А.В. Овчинников - Курс лекций по аналитической геометрии, страница 14

В разложениемногочлена на множители входит произведение(z − c)(z − c̄) = z 2 − (c + c̄)z + cc̄ = z 2 − 2(Re c)z + |c|2 ,являющееся квадратным трехчленом; отметим, что дискриминант этого трехчлена отрицателен:D = 4(Re c)2 − 4|c|2 < 0,так как|c|2 = (Re c)2 + (Im c)2 > (Re c)2 .Такие квадратные трехчлены называются неприводимыми.Таким образом, каждый многочлен с вещественными коэффициентами может быть разложен в произведение линейных множителей и неприводимых квадратных трехчленов:A(x) = a(x − c1 )α1 · · · (x − cs )αs (x + p1 x + q1 )β1 · · · (x + pr x + qr )βr .5. ЗАДАЧИДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯЗадача 1. Найти суммы:(a) 1 − Cn2 + Cn4 − Cn6 + . .

. ;(b) Cn1 − Cn3 + Cn5 − Cn7 + . . . .[Указание: Рассмотреть (1 + i)n .]; (b) 2n/2 sin πn.Ответ. (a) 2n/2 cos πn44Задача 2. Найти суммы:nP(a)Cnk cos kx;(b)k=1nPk=1Cnk sin kx.Ответ. (a) 2n cosn x2 cos n+2x; (b) 2n cosn x2 sin n+2x.22Задача 3. При каком условии многочлен x3 + px + q делится на многочлен x2 + mx − 1?Ответ. q = m и p = −q 2 − 1.Задача 4. Разложить на множители многочлен x2n − 2xn + 2.19Ответ.n−1Yk=02x −2√2n√8k + 1n2x cosπ+ 2 .4nЗадача 5.

Разложить на множители многочлен x2n + xn + 1.n−1Y3k + 12Ответ.x − 2x cos2π + 1 .3nk=0Лекция 8Матрицы. Системы линейных уравнений.Алгоритм Гаусса1. М АТРИЦЫ1.1. Основные определения.Матрица размера m × n — прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов.Нумерация элементов матрицы:(1) верхний индекс — номер строки, нижний индекс — номер столбца:a1 12 a1A= .. .am1a12 · · · a1na22 · · · a2n .

;.. . .. .. .mma2 · · · a n(2) первый индекс — номер строки, а второй — номер столбца:a11 a21A= .. .am1a12 · · · a1na22 · · · a2n .. ....... .am2 · · · amnСокращенные обозначения:a11 2 a1 . . .am1a12 · · · a1na22 · · · a2n i m.. . ...

 = (aj )n ,... ma2 · · · a mna11 a21 . . .am1a12 · · · a1na22 · · · a2n .... ... = (aij )mn ... am2 · · · amnМножество всех матриц размера m × n, элементы которых принадлежат множеству X ,обозначается X m×n . Для нас наиболее интересен случай, когда X — некоторое числовоеполе K (K = Q, R или C).Специальные виды матриц.• Нулевая матрица: все элементы равны нулю; обозначение O.• Квадратная матрица: количество строк равно количеству столбцов); порядок квадратной матрицы — это количество ее строк (столбцов).

Следом квадратной матрицы называется сумма ее диагональных элементов:tr A = a11 + a22 + · · · + ann .12• Диагональная матрица: квадратная матрица, у которой aij = 0 для всех i 6= j , 100a1 0 0 · · · 0 a2 0 · · ·002 0 0 a33 · · ·001n. . .....  . . . ... = diag(a1 , . . . , an ).... .

.n−1 0 0 0 · · · an−1 0 0 0 0 ···0 ann• Верхнетреугольная (правая треугольная)aij = 0 для всех i > j ,∗ ∗ ∗ ···0 ∗ ∗ · · ·0 0 ∗ · · ·. . .. . . .... . .0 0 0 · · ·0 0 0 ···матрица: квадратная матрица, у которой∗∗∗.. ..∗ ∗0 ∗∗∗∗...• Нижнетреугольная (левая треугольная) матрица: квадратная матрица, у которойaij = 0 для всех i < j ,∗ 0 0 ··· 0 0∗ ∗ 0 · · · 0 0 ∗ ∗ ∗ · · · 0 0 . . . .

. . . . . .. ..  ......∗ ∗ ∗ · · · ∗ 0 ∗ ∗ ∗ ··· ∗ ∗Матрицы A и B называются равными, A = B , если(1) их размеры равны:A = (aij )mn,B = (bij )mn;(2) элементы, стоящие на соответственных местах, равны между собой:aij = bij∀ i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.1.2. Линейные операции и их свойства.i mСумма матриц A = (aij )mn и B = (bj )n одинакового размера m × n:C =A+B⇐⇒cij = aij + bij∀ i = 1, . . .

