А.В. Овчинников - Курс лекций по аналитической геометрии, страница 4

Тогда|A, B, C| = |A, B, C − αA − βB| = |A, B, O| = 0.◮165. ЗАДАЧИДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯЗадача 1. Даны три точки O, A, B, не лежащие на одной прямой. Принимая за базисные−→ −−→−−→векторы OA и OB, найдите: (а) координаты вектора OM , если точка M лежит на отрезке−−→AB и |AM | : |BM | = a : b; (б) координаты вектора ON , если точка N лежит на прямойAB вне отрезка AB и |AN | : |BN | = a : b.bb−−→ −−→ Ответ. (а) OM =  a + b ; (б) ON =  b − a .aaa−ba+bЗадача 2. Даны две различные точки A(x1 , y1 , z1 ) и B(x2 , y2 , z2 ). Найдите координаты:(а) точки M , лежащей на отрезке AB и такой, что |AM | : |BM | = a : b; (б) точки N ,лежащей на прямой AB вне отрезка AB и такой, что |AN | : |BN | = a : b.bx1 − ax2bx1 + ax2 a+b  b−a  by1 + ay2  by1 − ay2 Ответ.

(а) M = ; (б) N =  b − a .a+b bz + az  bz − az 1212b−aa+bЗадача 3. На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты соответственно точки M и Nтак, что |AM | : |BM | = m1 : n1 , |AN | : |CN | = m2 : n2 , O — точка пересечения отрезковBN и CM . Найдите отношения |BO| : |ON | и |CO| : |OM |.

Решить задачу, используяметоды векторной алгебры.Ответ.(m2 + n2 )n1 |CO|(m1 + n1 )n2|BO|=;=.|ON |m 1 n2|OM |m 2 n1Задача 4. Используя методы векторной алгебры, докажите, что четыре отрезка, соединяющие вершины произвольного тетраэдра с точками пересечения медиан противоположныхграней, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 3 : 1, считая отвершины.Задача 5. Используя методы векторной алгебры, докажите, что три отрезка, соединяющиесередины скрещивающихся ребер произвольного тетраэдра, пересекаются в одной точкеи делятся этой точкой пополам.Задача 6.

На диагоналях AB1 и CA1 боковых граней треугольной призмы ABCA1 B1 C1расположены соответственно точки E и F так, что прямые EF и BC1 параллельны.Найдите отношение |EF | : |BC1 |.Ответ. 1 : 3.ax + b, где по крайней мере одно из чисел c, dcx + dотлично от нуля, не зависит от значения x тогда и только тогда, когда | ac db | = 0.Задача 7. Докажите, что значение дробиЗадача 8. Вычислите определители второго порядка:a2 + ab + b2 a2 − ab + b2 a2 ab(б) (a) ;;2 a+bab b a−b 17sin α cos α(в) ;sin β cos β 1 − t22t 22(д) 1 + t 1 + t2 .

−2t 1 − t 1 + t2 1 + t2 sin α + sin β cos β + cos α(г) ;cos β − cos α sin α − sin β Ответ. (а) 0; (б) −2b3 ; (в) sin(α − β); (г) 0; (д) 1.Задача 9. Вычислите определители третьего порядка: sin2 α cos 2α cos2 α (а) sin2 β cos 2β cos2 β ; (б) sin2 γ cos 2γ cos2 γ 1 a2 a3 (г)(в) 1 b2 b3 ;23 1 c c 1 a a3 1 b b3 ;1 c c3 a b c b c a .c a b Ответ.

