А.В. Овчинников - Курс лекций по аналитической геометрии

Овчинников Алексей ВитальевичКУРС ЛЕКЦИЙПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИhttp://matematika.phys.msu.ru/2Лекция 1Системы координатПредставление линий и поверхностей1. ОБУЧЕБНОМ ПЛАНЕЛекции36 ч.Семинары18 ч.Самостоятельная работа 36 ч.Всего90 ч.2. О(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)СОДЕРЖАНИИ КУРСАЭлементарные представления о координатном методе.Векторная алгебра.Определители второго и третьего порядков.Прямые и плоскости.Кривые второго порядка.Поверхности второго порядка.Комплексные числа.Алгебра матриц.Теория систем линейных уравнений.Теория линейных пространств.Теория определителей.3. ОБОЗНАЧЕНИЯN — множество натуральных чисел.Z — множество целых чисел.Q — множество рациональных чисел.R — множество вещественных чисел.∀x — квантор всеобщности («для любых x»).∃x — квантор существования («существует такой x, что.

. . »).∃!x — квантор единственности («существует единственный x, такой что. . . »).=⇒ — импликация («следовательно»).⇐⇒ — эквивалентность.n! = 1 · 2 · 3 · . . . (n − 1) · n — факториал натурального числа n.Двойной факториал:(2n + 1)!! = 1 · 3 · 5 · . .

. (2n − 1) · (2n + 1),(2n)!! = 2 · 4 · 3 · . . . (2n − 2) · (2n).Суммы и произведения:nXk=0ak = a1 + a2 + · · · + an =nXi=0ai ,nYk=0ak = a1 · a2 · . . . · a n .34. ОПОСТРОЕНИИ ГЕОМЕТРИИСистема аксиом Евклида—Гильберта.Основные понятия: точка, прямая, плоскость.Отношения между понятиями:(1) инцидентность («точка лежит на прямой», «прямая проходит через точку» и т. п.;8 аксиом);(2) порядок (понятие «лежать между»; 4 аксиомы);(3) конгруэнтность (движение, равенство; 5 аксиом);(4) параллельность (1 аксиома);(5) непрерывность (2 аксиомы).5. СИСТЕМЫКООРДИНАТСистема координат — объект, позволяющий описывать геометрический объект алгебраическими средствами.5.1.

Декартова прямоугольная система координат.O — начало координат, i, j, k — единичные направляющие векторы координатных осей(орты); другое обозначение e1 , e2 , e3 .x — абсцисса, y — ордината, z — аппликата.−→OA — радиус-вектор точки A. Другое обозначение координат x1 , x2 , x3 .yzAAkjOOixiyjxРасстояние между точками M1 (x1 ) и M2 (x2 ) на прямой:pM1 M2 = |x2 − x1 | = (x2 − x1 )2 .Расстояние между точками M1 (x1 , y1 ) и M2 (x2 , y2 ) на плоскости:pM1 M2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .yM2y2y1OM1x1x2x4В пространственном случае аналогично: для точек M1 (x1 , y1 , z1 ) и M2 (x2 , y2 , z2 )pM1 M2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 .5.2.

Декартова косоугольная система координат.yzAe3Ae2Oe2Oxe1e1yxУглы между векторами e1 , e2 , e3 могут быть не прямыми, длины векторов могут быть6= 1.Пример.Задача о делении отрезка в данном отношении. На плоскости даны точки A(x1 , y1 )и B(x2 , y2 ); координаты точек заданы относительно некоторой (косоугольной) декартовойсистемы координат. Найти координаты точки C(x, y), делящей отрезок AB в отношении|AC| : |BC| = m : n.yBCAxOxx1x2Пользуясь теоремой Фалеса, запишемx − x1m=,x2 − x1m+nоткудаnx1 + mx2x=.m+nАналогично находится ордината (и аппликата в пространственном случае) точки C.5.3. Полярная система координат на плоскости.yrAϕOx5(r, ϕ) — полярные координаты точки A.

Формулы перехода:pr = x2 + y 2 ,( cos ϕ = p xx = r cos ϕ,,2 + y2xy = r sin ϕ,y. sin ϕ = p 2x + y2Диапазоны изменения значений координат:0 6 r < +∞,0 6 ϕ < 2π.Удобно считать, что ϕ определено с точностью до добавления 2πn, n ∈ Z; тогда пишем0 6 ϕ < 2π(mod 2π).5.4. Цилиндрическая система координат в пространстве.zhOryϕx(r, ϕ, h) — цилиндрические координаты точки A. Формулы перехода:px2 + y 2 ,r=xx = r cos ϕ, cos ϕ = px2 + y 2 ,y = r sin ϕ,ysin ϕ = p, z = h,22x+yh = z.65.5. Сферическая система координат в пространстве.zArθOyϕx(r, θ, ϕ) — сферические координаты точки A.

