А.В. Овчинников - Курс лекций по аналитической геометрии, страница 8

Отрезки F1 M , F2 M называются фокальными радиусами точки M .5Теорема.Фокальное свойство гиперболы: Гипербола является геометрическим местом точек,разность расстояний от которых до фокусов по абсолютной величине постоянна:|F1 M − F2 M | = 2a.◭ Рассмотрим гиперболуx2 y 2− 2 = 1.a2bДлины фокальных радиусов точки M (x, y) равныr1 =Имеемr122p(x + c)2 + y 2 ,22= (x + c) + y = (x + c) + b=2r2 =p(x − c)2 + y 2 . 2x2b−1 =+ 1 x2 + 2xc + c2 − b2 =22aac2 2x + 2cx + a2 = ε2 x2 + 2ε2 ax + a2 = (εa + x)2 .a2Поскольку |εx| > |x| > a, имеемАналогично получаемСледовательно, xε + a, x > 0,r1 =−xε − a, x < 0. xε − a, x > 0,r2 =−xε + a, x < 0. 2a, x > 0,|r1 − r2 | =−2a, x < 0.Обратно, пусть M (x, y) — точка плоскости, для которой |F1 M − F2 M | = 2a, т.е.pp2222 (x + c) + y − (x − c) + y = 2a.Уничтожив радикалы, придем к уравнениюy2x2−= 1.a2 c 2 − a2◮Теорема.Директориальное свойство гиперболы: Гипербола является геометрическим местомточек, отношение расстояний от которых до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно (и равно ε).6yd2Mr2OF1F2x◭ Расстояния от произвольной точки M (x, y) гиперболы до левой и правой директрисравныa εx − a r2a εx + a r1d1 = x + = = , d2 = x − = = .εε εεε εОбратно, еслиpa (x ± c)2 + y 2 = ε x ± ,εто(x ± c)2 + y 2 = (εx ± a)2и поэтомуx2 y 2− 2 = 1.a2bНаряду с гиперболой, заданной каноническим уравнением(1 − ε2 )x2 + y 2 = a2 − c2 ⇐⇒◮x2 y 2− 2 =1a2bчасто рассматривают гиперболуx2 y 2− 2 = −1,a2bназываемую сопряженной по отношению к исходной.Умножая уравнение сопряженной гиперболы на −1, получим каноническое уравнение,в котором роли координатных осей поменялись:y 2 x2− 2 = 1.b2ayF2∗F1OF2F1∗x74.

КАСАТЕЛЬНЫЕК ПАРАБОЛЕ, ЭЛЛИПСУ, ГИПЕРБОЛЕКасательная к параболе — это прямая, непараллельная оси параболы, имеющая с параболой одну общую точку.Пусть (x0 , y0 ) — точка касания параболы y 2 = 2px и прямойx = x0 + lt,y = y0 + mt,m 6= 0.Имеем:(y0 + mt)2 = 2p(x0 + lt) ⇐⇒ y02 + 2my0 t + m2 t2 = 2px0 + 2plt ⇐⇒⇐⇒ m2 t2 + 2t(my0 − pl) = 0.Это квадратное уравнение должно иметь один (двойной) корень, что возможно лишьпри выполнении условияy0my0 − pl = 0 ⇐⇒ l = m .pКаноническое уравнение касательной имеет видx − x0y − y0=⇐⇒ y0 (y − y0 ) = p(x − x0 ) ⇐⇒ y0 y − 2px0 = px − px0lmи окончательноyy0 = p(x + x0 ).Касательная к эллипсу (гиперболе) — это прямая, имеющая с эллипсом (гиперболой)одну общую точку.Пусть (x0 , y0 ) — точка касания эллипсаx2 y 2+ 2 =1a2bи прямойx = x0 + lt,Имеем:x20 y02+ 2 +2t2|a {z b }=1x0 l y0 m+ 2a2by = y0 + mt.2+tl2m2+ 2a2b= 1,m2x 0 l y0 ml2= 0.+ 2 + 2t+ 2ta2ba2bЭто квадратное уравнение должно иметь один (двойной) корень, что возможно привыполнении условияx0 l y0 m+ 2 = 0,a2bтак что можно положитьy0x0l = 2, m = − 2.baКаноническое уравнение касательной к эллипсу имеет видx − x0y − y0x0y0=⇐⇒ 2 (x − x0 ) + 2 (y − y0 ) = 0,22y0 /b−x0 /aab2откуда, учитывая соотношение x20 /a2 + y02 /b2 = 1, получаемxx0 yy0+ 2 = 1.a2b8Аналогично получаем уравнение касательной к гиперболеx2 y 2− 2 =1a2bв точке (x0 , y0 ):xx0 yy0− 2 = 1.a2b5.

ОПТИЧЕСКИЕСВОЙСТВА КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙТеорема.Оптическое свойство эллипса: фокальные радиусы произвольной точки M0 эллипсасоставляют равные углы с касательной к эллипсу в точке M0 .Физическая интерпретация: если в фокусе эллипса поместить точечный источник света,а эллипс считать зеркалом, то отраженный эллипсом луч попадет во второй фокус.yMα1α2OF1F2x◭ Найдем синусы углов α1 и α2 , которые фокальные радиусы произвольной точкиM0 (x0 , y0 ) составляют с касательной к эллипсу в точке M0 .Расстояние F1 D1 от фокуса F1 (−c, 0) до касательной, имеющей уравнениеxx0 yy0+ 2 = 1,a2bравнотак что (−c) · x0 0 · y0+ 2 − 1 a2εx0 + ar1br= r= r,F1 D1 =x20 y02x20 y02x20 y02aa+ 4+ 4+ 4a4ba4ba4bsin α1 =Аналогично получаемsin α2 =1F1 D1= r.F1 M0x20 y02a+ 4a4b1F2 D2= r.F2 M0x20 y02a+ 4a4bТаким образом, α1 = α2 .

