А.В. Овчинников - Курс лекций по аналитической геометрии, страница 3

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬВТОРОГО ПОРЯДКА3.1. Система двух уравнений с двумя неизвестными. Рассмотрим систему уравнений(ax + by = p,(1)cx + dy = q,где a, b, c, d, p, q — заданные числа, x, y — неизвестные. Решим систему методом исключения неизвестных.8Умножая первое уравнение на d, второе на −b и складывая полученные уравнения,найдем(ax + by = p ×d=⇒ (ad − bc)x = pd − qb.−cx + dy = q ×bАналогично, умножая первое уравнение на −c, второе на a и складывая полученныеуравнения, найдем(ax + by = p, ×c−=⇒ (ad − bc)y = qa − pc.cx + dy = q, ×aЕсли ad − bc 6= 0, то система имеет единственное решениеx=pd − qb,ad − bcy=qa − pc.ad − bc3.2. Определитель второго порядка.

Запишем коэффициенты системы в виде таблицы!a bA=;c dона называется основной матрицей системы.Поставим в соответствие этой матрице число ad − bc; оно называется определителем(детерминантом) матрицы A и обозначается!a b a b= ad − bc. = det A = det c dc dТакой определитель называется определителем второго порядка (по количеству его строки столбцов); сокращенно det-2.С помощью определителей формулы для решения системы могут быть записаны в видеa pp b c q q ddet Axdet Ay==,y = ,(2)x = det Adet Aa b a b c d c dгде матрица Ax (соответственно, Ay ) получается из матрицы A заменой первого (соответственно, второго) столбца на столбец, состоящий из свободных членов уравнений.Полученные формулы называются формулами Крамера.Теорема.Определитель det A обладает следующими свойствами:(1) линейность:a + a 12 c1 + c2 b a1 b a2 b ;+=d c1 d c2 dαa αca b b ; = α c dd(2) кососимметричность: det-2 с одинаковыми столбцами равен нулю,a a = 0;c c9(3) нормировка:1 0 = 1.0 1Из этих основных свойств определителя можно вывести ряд новых свойств, полезныхпри вычислениях.1.

Кососимметричность-2: при перестановке столбцов det-2 меняет знак: b aa b . = −d c c d◭ a + b a + b a a + b b a + b a a a b b a b b =+=+++c + d c + d c c + d d c + d c c c d d c d d|| {z }| {z }{z}=0откуда=0 b aa b . = −d c c d=0◮2. Det-2 не изменится, если к любому из его столбцов прибавить другой столбец,умноженный на произвольное число.◭ a + αb b a b = c + αd d c d b b+α d d| {z=03. Определитель не изменится, если его строки и a b a c = c d b d a b = c d}.◮столбцы поменять ролями:.Это означает, что строки и столбцы det-2 равноправны: любое утверждение, справедливоедля столбцов, будет справедливым и для строк.3.3. Примеры.Пример.Пример.

cos α − sin α sin αcos α = cos2 α + sin2 α = 1. 12345 12347 24691 24695.Вычтем из второй строки удвоенную первую строку:1234512347= 24691 − 2 · 1234524695 − 2 · 12347 12345 12347 = = 12345 · 1 − 12347 · 1 = −2. 11 103.4. Критерий равенства нулю det-2.Теорема.Det-2 равен нулю тогда и только тогда, когда его столбцы линейно зависимы.◭ 1. Пусть det-2 равен нулю.

Имеем:!! a b baac== α=⇒= α.=⇒ad = bc=⇒ = 0 c d cdbd2. Пусть столбцы det-2 ЛЗ; тогда!!ab=α=⇒cd a b c d4. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ αb b = αd d = 0.◮ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА4.1. Определение. Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоятьиз трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов: a b c c1b1a1 1 1 1  a2 b2 c2 = |A, B, C| , A =  a2  , B =  b2  , C =  c2  . a3 b 3 c 3 c3b3a3Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2:(1) линейность по столбцам:|A1 + A2 , B, C| = |A1 , B, C| + |A2 , B, C||αA, B, C| = α |A, B, C| ,и аналогично для всех остальных столбцов;(2) кососимметричность: определитель с двумя одинаковыми столбцами равен нулю,|A, A, C| = 0и аналогично для других столбцов;(3) нормировка: 1 0 0 0 1 0 = 1.

0 0 1 Отметим свойство кососимметричность-2: при перестановке любых двух столбцов det-3меняет знак.|A + B, A + B, C| = |A, A + B, C| + |B, A + B, C| ={z}|=0= |A, A, C| + |A, B, C| + |B, A, C| + |B, B, C|,| {z }| {z }=0откуда=0|A, B, C| = −|B, A, C|.11Из кососимметричности и линейности получается также следующее свойство: det-3 неизменится, если к любому его столбцу прибавить произвольную ЛК остальных столбцов.|A + βB + γC, B, C| = |A, B, C| + β |B, B, C| +γ |C, B, C| .| {z }| {z }=0=04.2.

