А.В. Овчинников - Курс лекций по аналитической геометрии, страница 5

, p3 = , p2 = b1 b2 b1 −b3 −b3 b2 Вектор c пропорционален вектору p, c = αp. Подберем α так чтобы |αp| = |a||b| sin ϕ.|c|2 = |a|2 |b|2 sin2 ϕ = |a|2 |b|2 (1 − cos2 ϕ) = |a|2 |b|2 − (a, b)2 == (a21 + a22 + a23 )(b21 + b22 + b23 ) − (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 )2 == (a2 b3 − a3 b2 )2 + (a3 b1 − a1 b3 )2 + (a1 b2 − a2 b1 )2 ;получили, что |c| = |p|.

Таким образом, c = ±p.Для выяснения знака вычислим определитель матрицы перехода от исходного ОНБ кбазису, состоящему из векторов a, b, c; этот det-3 состоит из координат векторов a, b, c: aaa123 a a a 1 2 3 bb23 b1 = b1 b2 b3 = a2 a3 a1 a3 a1 a2 c1 c2 c3 b2 b3 − b1 b3 b1 b2 a a 2 a a 2 a a 2 1 2 1 3 2 3 = > 0. + + b1 b2 b1 b3 b2 b3 Таким образом, тройка векторов a, b, c имеет ту же ориентацию, что и исходный ОНБ.Поэтому в случае правого ОНБ c = p, а в случае левого ОНБ c = −p.7Итак, в случае правого ОНБ имеемc=− a2 a3 b2 b3  a1 a3  .b1 b3  a1 a2 b1 b2 Ясно, что координаты вектора c равны алгебраическим дополнениям элементов первойстроки det-3 ∗ ∗ ∗ a1 a2 a3 .

b1 b2 b3 Поэтому можно формулу для вычисления ВП представить в виде e e e 1 2 3 [a, b] = a1 a2 a3 в правом ОНБ, b1 b2 b3 e e e 1 2 3 [a, b] = − a1 a2 a3 b1 b2 b3 в левом ОНБ.Очевидно, эти формулы справедливы и для случаев, когда один (или оба) векторанулевой и когда векторы коллинеарны (эти случаи в начале рассуждения были исключеныиз рассмотрения).3.3. Свойства векторного произведения.Теорема.Векторное произведение обладает следующими свойствами:(1) кососимметричность:[a, b] = −[b, a];(2) линейность:[a1 + a2 , b] = [a1 , b] + [a2 , b],[αa, b] = α[a, b].Из линейности по первому аргументу и кососимметричности вытекает линейностьи по второму аргументу.◭ Докажите самостоятельно, используя свойства определителей. ◮3.4.

Двойное векторное произведение. Двойное векторное произведение — это [a, [b, c]]или [[a, b], c].Теорема.[a, [b, c]] = b(a, c) − c(a, b).8◭ В фиксированном ОНБ векторы a, b, c имеют координатыc1b1a1a =  a2  , b =  b 2  , c =  c 2  .c3b3a3Вычислим [b, c]:  i j k b2 c 3 − b3 c 2 [b, c] = b1 b2 b3 =  b3 c1 − b1 c3  . c1 c2 c3 b1 c 2 − b2 c 1Далее вычисляем [a, [b, c]]:i[a, [b, c]] = a1 b2 c 3 − b3 c 2ja2b3 c 1 − b1 c 3ka3b1 c 2 − b2 c 1a2 (b1 c2 − b2 c1 ) − a3 (b3 c1 − b1 c3 )=  a3 (b2 c3 − b3 c2 ) − a1 (b1 c2 − b2 c1 )  =a1 (b3 c1 − b1 c3 ) − a2 (b2 c3 − b3 c2 )=b1 (a2 c2 + a3 c3 ) − c1 (a2 b2 + a3 b3 )=  b2 (a1 c1 + a3 c3 ) − c2 (a1 b1 + a3 b3 )  =b3 (a1 c1 + a2 c2 ) − c3 (a1 b1 + a2 b2 )b1 (a1 c1 + a2 c2 + a3 c3 ) − c1 (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 )=  b2 (a1 c1 + a2 c2 + a3 c3 ) − c2 (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 )  =b3 (a1 c1 + a2 c2 + a3 c3 ) − c3 (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 )c1b1= (a1 c1 + a2 c2 + a3 c3 )  b2  − (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 )  c2  =c3b3= (a, c)b − (a, b)c.◮Теорема.Имеет место тождество Якоби:[a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = 0.◭ Складывая разложение[a, [b, c]] = b(a, c) − c(a, b)с аналогичными разложениями для [b, [c, a]], [c, [a, b]], получаем требуемое.