(а) 0; (б) (c − b)(a − c)(a − b)(a + b + c); (в) (c − b)(a − c)(a − b)(ba + ca + cb);(г) 3acb − a3 − b3 − c3 .Задача 10. Не раскрывая определителей, докажите следующие тождества: a b a x+b y+c a b c 11 1 1 1 1 1 1 a2 b 2 a2 x + b 2 y + c 2 = a2 b 2 c 2 ; a3 b 3 a3 x + b 3 y + c 3 a3 b 3 c 3 a b c a +b x a −b x c 11111111 a2 + b2 x a2 − b2 x c2 = −2x a2 b2 c2 . a3 b 3 c 3 a3 + +b3 x a3 − b3 x c3 Лекция 3Скалярное, векторное и смешанноепроизведение векторов1.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕБАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯПусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым иновым)e1 , e2 ,f 1, f 2.Векторы нового базиса можно выразить через векторы старого базиса:f 1 = c11 e1 + c21 e2 ,f 2 = c12 e1 + c22 e2 .Введем матрицыE = (e1 , e2 ),F = (f 1 , f 2 ),C=c11c12c21c22!.Тогда можно записатьF = EC.Матрица C называется матрицей перехода от базиса e1 , e2 к базису f 1 , f 2 . Определительматрицы перехода отличен от нуля в силу линейной независимости векторов базиса.Базис F = (f 1 , f 2 ) называется одноименным (разноименным) с базисом E = (e1 , e2 ),если матрица перехода C от E к F имеет положительный (отрицательный) определитель.Если базис F является одноименным с базисом E, мы пишем F ≃ E.Теорема.Отношение одноименности базисов обладает следующими свойствами:(1) E ≃ E;(2) если F ≃ E, то E ≃ F ;(3) если E ≃ F и F ≃ H, то E ≃ H.Множество всех базисов на плоскости разбивается на два класса следующим образом.Пусть E — некоторый базис.

К одному классу относятся все базисы, одноименные с E(и при этом одноименные между собой), к другому — разноименные с E (и при этомодноименные между собой).Каждый из двух классов одноименных базисов называется ориентацией плоскости. Наплоскости существует ровно две ориентации, одна из которых называется положительной,а вторая — отрицательной.Соглашение об ориентации.Базис на плоскости e1 , e2 называется правым, если кратчайший поворот, переводящийвектор e1 в вектор e2 , осуществляется против часовой стрелки.e1e2e2e112Аналогичные рассуждения можно провести и для базисов в пространстве. В пространстве также существует ровно две ориентации.Базис в пространстве e1 , e2 , e3 называется правым, если выполнено одно из следующихусловий:(1) если смотреть из конца вектора e3 , то кратчайший поворот, переводящий векторe1 в вектор e2 , осуществляется против часовой стрелки;(2) векторы e1 , e2 , e3 удовлетворяют правилу винта: если вращать винт в направленииповорота, переводящего (кратчайшим образом) вектор e1 в вектор e2 , то поступательное движение винта происходит в направлении вектора e3 ;e3e3e1e2e1e2(3) векторы e1 , e2 , e3 удовлетворяют правилу правой руки: их расположение совпадаетс естественным положением большого, указательного и среднего пальцев правойруки.e1e1e2e2e3e32.

СКАЛЯРНОЕПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ2.1. Определение.Проекция вектора a на вектор b — это вектор c, коллинеарный b, начало (конец) которого представляет собой ортогональную проекцию начала (конца) вектора a на прямую,параллельную b. Обозначение: c = prb a.aaccbbВеличиной Prb a проекции prb a называется ее длина, взятая со знаком «+», если векторы c = prb a и b сонаправлены, и со знаком «−» в противном случае.

Ясно, чтоPrb a = |a| cos ϕ,где ϕ — угол между векторами a и b.3Скалярное произведение (СП) двух векторов — это число, равное произведению длинвекторов на косинус угла между ними:(a, b) = |a| · |b| · cos ϕ.Ясно, что СП равно(a, b) = Prb a · |b|.Для СП используется также обозначение a · b.Скалярный квадрат вектора:(a, a) = |a|2 .Длина вектора может быть выражена через его скалярный квадрат:p|a| = (a, a).Вычислим проекцию c вектора a на вектор b.Вектор c коллинеарен b, поэтомуc = αb.Кроме того,(a, b) = Prb a · |b| = (c, b) = (αb, b),откудаα=(a, b).(b, b)Окончательный результат:c = prb a =(a, b)b.(b, b)Величина этой проекцииPrb a =(a, b).|b|2.2. Свойства скалярного произведения.Теорема.Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:(1) симметричность:(a, b) = (b, a);(2) линейность:(a1 + a2 , b) = (a1 , b) + (a2 , b),(αa, b) = α(a, b);(3) положительная определенность:(a, a) > 0,(a, a) = 0 ⇐⇒ a = 0.Отметим, что из линейности по первому аргументу и симметричности следует линейность по второму аргументу.◭ Докажем, что (a1 + a2 , b) = (a1 , b) + (a2 , b).