, m, j = 1, . . . , n.Произведение матрицы A = (aij )mn на число α:D = αA⇐⇒dij = αaij∀ i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.Теорема. Операции над матрицами обладают следующими свойствами.(1) коммутативность сложения: ∀A, B ∈ Km×nA + B = B + A;(2) ассоциативность сложения: ∀A, B, C ∈ Km×n(A + B) + C = A + (B + C);3(3) свойство нулевой матрицы: ∀A ∈ Km×nA + O = A,где O ∈ Km×n ;(4) существование противоположной матрицы:∀A ∈ Km×n∃A0 ∈ Km×n : A + A0 = O;(5) свойство единицы: ∀A ∈ Km×n1 · A = A;(6) ассоциативность умножения на число: ∀α, β ∈ K, ∀A ∈ Km×n :α(βA) = (αβ)A;(7) дистрибутивность-1: ∀α ∈ K, ∀A, B ∈ Km×nα(A + B) = αA + αB;(8) дистрибутивность-2: ∀α, β ∈ K, ∀A ∈ Km×n(α + β)A = αA + βA.1.3.

Умножение матриц.Произведение матриц A ∈ Km×s и B ∈ Ks×n — матрица C = AB ∈ Km×n , элементыкоторой вычисляются по формулеsXicj =aik bkj .k=1Перемножить матрицы можно лишь в том случае, когда количество столбцов первойматрицы равно количеству строк второй.Пример.ÃÃ! Ã ! Ã! Ã !1 251·5+2·617·==;3 463·5+4·639Ã ! Ã!51 2·не существует;63 4Ã! Ã!1 21·1+2·3+3·5 1·2+2·4+3·61 2 3 22 28·  3 4 ==;4 5 64·1+5·3+6·5 4·2+5·4+6·649 645 6! Ã!1 21·1+2·4 1·2+2·5 1·3+2·69 12 15 1 2 3 =  3 · 1 + 4 · 4 3 · 2 + 4 · 5 3 · 3 + 4 · 6  = 19 26 33 ; 3 4 ·4 5 65 65·1+6·4 5·2+6·5 5·3+6·629 40 51Ã! Ã! Ã!Ã! Ã! Ã!1 25 619 225 61 223 34·=,·=;3 47 843 507 83 431 464здесьAB 6= BA.Ã!! Ã! Ã2 72 31 2;=·0 20 20 1Ã!! Ã! Ã2 71 22 3.=·0 20 10 2Здесь AB = BA.Единичная матрица — диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны 1. Элементы единичной матрицы обозначаются1, если i = j,δji =0, если i 6= j;δji называется символом Кронекера.Обозначения: I , E ; если нужно указать размер — In , En .Теорема.

Операция умножения матриц обладает следующими свойствами:(1) ассоциативность умножения: ∀A ∈ Km×s , ∀B ∈ Ks×p , ∀C ∈ Kp×nA(BC) = (AB)C;(2) дистрибутивность-1: ∀A ∈ Km×s , ∀B, C ∈ Ks×nA(B + C) = AB + AC;(3) дистрибутивность-2: ∀A, B ∈ Km×s , ∀C ∈ Ks×n(A + B)C = AC + BC;(4) свойство единичной матрицы: ∀A ∈ Km×nIm A = AIn = A.J Докажем соотношениеDFz }| {z }| {A( B C ) = ( A B )C .| {z } | {z }XПустьYB = (bjk )sp ,A = (aij )ms ,C = (ckl )pn .Рассмотрим произведениеD = BC =(djl )sn ,djl=pXbjk ckl .k=1Далее,X = AD = (xil )mn,xil=sXj=1aijdjl=sXj=1aijÃpXk=1bjkckl!=Произведения в правой части равенства:F = AB = (fki )mp ,fki =sXj=1psXXj=1k=1aij bjk ,aij bjk ckl .5Y = F C = (yli )mn,yli=pXfkickl=k=1Ã spXXaijj=1k=1bjk!ckl=psXXk=1aij bjk ckl .j=1Ясно, что xil = yli , так как выражения этих величин отличаются лишь порядком суммирования.

I1.4. Структура произведения матриц. Рассмотрим матрицыm×pA = (ajl )m,p ∈ KB = (blk )pn ∈ Kp×n ,Наша задача — описать структуру столбцов матрицы C = AB .Представим матрицу A в виде совокупности столбцовA = [A1гдеa11 2 a1 A1 =  ..  , . A2...a12 2 a2 A2 =  ..  , . am1Ap ],...,am2a1p 2 ap Ap =  ..

