n = SKn×n ⊕ AKn×n .Задача. Докажите, чтоPol(n) = S Pol(n) ⊕ A Pol(n).3.6. Ядро и образ гомоморфизма.Пусть V (K) и W (K) — два ЛП над ЧП K, f : V → W — гомоморфизм.Ядро ker f гомоморфизма f — это множество векторов из Vker f = x ∈ V f (x) = 0W .Образ im f гомоморфизма f — это множество векторов из Wim f = y ∈ W ∃x ∈ V : y = f (x) .VfW0V0Wker fim fТеорема.Пусть f : V → W — гомоморфизм ЛП. Тогдаker f V,im f W.12 1. Проверим, что ker f V . Имеем:x ∈ ker f⇐⇒f (x) = 0W ,y ∈ ker f⇐⇒f (y) = 0W ;поэтомуf (x + y) = f (x) + f (y) = 0W⇐⇒x + y ∈ ker f.Завершите доказательство самостоятельно. Теорема.Пусть f : V → W — гомоморфизм ЛП.dim ker f + dim im f = dim V.(3) Пусть dim V = n, dim ker f = p, e1 , .

. . , ep — базис в ker f , ep+1 , . . . , en — его дополнение до базиса в V .Имеем f (e1 ) = · · · = f (ep ) = 0W .Докажем, что векторы f p+1 = f (ep+1 ), . . . , f n = f (en ) образуют базис в im f .Предположим, что эти векторы ЛЗ, т.е. ∃αp+1 , . . . , αn ∈ K, не все равные нулю, такие,чтоαp+1 f p+1 + · · · + αn f n = 0W .В таком случае0W = αp+1 f p+1 + · · · + αn f n = αp+1 f (ep+1 ) + · · · + αn f (en ) = f (αp+1 ep+1 + · · · + αn en ),откуда следует, чтоαp+1 ep+1 + · · · + αn en = 0V ,что противоречит линейной независимости векторов ep+1 , . . . , en . Таким образом, векторыf p+1 = f (ep+1 ), . .

. , f n = f (en ) ЛН.Далее, ∀y ∈ im f ∃x ∈ V такой, что y = f (x). Имеем:x = x1 e1 + · · · + xp ep + xp+1 ep+1 + · · · + xn en ,y = f (x) = x1 f (e1 ) + · · · + xp f (ep ) +xp+1 f (ep+1 ) + · · · + xn f (en ) ==0W= xp+1 f p+1 + · · · + xn f n ,т.е. любой вектор y ∈ W может быть разложен в ЛК векторов f p+1 , . . . , f n . Таким образом, векторы f p+1 , . . . , f n образуют базис в im f и, следовательно, dim im f = n − p.Итак,dim V = n = p + (n − p) = dim ker f + dim im f.3.7. Ядро и образ матрицы.СоотношениеAX = Y,A ∈ Km×n ,X ∈ Kn ,Y ∈ Km ,можно рассматривать как отображениеA : Kn → Km ,X → Y,задаваемое матрицей A. Очевидно, это отображение является гомоморфизмом ЛП Knи Km .13Тогда задача решения ОСЛУAX = Oэквивалентна нахождению ядра ker A этого гомоморфизма, которое называют также ядромматрицы A.Образ указанного гомоморфизма называют образом матрицы A. Так как столбецY = AX представляет собой ЛК столбцов матрицы A с коэффициентами, равными элементам столбца X , ясно, что образ матрицы есть не что иное, как линейная оболочка еестолбцов.4.

РАНГМАТРИЦЫ4.1. Линейная оболочка строк матрицы.Теорема.При ЭП строк размерность ЛО ее строк не меняется. Пусть матрица B получена из матрицы A ∈ Km×n с помощью ЭП строк. Это означает,что каждая строка матрицы B является некоторой ЛК строк матрицы A, так чтоL(B 1 , . . . , B m ) L(A1 , . . .

, Am ).Поскольку ЭП строк обратимы, тоL(A1 , . . . , Am ) L(B 1 , . . . , B m ).Таким образом,L(A1 , . . . , Am ) = L(B 1 , . . . , B m ) ⇐⇒⇐⇒ dim L(A1 , . . . , Am ) = dim L(B 1 , . . . , B m ).4.2. Линейная оболочка столбцов матрицы.Линейная оболочка столбцов матрицы A ∈ Km×n — это образ гомоморфизмаA : Kn → Km ,X → AX.Теорема.При ЭП строк размерность ЛО ее столбцов не меняется. Рассмотрим ОСЛУ с матрицей A ∈ Km×n :AX = OМножество ее решений — это ядро ker A матрицы A. Поскольку при ЭП строк СЛУпереходит в эквивалентную СЛУ, для любой матрицы B , полученной из A такими ЭП,имеемker B = ker A.Поэтомуdim im B = dim Kn − dim ker B = dim Kn − dim ker A = dim im A.Теорема.Для любой матрицы A размерность ЛО ее строк равна размерности ЛО ее столбцов.14 Приведем матрицу A ∈ Km×n к упрощенному виду с помощью ЭП строк; размерностиЛО строк и столбцов полученной матрицы B равны размерностям соответствующих ЛОдля матрицы A.