Это следует из того факта, чтоprb(a1 + a2 ) = prb a1 + prb a2 ,а следовательно,Prb(a1 + a2 ) = Prb a1 + Prb a2 .◮4a1a2pr ab 1pr ab 2b2.3. Вычисление СП в ортонормированном базисе. Пусть в пространстве задан ОНБe1 , e2 , e3 . Попарные СП векторов этого базиса равны(e1 , e1 ) = (e2 , e2 ) = (e3 , e3 ) = 1,(e1 , e2 ) = (e1 , e3 ) = (e2 , e3 ) = 0.Символ Кронекера:δjk =(1,j = k,0,j 6= k.Тогда можно записать(ej , ek ) = δjk .Разложим векторы a, b по базису e1 , e2 , e3 :a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 ,b = b 1 e1 + b 2 e2 + b 3 e3 .Вычислим СП:(a, b) = (a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 , b1 e1 + b2 e2 + b3 e3 ) == (a1 e1 , b1 e1 + b2 e2 + b3 e3 ) ++ (a2 e2 , b1 e1 + b2 e2 + b3 e3 ) ++ (a3 e3 , b1 e1 + b2 e2 + b3 e3 ) == a1 b1 (e1 , e1 ) +a1 b2 (e1 , e2 ) +a1 b3 (e1 , e3 ) +| {z }| {z }| {z }=1=0=0+a2 b1 (e2 , e1 ) +a2 b2 (e2 , e2 ) +a2 b3 (e2 , e3 ) +| {z }| {z }| {z }=0=1=0+a3 b1 (e3 , e1 ) +a3 b2 (e3 , e2 ) +a3 b3 (e3 , e3 ) =| {z }| {z }| {z }=0=0=1= a1 b 1 + a2 b 2 + a3 b 3 .Итак, скалярное произведение векторов выражается через их координаты в ортонормированном базисе формулой(a, b) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .5Длина вектора равна|a| =qa21 + a22 + a23 .Угол между векторами может быть найден по формулеcos ϕ =(a, b)a1 b 1 + a2 b 2 + a3 b 3p.=p 2|a| · |b|a1 + a22 + a23 b21 + b22 + b23Пример.Найти проекцию вектора a = (1, 3, −2)T на b = (3, −6, 2)T , величину этой проекции иугол между векторами.Имеем:pp√|a| = 12 + 32 + (−2)2 = 14, |b| = 32 + (−6)2 + 22 = 7,(a, b) = 1 · 3 + 3 · (−6) + (−2) · 2 = −19,3(a, b)−19 prb a =b= −6  ,(b, b)492Prb a =cos ϕ =3.

ВЕКТОРНОЕ19(a, b)=− ,|b|719(a, b)=− √ .|a| · |b|7 14ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ3.1. Определение.Векторным произведением (ВП) векторов a и b называется вектор c, удовлетворяющийследующим требованиям:(1) |c| = |a| · |b| · sin ϕ;(2) вектор c перпендикулярен векторам a, b;(3) векторы a, b, c образуют правую тройку.3.2. Формула для вычисления векторного произведения. Пусть векторы a, b заданыкоординатами относительно некоторого ортонормированного базиса:  a1b1  a = a2  , b = b2  .a3b3Будем предполагать, что эти векторы ненулевые и неколлинеарные; в противном случаеВП равно нулевому вектору.Найдем какой-либо ненулевой вектор p, перпендикулярный a и b. Условие перпендикулярности:p⊥a⇐⇒(p, a) = 0.6Таким образом, координаты p1 , p2 , p3 вектора p должны удовлетворять системе уравнений(a1 p1 + a2 p2 + a3 p3 = 0,b1 p1 + b2 p2 + b3 p3 = 0.Так как p 6= 0, хотя бы одна из его координат отлична от нуля; предположим, что этоp3 . Тогда, разделив оба уравнения системы на p3 и обозначивx1 =p1,p3x2 =p1,p3получим систему(a1 x1 + a2 x2 = −a3 ,b1 x1 + b2 x2 = −b3 ,Ее решение имеет вид −a3 −b3x1 = a1 b1 =a2 b2 a2b2a2 a3 b2 b3 ,a1 a2 b1 b2 x2 = − a1 a3 b1 b3 .a1 a2 b1 b2 Таким образом, в качестве вектора p можно взять вектор a a a −a −a a 1 2 13 32 p1 = .