◮94. СМЕШАННОЕПРОИЗВЕДЕНИЕСмешанное произведение трех векторов a, b, c — это число(a, b, c) = (a, [b, c]).Другие обозначения:(a, b, c) = a · b · c = ha, b, ci.Теорема.Если в ортонормированном базисеb1a1a =  a2  , b =  b 2  ,b3a3тоc1c =  c2  ,c3 a a a 1 2 3 (a, b, c) = ± b1 b2 b3 , c1 c2 c3 где знак «+» выбирается в случае правого базиса, а знак◭ Введем обозначение  i j k d1 d = [b, c] = ± b1 b2 b3 =  d2 c1 c2 c3 d3Имеем«−» в случае левого..(a, b, c) = (a, [b, c]) = a1 d1 + a2 d2 + a3 d3 =! a a a 123 b b b b b b 2 3 1 3 2 3 = ± a1 − a2 + a3 = ± b1 b2 b3 .

c2 c3 c1 c3 c2 c3 c1 c2 c3 ◮Теорема.Смешанное произведение обладает следующими свойствами:(1) линейность:(a1 + a2 , b, c) = (a1 , b, c) + (a2 , b, c);(2) циклическая симметрия:(a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) == −(a, c, b) = −(b, a, c) = −(c, b, a);(3)(a, b, c) = (a, [b, c]) = ([a, b], c).◭ Докажите самостоятельно, используя свойства скалярного и векторного произведенийи свойства det-3.

◮Теорема.(1) (a, b, c) = 0 тогда и только тогда, когда векторы a, b, c линейно зависимы.(2) Векторы a, b, c образуют правую тройку при (a, b, c) > 0 и левую тройку при(a, b, c) < 0.10◭ Докажите самостоятельно, используя выражение смешанного произведения через координаты векторов и то обстоятельство, что матрицу, составленную из координат векторовa, b, c, можно рассматривать как матрицу перехода от исходного ОНБ к базису a, b, c (вслучае, когда эти векторы линейно независимы).

◮Теорема.Величина (a, b, c) равна объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c,со знаком «+», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «−» в противном случае.◭ Докажите самостоятельно. ◮ach = |a| cos ϕbS = |[b, c]|5. ЗАДАЧИПример.Доказать тождество (a, c) (a, d)([a, b], [c, d]) = (b, c) (b, d)Решение..([a, b], [c, d]) = ([a, b], x) = (a, [b, x]) = (a, [b, [c, d]]) =| {z }x= (a, c(b, d) − d(b, c)) = (b, d)(a, c) − (b, c)(a, d).Пример.Доказать тождество[[a, b], [c, d]] = c(a, b, d) − d(a, b, c).Решение.[[a, b], [c, d]] = [x, [c, d]] = c(x, d) − d(x, c) =| {z }x= c([a, b], d) − d([a, b], c) = c(a, b, d) − d(a, b, c).Пример.Даны плоские углы α, β, γ трехгранного угла.