Формулы перехода:x = r cos ϕ sin θ,y = r sin ϕ sin θ, z = r cos θ.Диапазоны изменения значений координат:0 6 r < +∞,0 6 θ 6 π,0 6 ϕ < 2π(mod 2π).Географические координаты — вариант сферических.zArϑOyϕx(r, ϑ, ϕ) — географические координаты точки A.

Формулы перехода:x = r cos ϕ cos ϑ,y = r sin ϕ cos ϑ, z = r sin ϑ.7Диапазоны изменения значений координат:ππ0 6 r < +∞,− 6ϑ6 ,226. УРАВНЕНИЯ−π < ϕ 6 π(mod 2π).ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙУравнение линии на плоскости — уравнение видаF (x, y) = 0,каждое решение (x, y) которого представляет собой координаты некоторой точки линии,причем для каждой точки линии найдется некоторое решение данного уравнения.Уравнение поверхности в пространстве содержит 3 переменные:G(x, y, z) = 0.Вместо прямоугольных декартовых координат можно использовать любые другие.Вместо уравнений можно рассматривать неравенства.Цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси Oz, описывается уравнением видаG(x, y) = 0.Это же уравнение является одновременно уравнением направляющей.zByxAУравнение может описывать геометрический объект, не соответствующий интуитивномупредставлению о линии (поверхности):x − |x| − y + |y| = 0.yOx86.1.

Уравнения прямых на плоскости.Уравнение прямой — линейное уравнение:Ax + By = C.Уравнение можно умножить на любое ненулевое число.1. Уравнение с угловым коэффициентом:y = kx + b.k — угловой коэффициент прямой:k = tg α.yβαxO2. Уравнение прямой «в отрезках»:x y+ = 1.a bybxaO6.2. Окружность. Окружность радиуса R с центром в начале координат:x2 + y 2 = R 2 .Окружность радиуса R с центром в точке C(a, b):(x − a)2 + (y − b)2 = R2 .9RyC(a, b)OxR6.3.

Парабола и гипербола.y = ax2 ,y=a.xyyOxO7. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕxУРАВНЕНИЯ7.1. Параметрические уравнения линий. Линия на плоскости может быть задана какмножество точек, координаты которых вычисляются по формуламx = ϕ(t),y = ψ(t),α 6 t 6 β.Этот способ пригоден и для задания линий в пространстве:x = ϕ(t),y = ψ(t),z = χ(t),α 6 t 6 β.С точки зрения механики параметрические уравнения линии — это закон движенияматериальной точки, параметр t — время.Пример.Параметрические уравнения окружности радиуса R с центром в начале координат:x = R cos t,y = R sin t,0 6 t < 2π(mod 2π).Параметр t представляет собой угол между осью Ox и радиус-вектором точки окружности.10yAtOxПример.Циклоида — это траектория точки обода катящегося по прямой колеса.Радиус колеса R, параметр — угол θ поворота колеса.Параметрические уравнения циклоидыx = a(θ − sin θ),y = a(1 − cos θ).yθOxθПример.Винтовая линия.

Точка совершает два одновременных движения: равномерное вращение с угловой скоростью ω в плоскости Oxy по окружности радиуса R и равномерноепоступательное движение вдоль оси Oz со скоростью c:x = R cos ωt,y = R sin ωt,z = ct.zOyxПример.Коническая винтовая линия.x = t cos t,y = t sin t,z = t.11zOxy7.2. Параметрическое задание поверхностей. Поверхности задаются:(1) уравнениями вида F (x, y, z) = 0;(2) параметрическими уравнениями видаx = ϕ(u, v),y = ψ(u, v),z = χ(u, v),(u, v) ∈ D ⊂ R2 ;параметры u, v — внутренние координаты поверхности;(3) как графики функции двух переменных: z = f (x, y).Пример.Сфера радиуса R с центром в начале координат:x2 + y 2 + z 2 = R 2 .Параметрическое представление:x = R cos u sin v,y = R sin u sin v, z = R cos v,(0 6 u < 2π,0 6 v 6 π.zyxПредставить сферу как график функции невозможно, но это удается сделать отдельнодля нижней и верхней полусфер:pz = ± R 2 − x2 − y 2 .128.