◮Теорема.Оптическое свойство гиперболы: фокальные радиусы произвольной точки M0 гиперболы составляют равные углы с касательной к эллипсу в точке M0 .9yMOF2F1xТеорема.Оптическое свойство параболы: касательная к параболе в каждой точке M0 составляет равные углы с фокальным радиусом точки M0 и с осью параболы.yMO6. УРАВНЕНИЯFxПАРАБОЛЫ, ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ОТНЕСЕННЫЕ К ВЕРШИНЕРассмотрим две прямоугольные системы координат с попарно параллельными осями иразличными началами: Oxy и O′ x′ y ′ . Введем обозначения:r — радиус-вектор точки M в Oxy,r ′ — радиус-вектор точки M в O′ x′ y ′ ,r 0 — радиус-вектор точки O′ в Oxy.yxOrMr0y′r′O′x′Очевидно,r = r0 + r′ .В координатной форме(x = x0 + x′ ,y = y0 + y ′ .Пусть O′ x′ y ′ — каноническая система координат эллипсаx′2 y ′2+ 2 = 1,a2b10Oxy — система координат, начало которой совпадает с левой вершиной эллипса; тогдаx = x′ + a,y = y′и уравнение эллипса в системе Oxy имеет вид(x − a)2 y 2+ 2 = 1.a2bПреобразуем:y2(x − a)22ax − x2=1−=,b2a2a2y2 = 2b2b2x − 2 x2 ;aaпосколькуb2= p,ab2a2 − c 2== 1 − ε2 ,a2a2получаемy 2 = 2px − (1 − ε2 )x2 .Аналогично, уравнение гиперболы в системе координат, начало которой находится вправой вершине гиперболы, имеет видy 2 = 2px + (ε2 − 1)x2 .Таким образом, все три типа кривых задаются одним и тем же уравнениемy 2 = 2px − (1 − ε2 )x2 .При фиксированном p и изменяющемся ε ∈ [0, +∞) мы последовательно получаем:при ε = 0 окружность;при ε ∈ (0, 1) эллипс;при ε = 1 параболу;при ε ∈ (1, +∞) гиперболу.yxO117.

ПОЛЯРНЫЕУРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛЫ, ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫПолучим уравнения конических сечений в полярной системе координат, ось которойсовпадает с главной осью кривой, а полюс находится в фокусе.Поместим полюс в фокус параболы. Имеем:px − = r cos ϕ2(связь декартовых и полярных координат) иpr =x+2(директориальное свойство параболы). Таким образом,p.r cos ϕ = r − p ⇐⇒ r =1 − cos ϕyMrϕO FxПоместим полюс в левый фокус эллипса. Имеем:x + c = r cos ϕ(связь декартовых и полярных координат) иr = εx + a(выражение для левого фокального радиуса).

Таким образом,r = ε(r cos ϕ − c) + a ⇐⇒ r(1 − ε cos ϕ) = a − εc = p,так чтоr=p.1 − ε cos ϕyMrF1ϕOF2xВ случае гиперболы поместим полюс в правый фокус и ограничимся рассмотрениемправой ветви гиперболы. Имеем:r = εx − a,x − c = r cos ϕ,12откуда получаемp.1 − ε cos ϕТаким образом, парабола, эллипс и гипербола (вернее, одна ее ветвь) задаются в полярных координатах одним и тем же уравнением.yMr=rϕF18. ПАРАБОЛА,OF2xЭЛЛИПС И ГИПЕРБОЛА КАК КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯКаждая из трех указанных линий является плоским сечением некоторого прямого кругового конуса.Если секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса, то в сечении получается парабола.На чертеже:π — секущая плоскость, параллельная одной из образующих конуса;S — вершина конуса;сфера касается конуса по окружности, лежащей в плоскости σ, и секущей плоскости вточке F ;l — линия пересечения плоскостей π и σ;X — произвольная точка сечения конуса плоскостью π;Y — точка пересечения образующей SX с плоскостью σ;Z — проекция точки X на прямую l.πX FσlYZSXF = XY как касательные к сфере.

Точки Y и Z лежат в плоскости σ, угол междуXY и σ равен углу между образующей конуса и плоскостью, перпендикулярной его оси.Угол между XZ и σ равен углу между плоскостями π и σ. В силу выбора плоскости π эти13углы равны, так что XY = XZ как наклонные, образующие равные углы с плоскостью σ.Поэтому XF = XZ, и точка X лежит на параболе с фокусом F и директрисой l.Если секущая плоскость π пересекает все образующие конуса и не перпендикулярнаего оси, то в сечении получается эллипс.На чертеже:π — секущая плоскость, пересекающая все образующие конуса;S — вершина конуса;две сферы касаются конуса по окружностям, лежащим в параллельных плоскостях σ1и σ2 (на чертеже не изображены), и секущей плоскости π в точках F1 и F2 ;X — произвольная точка сечения конуса плоскостью π;Y1 , Y2 — точки пересечения образующей SX с плоскостями σ1 и σ2 .Имеем XF1 = XY1 , XF2 = XY2 (равенство касательных к сфере), так чтоXF1 + XF2 = Y1 Y2 = const, т.е.

точка X лежит на эллипсе с фокусами F1 и F2 .Отметим, что прямые l1 и l2 , получающиеся при пересечении плоскостей σ1 и σ2 плоскостью π, являются директрисами эллипса [докажите самостоятельно].Если секущая плоскость π параллельна двум образующим конуса, то в сечении образуется гипербола.9.