Найти его двугранные углы.11γe3n2n1αe2βe1Решение.Направим единичные векторы e1 , e2 , e3 вдоль ребер двугранного угла. Векторы n1 и n2 ,перпендикулярные граням, могут быть выражены какn1 = [e2 , e3 ],n2 = [e3 , e1 ].|n1 | = sin α,|n2 | = sin β.Очевидно,Угол между рассматриваемыми гранями равен углу между векторами n1 и n2 . (e , e ) (e , e ) cos α cos γ 2 321 (n1 , n2 ) = ([e2 , e3 ], [e3 , e1 ]) = = = cos α cos β − cos γ.(e3 , e3 ) (e3 , e1 ) 1cos β Поэтому косинус искомого угла равенcos ϕ =6. ЗАДАЧИcos α cos β − cos γ(n1 , n2 )=.|n1 | · |n2 |sin α sin βДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯЗадача 1. Длины соседних сторон параллелограмма относятся как m : n, угол междуэтими сторонами равен α. Найдите острый угол между диагоналями параллелограмма.Ответ. Острый угол arccos √|m2 − n2 |.m4 + n4 − 2m2 n2 cos 2αЗадача 2.

Докажите следующие тождества:(a, a) (a, b)(а) k[a, b]k2 = ; (a, b) (b, b) (б) (a, b, c)2 + k[[a, b], c]k2 = k[a, b]k2 · kck2 ;(в) d(a, b, c) = a(b, c, d) + b(c, a, d) + c(a, b, d);(г) ([a, b], [b, c], [c, a]) = (a, b, c)2 .Задача 3. (а) Докажите, что если векторы [a, b], [b, c], [c, a] компланарны, то векторы a,b и c компланарны. (б) Докажите, что если векторы [a, b], [b, c], [c, a] компланарны, тоони коллинеарны.Задача 4. Известно, что a = [b, c], b = [c, a], c = [a, b]. Найти длины векторов a, b, c иуглы между ними.12Ответ. Либо все три вектора нулевые, либо образуют правый ортонормированный базис.Задача 5. Три некомпланарных вектора a, b, c отложены из одной точки. Найти объём(а) треугольной призмы, основание которой построено на векторах a и b, а боковое ребросовпадает с вектором c; (б) тетраэдра, построенного на векторах a, b, c.Ответ.

(а) 21 (a, b, c); (б) 16 (a, b, c).Задача 6. Даны ненулевой вектор a и число p. Найдите все решения уравнения (x, a) = pи объясните их геометрический смысл в плоском и пространственном случаях.pa + y, где y — произвольный вектор, ортогональный вектору a.

ПриОтвет. x =(a, a)условии, что все векторы отложены из одной точки O, в плоском случае концы векторов x лежат на прямой, перпендикулярной вектору a; в пространственном случае концывекторов x лежат в плоскости, перпендикулярной вектору a.Задача 7. Даны ненулевые векторы a и b. Выясните, при каком условии уравнение[x, a] = b имеет решения, найдите все решения этого уравнения и объясните их геометрический смысл.[a, b], Общееkak2решение x = x0 + ta, где t — произвольное число.

Множество концов векторов x являетсяпрямой с направляющим вектором a (все векторы отложены из некоторой точки O); конецвектора x0 является проекцией точки O на эту прямую.Ответ. Уравнение разрешимо при условии (a, b) = 0. Частное решение x0 =Задача 8. Даны неколлинеарные векторы a, b и число p. Найдите все решения уравнения(x, a, b) = p и объясните их геометрический смысл.p[a, b]; общее решение x = x0 + ta + sb, где t, s —Ответ. Частное решение x0 =k[a, b]k2произвольные числа.

Множество концов векторов x является плоскостью, параллельнойвекторам a, b (все векторы отложены из некоторой точки O); вектор x0 является проекциейточки O на эту плоскость.Задача 9. Две тройки векторов a1 , a2 , a3 и b1 , b2 , b3 называются взаимными, если(ai , bj ) = 0 при i 6= j и (ai , bi ) = 1.