 . . ampПроизведением матриц A ∈ Km×p и B ∈ Kp×n является матрица C ∈ Km×n , элементыкоторой вычисляются по формулеcjk=pXajl blk ,l=1j = 1, . . . , m,k = 1, . . . , n.Представим матрицу C в виде совокупности столбцов:C = [C1C2...Cn ].Обсудим строение k -го столбца:1Ppck l=1 ..  Ck =  .  = pPcmkl=1...aml 1al Xpp..

 bl = X A bl = A · B .= .  kl kk l=1l=1malbla1l blkkТаким образом, доказаны следующие утверждения.(1) k -й столбец матрицы AB равен линейной комбинации столбцов матрицы A с коэффициентами, равными элементам k -го столбца матрицы B .(2) k -й столбец матрицы AB равен произведению матрицы A на k -й столбец матрицыB.6m×n1.5.

Транспонирование. Дана матрица A = (aij )m. Матрицаn ∈ KB = (bji )nm ∈ Kn×m ,bji = aij ,называется транспонированной для A. Обозначения:B = AT = Atr = tr A.Пример.Ã1 2 34 5 6!T1 4=  2 5 .3 6Теорема. Операция транспонирования обладает следующими свойствами:1. (A + B)T = AT + B T ;2. (αA)T = α · AT ;3.

(AT )T = A;4. (AB)T = B T AT .J Докажите самостоятельно. IМатрица A называется симметричной, если A = AT .Матрица A называется кососимметричной, если A = −AT .Пример.01 −21 2 303 . 2 5 7  ,  −12 −303 7 4Множества всех симметричных и кососимметричных матриц порядка n обозначаютсяSKn×n ,AKn×n .Теорема. Любую квадратную матрицу A можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной матриц:11A = (A + AT ) + (A − AT ) .|2 {z } |2 {z }симм.кососимм.Отметим, что такое представление единственно.1.6. Определитель произведения матриц. В этом разделе матрицы A, B имеют следующую структуру:111Ã!aaa123a11 a12A=или  a21 a22 a23  .22a1 a2a31 a32 a33Теорема. Если A, B — матрицы второго или третьего порядка, тоdet(A · B) = det A · det B.1. Доказательство для det-2.¢¡¢¤£ ¡det(AB) = det[AB1 , AB2 ] = det A b11 I1 + b21 I2 , A b12 I1 + b22 I2 =7£¡¢¤£¡¢¤= b11 det AI1 , A b12 I1 + b22 I2 + b21 det AI2 , A b12 I1 + b22 I2 == b11 b12 det [AI1 , AI1 ] + b11 b22 det [AI1 , AI2 ] + b21 b12 det [AI2 , AI1 ] + b21 b22 det [AI2 , AI2 ] =||||{z}{z}{z}{z}=0=det A=0=− det A¢¡= det A b11 b22 − b21 b12 = det A · det B.2.

Доказательство для det-3. Прежде всего запишем формулу полного разложения det-3:¯¯¯ b1 b1 b1 ¯¯ 1 2 3 ¯¯ 2 2 2 ¯¯ b1 b2 b3 ¯ = b11 b22 b33 + b21 b32 b13 + b31 b12 b23 − b11 b32 b23 − b21 b12 b33 − b31 b22 b13 .¯ 3 3 3 ¯¯ b1 b2 b3 ¯Структура этой формулы такова: в каждом слагаемом нижние индексы следуют в естественном порядке 1, 2, 3, а верхние образуют некоторую перестановку чисел 1, 2, 3; всегослагаемых 6, по числу возможных перестановок из 3 элементов, 3! = 6.Слагаемое входит в формулу со знаком «+», если последовательность верхних индексов в нем получена из последовательности 1, 2, 3 четным числом перестановок соседнихэлементов, и со знаком «−» в противном случае:123.&213↓231132↓312&.321Для определителя произведения матриц имеем:!à 3à 3!! ÃX3X jXbi1 Ii , Adet(AB) = det [AB1 , AB2 , AB3 ] = det b 2 Ij , Abk3 Ik A=j=1| i=1{z }}| k=1{z| {z }B1=3X"bi1 det AIi , Ai=1=33 X3 XXi=1 j=1 k=1bi1bj2bk3Ã3Xj=1bj2 Ij!det [AIi , AIj , AIk ] =, AB3B2Ã3Xbk3 Ikk=133 X3 XX!#= ··· =bi1 bj2 bk3 det [Ai , Aj , Ak ] .i=1 j=1 k=1В этой сумме 33 = 27 слагаемых, но большинство из них равно нулю, так как содержатв качестве множителя det-3 вида det[Ai , Aj , Ak ] с одинаковыми столбцами.