ПЕРЕСЕЧЕНИЯИ ПРОЕКЦИИ8.1. Пересечения поверхностей.Линии (кривые) в пространстве можно задавать как пересечение двух поверхностей:(F (x, y, z) = 0,G(x, y, z) = 0.Пример.Кривая Вивиани — пересечение цилиндра радиуса R и сферы радиуса 2R, центр которойлежит на поверхности цилиндра.zOxyПолучим уравнения кривой Вивиани.Уравнения сферы и цилиндра:x2 + y 2 + z 2 = 4R2 ,(x − R)2 + y 2 = R2 ⇐⇒ x2 + y 2 = 2Rx.Отсюдаz 2 = 4R2 − 2Rx.Положимx = r cos t,y = r sin t.Тогдаx2 + y 2 = 2Rx ⇐⇒ r2 = 2Rr cos t ⇐⇒ r = 2R cos t.Можно записать выражения для x и y:x = r cos t = 2R cos2 t = R(1 + cos 2t),y = r sin t = 2R sin t cos t = R sin 2t.Параметр t изменяется в диапазоне0 6 t 6 π.Теперь можно найти выражение для z:z 2 = 4R2 − 2Rx = 4R2 sin2 t ⇐⇒ z = ±2R sin t.Можно убрать ±, если разрешить параметру t изменяться в диапазоне0 6 t < 2π.13Итак, окончательный результат:x = R(1 + cos 2t),y = R sin 2t, z = 2R sin t,0 6 t < 2π.8.2.

Проекции. Проекцией точки M (x, y, z) на координатную плоскость Oxy являетсяточка N (x, y). Таким образом, проектирование на координатную плоскость — это игнорирование одной из координат.Если линия задана как пересечение двух поверхностей F (x, y, z) = 0 и G(x, y, z) = 0, тоуравнение ее проекции на плоскость Oxy получается исключением z из этих уравнений.Пример.Проекция кривой Вивиани на плоскость Oxy — это кривая с параметрическими уравнениями(x = R(1 + cos 2t),y = R sin 2t.Исключая параметр t, получаем уравнение окружности(x − R)2 + y 2 = R2 .9. РАЗНОВИДНОСТИТЕОРЕМИмпликация — логическая связка, по своему применению приближенная к обороту речи«если...

то...».Импликация записывается какпосылка =⇒ следствие.Теорема — утверждение, устанавливаемое при помощи доказательства. В формулировке теоремы различают условие и заключение; структура теоремы представляет собойсуждение-импликацию.Пусть имеется импликация видаA =⇒ B;здесь A — посылка, B — следствие.Посылка A является условием, достаточным для выполнения следствия B. Если Aистинно, то утверждение B заведомо верно.Следствие B является условием, необходимым для истинности посылки A. Без выполнения B утверждение A не может быть истинным.Для того чтобы число делилось на 2, необходимо, чтобы последняя цифра в его десятичной записи не была 7:число делится на 2 =⇒ последняя цифра не 7|{z}необходимое условие делимости на 2Это условие не является достаточным: число 23 не заканчивается на 7, но на 2 не делится.Необходимые условия содержат «лишние случаи».Теорема, выражающая необходимое условие, называется свойством:Если число делится на 2, то его последняя цифра не 7.14Для того чтобы число делилось на 2, достаточно, чтобы его последняя цифра была 0:последняя цифра 0{z}|=⇒ число делится на 2достаточное условие делимости на 2Это условие не является необходимым: число 14 делится на 2, но его последняя цифране 0.

Достаточные условия содержат «не все случаи».Теорема, выражающая достаточное условие, называется признаком:Признаком (одним из признаков) делимости на 2 является тот фат, что последняяцифра числа — нуль.Достаточные условия стараются сделать возможно более широкими, т.е. охватывающими возможно большее число случаев, в которых интересующий нас факт всё ещё имеетместо, а необходимые условия — возможно более узкими, т.е. охватывающими возможноменьше лишних случаев, в которых изучаемый факт уже не имеет места.Пример утверждения, в которых необходимое условие совпадает с достаточным:Для того чтобы число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра была четная.Теорема, выражающая необходимое и достаточное условие, называется критерием.Рассмотрим теоремуA =⇒ B.Обратная теорема — это утверждениеB =⇒ A;если исходная теорема верна, то обратная теорема может и не быть верной.Теорема, обратная обратной, равносильна исходной.Пример.Исходная теорема:сумма цифр числа делится на 3 =⇒ число делится на 3.Обратная теоремачисло делится на 3 =⇒ сумма цифр числа делится на 3верна.Если для теоремы верна и обратная теорема, то они могут быть объединены в критерий:число делится на 3 ⇐⇒ сумма цифр числа делится на 3Пример.Исходная теорема:в треугольнике один из углов прямой =⇒ два других угла острые.Обратная теоремадва угла в треугольнике острые =⇒ третий угол прямойне верна.Рассмотрим теоремуA =⇒ B.15Противоположная теорема — это утверждение¬A =⇒ ¬B(знак ¬ означает отрицание).Противоположная теорема равносильна обратной.