В матрице B сделаем ЭП типа (4), т.е. удалим из нее нулевые строки;получим матрицу C ∈ Kr×n , где r m.Рассматривая ОСЛУ с матрицей C , видим, что в каждом уравнении имеется базиснаянеизвестная. Поэтому строки матрицы C ЛН. Таким образом, размерность ЛО строкматрицы C равна количеству базисных неизвестных и равно количеству уравнений r.Количество свободных неизвестных в системе равно n − r, поэтому ФСР ОСЛУ состоитиз n−r столбцов, т.е. размерность пространства решений ОСЛУ, равная размерности ядраматрицы, также равна n − r. Размерность же ЛО столбцов, равная размерности образаматрицы, равна n − (n − r) = r.

Ранг матрицы — это размерность ЛО ее строк (столбцов). Обозначение: rk A.4.3. Ранг произведения матриц.Теорема.rk(AB) rk A,rk(AB) rk B. Поскольку столбцы матрицы AB суть линейные комбинации столбцов матрицы A,получаемL(C1 , . . . , Cp ) L(A1 , . . . , Am )⇒dim L(C1 , . . . , Cp ) dim L(A1 , . . . , Am ).4.4. Теорема Кронекера—Капелли.Теорема.Система линейных уравненийAX = Bсовместна тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной матрицы:rk A = rk[A|B]. Совместность системыAX = B ⇐⇒ A1 x1 + A2 x2 + · · · + An xn = Bозначает, чтоB ∈ L(A1 , A2 , .

. . , An )т.е.L(A1 , A2 , . . . , An ) = L(B, A1 , A2 , . . . , An ),так что размерности этих линейных оболочек совпадают. 5. Э КЗАМЕНАЦИОННЫЕЗАДАЧИЗадача 1. Доказать, что подмножество в Kn (K), состоящее из столбцов, сумма элементовкоторых равна нулю, является линейным подпространством в Kn (K). Найти размерностьи указать какой-либо базис этого подпространства.Задача 2. Доказать, что в линейном пространстве Kn×n (K) квадратных матриц порядка nподмножество SKn×n симметричных матриц является линейным подпространством.

Найтиразмерность и указать какой-либо базис этого подпространства.15Задача 3. Доказать, что в линейном пространстве Kn×n (K) квадратных матриц порядкаn подмножество AKn×n кососимметричных матриц является линейным подпространством.Найти размерность и указать какой-либо базис этого подпространства.Задача 4. Доказать, что Kn×n = SKn×n ⊕ AKn×n .Задача 5. Доказать, что в линейном пространстве Kn×n (K) квадратных матриц порядкаn подмножество матриц с нулевым следом является линейным подпространством. Найтиразмерность и указать какой-либо базис этого подпространства.Задача 6.

Доказать, что сумма L двух линейных подпространств P и Q тогда и толькотогда будет прямой суммой, когда хотя бы один вектор x ∈ L однозначно представляетсяв виде x = y + z , где y ∈ P , z ∈ Q.Задача 7. Пусть P и Q — два линейных подпространства конечномерного линейного пространства V . Доказать, что если dim P + dim Q > dim V , то пересечение P ∩ Q содержитненулевой вектор.Задача 8. Пусть P и Q — два линейных подпространства конечномерного линейного пространства V . Доказать, что если dim(P + Q) = dim(P ∩ Q) + 1, то одно из этих подпространств содержится в другом.Задача 9. Доказать, что для любого линейного подпространства P конечномерного линейного пространства V существует другое подпространство Q такое, что V = P ⊕ Q.Задача 10.

Пусть A, B , C — три линейных подпространства конечномерного линейногопространства V , P = (A ∩ C) + (B ∩ C), Q = (A + B) ∩ C . Доказать, что P ⊆ Q. Привестипример, когда P = Q.Задача 11. Доказать, что если в n-мерном комплексном линейном пространстве V рассматривать умножение векторов лишь на вещественные числа, то получим 2n-мерноевещественное линейное пространство V R . (Описанная процедура называется овеществлением комплексного линейного пространства.) Исходя из базиса e1 , . .

. , en пространства V ,построить базис пространства V R ..