Формулы Крамера. Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными: a1 x + b 1 y + c 1 z = p 1 ,a2 x + b 2 y + c 2 z = p 2 , a x+b y+c z =p .3333Таблицы коэффициентовa1 b 1 c 1 p 1a1 b 1 c 1 a2 b 2 c 2  ,  a2 b 2 c 2 p 2 a3 b 3 c 3 p 3a3 b 3 c 3называются основной и расширеннойВведя столбцыa1A =  a2  , B = a3систему можно записать в видематрицами системы соответственно.b1b2  ,b3c1C =  c2  ,c3p1P =  p2  ,p3Ax + By + Cz = P.Пусть (x, y, z) — решение системы. Это означает, что столбец P является ЛК столбцовA, B, C с коэффициентами x, y, z:P = Ax + By + Cz.Рассмотрим det-3 |P, B, C|:|P, B, C| = Ax + By + Cz , B, C ={z}|=P= |Ax, B, C| + |By, B, C| + |Cz, B, C| = x |A, B, C| + y |B, B, C| +z |C, B, C|,| {z }| {z }=0=0откуда, при условии |A, B, C| =6 0, получаемx=|P, B, C|det Ax=.|A, B, C|det AАналогично получаются формулы для y, z:y=det Ay|A, P, C|=,|A, B, C|det Az=|A, B, P |det Az=,|A, B, C|det Aгде определители det Ax , det Ay , det Az получены из определителя det A заменой соответствующего столбца на столбец правых частей системы.Формулы Крамера дают решение в случае, когда определитель |A, B, C| основной матрицы системы отличен от нуля, и при этом доказывают единственность этого решения.Если же |A, B, C| = 0, то формулы Крамера неприменимы; в этом случае система можетлибо не иметь решений, либо иметь более одного решения.124.3.

Разложение det-3 по первому столбцу. Рассмотрим столбцы   100   I1 =  0  , I2 =  1  , I3 =  0  .001Очевидно, любой столбец из трех элементов можно представить в виде ЛК этих трехстолбцов:a1A =  a 2  = a 1 I1 + a 2 I2 + a 3 I3 .a3Преобразуем det-3:|A, B, C| = |a1 I1 + a2 I2 + a3 I3 , B, C| == a1 |I1 , B, C| + a2 |I2 , B, C| + a3 |I3 , B, C|.Подчеркнутые det-3 называются алгебраическими дополнениями (АД) элементов a1 , a2 , a3 ;обозначим их A1 , A2 , A3 .

Очевидно, эти АД не зависят от элементов a1 , a2 , a3 .Вычислим АД элемента a1 :A1 = |I1 , B, C| = |I1 , b1 I1 + b2 I2 + b3 I3 , C| == b1 |I1 , I1 , C| +b2 |I1 , I2 , C| + b3 |I1 , I3 , C| =| {z }=0= b 2 I 1 , I2 , c 1 I 1 + c 2 I 2 + c 3 I 3 + b 3 I 1 , I3 , c 1 I 1 + c 2 I2 + c 3 I 3 == b2 c3 |I1 , I2 , I3 | + b3 c2 |I1 , I3 , I2 | = 1 0 0 1= b2 c3 0 1 0 +b3 c2 0 0 0 1 0| {z }|=10 0 b c 2 2 0 1 = b2 c 3 − b3 c 2 = . b3 c 3 1 0 {z }=−1Отметим, что АД элемента a1 равно det-2, который получается, если из исходного det-3вычеркнуть строку и столбец, на пересечении которых стоит элемент a1 .Аналогичное вычисление АД элементов a2 и a3 дает: b c b c b c 1 1 1 1 3 3 A2 = b3 c1 − b1 c3 = . , A3 = b1 c2 − b2 c1 = = − b2 c 2 b3 c 3 b1 c 1 Обратите внимание на знак A2 .Итак, получена формула разложения det-3 по элементам первого столбца: a b c b c b c b c 1 1 1 1 1 1 1 2 2 .

+ a3 − a2 a2 b 2 c 2 = a1 b2 c 2 b3 c 3 b3 c 3 a3 b 3 c 3 Det-2, фигурирующие в этой формуле, называются минорами этих элементов. Они представляют собой det-2, получающиеся из исходного det-3 вычеркиванием строки и столбца,на пересечении которых стоят элементы a1 , a2 , a3 соответственно.13Аналогичные формулы могут быть получены и для разложения det-3 по элементамвторого и третьего столбцов: a b c a c a c a c 1 1 1 1 1 1 1 2 2 , − b3 + b2 a2 b2 c2 = −b1 a2 c 2 a3 c 3 a3 c 3 a3 b 3 c 3 a b c a b a b a b 1 1 1 1 1 1 1 2 2 . + c3 − c2 a2 b 2 c 2 = c 1 a2 b 2 a3 b 3 a3 b 3 a3 b 3 c 3 Анализ этих формул позволяет сделать следующий вывод: АД элемента равно миноруэтого элемента, взятому со знаком «+» или «−» согласно следующей схеме:+ − +− + − .+ − +Итак, det-3 равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения: a b c 1 1 1 a2 b2 c2 = a1 A1 + a2 A2 + a3 A3 .

a3 b 3 c 3 Рассмотрим сумму произведений элементов второгонения элементов первого столбца: b b 1 1b1 A1 + b2 A2 + b3 A3 = b2 b2 b3 b3столбца на алгебраические дополc1c2c3 = 0.Аналогично и для других столбцов. Итак, сумма произведений элементов некоторогостолбца на алгебраические дополнения элементов другого столбца равна нулю.4.4. Полное разложение det-3. Вычисляя АД, входящие в разложение det-3 по элементам какой-либо строки, получаем следующую формулу: a b c 1 1 1 a2 b 2 c 2 = a1 b 2 c 3 + a2 b 3 c 1 + a3 b 1 c 2 − a1 b 3 c 2 − a2 b 1 c 3 − a3 b 2 c 1 .

a3 b 3 c 3 Мнемонические правила для запоминания:Сгруппируем иначе слагаемые в полном разложении det-3: a b c 1 1 1 a2 b 2 c 2 = a1 b 2 c 3 + a2 b 3 c 1 + a3 b 1 c 2 − a1 b 3 c 2 − a2 b 1 c 3 − a3 b 2 c 1 = a3 b 3 c 3 = a1 (b2 c3 − b3 c2 ) − b1 (a2 c3 − a3 c2 ) + c1 (a2 b3 − a3 b3 ) =14 a a a b b a a a a 1 2 3 2 3 2 3 2 3 = a1 −b+c = b b b .11 c2 c3 c2 c3 b2 b3 1 2 3 c1 c2 c3 Это означает, что строки и столбцы det-3 равноправны: любое утверждение, сформулированное для столбцов, имеет аналог, справедливый для строк. В частности, можнопроизводить разложение det-3 не только по элементам столбцов, но и по элементам строк.4.5.

Примеры.Пример. 1 23 2 4 −1 . −4 51 Из второй строки вычтем первую, умноженную на 2, а к четвертой строке прибавимпервую, умноженную на 4, после чего разложим получившийся det-3 по элементам первогостолбца: 1 23 0 −7 = 0 · 13 − (−13) · 7 = 91. 0 0 −7 = 1 · 13 13 0 13 13 Пример.Решить систему уравненийx + 2y + 3z = 14,2x + 4y − z = 7, −4x + 5y + z = 9.Воспользуемся формулами Крамера, для чего вычислим нужные det-3: 1 23det A = 0 0 −7 = 91 0 13 13 (см.

пример выше). 14 23 det Ax = 7 4 −1 ; 9 51 для вычисления этого det-3 прибавим к первой строке утроенную вторую строку, а к третьей строке прибавим вторую строку, после чего разложим полученный det-3 по третьему15столбцу:= 35 140 35 14 det Ax = 7 4 −1 = −(−1) · = 16 9 16 90 35 − 2 · 16 14 − 2 · 9 3 −4 = = 3 · 9 + 4 · 16 = 91.169 169 При вычислении det Ay и det Az будем из второй строки вычитать удвоенную первуюстроку, а к третьей строке прибавлять первую строку, умноженную на 4, как это делалосьпри вычислении det A; после этого каждый из полученных det-3 разложим по элементампервого столбца: 1 14143 3 1 −21 −7 det Ay = 2 7 −1 = 0 −21 −7 = = 182, 65 13 −4 965 13 1 0 1 2 14 1 214 0 −21 det Az = 2 4 7 = 0 0 −21 = = 273.

13 65 −4 5 9 0 1365Решение системы:91det Ax== 1,x=det A91y=det Ay182== 2,det A91z=det Az273== 3.det A914.6. Критерий равенства нулю det-3.Теорема.Det-3 равен нулю тогда и только тогда, когда его столбцы линейно зависимы.◭ 1. Пусть det-3 равен нулю.

Рассмотрим систему линейных уравнений a1 x1 + b1 x2 + c1 x3 = 0,a2 x1 + b2 x2 + c2 x3 = 0, a x + b x + c x = 0.3 13 23 3Формулы Крамера к ней неприменимы, но она имеет очевидное решение x1 = x2 = x3 = 0.Поэтому решение системы не единственно, и она имеет какое-либо другое решение, вкотором хотя бы одна из неизвестных отлична от нуля. Компоненты этого решения и являются коэффициентами нетривиальной линейной комбинации столбцов, равной нулевомустолбцу.2. Пусть столбцы ЛЗ; тогда один из них можно представить в виде ЛК остальных,например, C = αA + βB.