А.В. Овчинников - Курс лекций по аналитической геометрии, страница 9

КРИВЫЕВТОРОГО ПОРЯДКАПарабола, эллипс и гипербола задаются уравнениями второй степени. Общий вид многочлена второй степени от двух переменныхf (x, y) = Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F.Кривые второго порядка — это линии на плоскости, задаваемые уравнениями видаf (x, y) = 0.Парабола, эллипс и гипербола — примеры кривых второго порядка.14Теорема.Уравнение кривой второго порядка может быть преобразовано посредством заменыкоординат, состоящей из сдвига начала координат и поворота координатных осей,к одной из следующих девяти канонических форм.I. Эллиптический типI.1.

Эллипсx2 y 2+ 2 = 1.a2bI.2. Точкаx2 y 2+ 2 = 0.a2bI.3. Пустое множествоx2 y 2+ 2 = −1.a2bII. Гиперболический типII.1. Гиперболаx2 y 2− 2 = 1.a2bII.2. Пара пересекающихся прямыхx2 y 2− 2 = 0.a2bIII. Параболический типIII.1. Параболаy 2 = 2px.III.2. Пара параллельных прямыхy 2 = a2 ,a 6= 0.III.3. Пустое множествоy 2 = −a2 ,a 6= 0.III.4. Пара совпадающих прямыхy 2 = 0.10. ЗАДАЧИДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯЗадача 1. Пусть O — центр эллипса, a, b — его полуоси, A, B — такие точки эллипса, чтопрямые OA и OB взаимно перпендикулярны. Найти наибольшее и наименьшее значениядлины отрезка AB.√√Ответ. max AB = a2 + b2 , min AB = 2ab/ a2 + b2 .Задача 2. Вычислить эксцентриситет равносторонней гиперболы (т.е.

гиперболы, полуосикоторой равны).√Ответ. 2.Задача 3. Доказать, что для данной гиперболы произведение расстояний от любой точки гиперболы до ее асимптот есть величина постоянная. Выразить эту величину черезполуоси гиперболы.15Ответ.a2 b 2.a2 + b 2Задача 4. Доказать, что для данной гиперболы площадь параллелограмма, одна из вершин которого лежит на гиперболе, а две стороны лежат на асимптотах, есть величинапостоянная.

Выразить эту величину через полуоси гиперболы.Ответ. ab/2.Задача 5. Доказать, что вершины гиперболы и четыре точки пересечения ее директрис сасимптотами лежат на одной окружности. Выразить радиус этой окружности через длинудействительной полуоси гиперболы.Ответ. a.Задача 6. Доказать, что отрезок касательной к гиперболе, заключенный между ее асимптотами, делится точкой касания пополам.Задача 7. Доказать, что все треугольники, образованные асимптотами гиперболы и произвольной касательной к ней, имеют одну и ту же площадь. Выразить эту площадь черезполуоси гиперболы.Ответ.

ab.Задача 8. Доказать, что касательные в точках пересечения эллипса и гиперболы, имеющих общие фокусы, взаимно перпендикулярны.Задача 9. Составить уравнение семейств эллипсов с общими директрисами x = ±d иобщим центром в начале координат.Ответ.x2y2+= 1, 0 < a < |d|.a2 a2 (d2 − a2 )/d2Задача 10. Составить уравнение семейства гипербол с общими фокусами (±c, 0).Ответ.y2x2−= 1, 0 < a < |c|.a2 c 2 − a2Задача 11. Составить уравнение семейства гипербол с общими асимптотами y = ±kx.Ответ.x2y2−= 1.a2 k 2 a2Задача 12.

Составить уравнение семейства парабол, имеющих общий фокус (0, 0) и симметричных относительно оси Ox.Ответ. y 2 = p2 + 2px, p 6= 0.Задача 13. Составить уравнение семейства парабол, имеющих общую директрису x = 0и симметричных относительно оси Ox.Ответ. y 2 = −p2 + 2px, p 6= 0.Лекция 6Поверхности второго порядкаПространственным аналогом кривых второго порядка являются поверхности второгопорядка, имеющие уравнение видаF (x, y, z) = 0,где F (x, y, z) — многочлен второй степени от x, y, z.

Опишем возможные типы поверхностей второго порядка.1. СПИСОКПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКАЭллиптический тип1 ЭллипсоидВ прямоугольной декартовой системе координат эллипсоид задается уравнениемx2 y 2 z 2+ 2 + 2 = 1,a2bcгде a > 0, b > 0, c > 0. Сечением эллипсоида плоскостьюz = h является линия z = h,т.е.222x + y =1− h ,a2b2c2x2arh21− 2cy2!2 +brh21− 2c!2 = 1.Следовательно, плоскость z = h при |h| > c не пересекает эллипсоид, при |h| = c имеетединственную общую точку с эллипсоидом (это точка (0, 0, c) при h = c и точкаr(0, 0, −c)h2при h = −c), а при |h| < c пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями a 1 − 2 ,crh2b 1 − 2 , которые максимальны (и равны a и b соответственно) при h = 0 и монотонноcуменьшаются до нуля, когда |h| возрастает от нуля до c.Аналогично анализируются сечения эллипсоида плоскостями x = h и y = h; все такиесечения представляют собой эллипсы.Координатные плоскости являются плоскостями симметрии эллипсоида, начало координат — его центром симметрии.

Эллипсоид целиком расположен в параллелепипеде сцентром в точке O(0, 0, 0), с гранями, параллельными координатным плоскостям, и состоронами, равными 2a, 2b и 2c.12 Мнимый эллипсоидУравнение мнимого эллипсоидаx2 y 2 z 2+ 2 + 2 = −1,a2bcгде a > 0, b > 0, c > 0. Эта поверхность не имеет ни одной вещественной точки.3 Мнимый конус.Уравнение мнимого конусаx2 y 2 z 2+ 2 + 2 = 0,a2bcгде a > 0, b > 0, c > 0. Эта поверхность имеет единственную вещественную точкуO(0, 0, 0).Гиперболический тип4 Двуполостный гиперболоидУравнение двуполостного гиперболоидаx2 y 2 z 2+ 2 − 2 = −1a2bcилиx2 y 2 z 2− 2 + 2 = 1,a2bcгде a > 0, b > 0 и c > 0.Плоскость z = h при |h| < c не пересекает гиперболоид, при |h| = c имеет единственную общую точку сгиперболоидом ((0, 0, c) при h = c и (0, 0, −c) при h = −c)и при |h| > c пересекает гиперболоид по эллипсу−x2ar2!2 +h−1c2y2br2!2 = 1,h−1c2полуоси которого монотонно возрастают от 0 до +∞, когда |h| возрастает от c до +∞.Каждая плоскость y = h пересекает гиперболоид по гиперболеz2crh21+ 2bx2!2 −rh2a 1+ 2b!2 = 1,полуоси которой монотонно возрастают (от c и a соответственно) до +∞, когда |h| возрастает от 0 до +∞.

Аналогично для сечений плоскостями x = h.Координатные плоскости являются плоскостями симметрии двуполостного гиперболоида, начало координат — его центром симметрии. Поверхность состоит из двух симметричных частей, расположенных в полупространствах z > c и z 6 −c.25Однополостный гиперболоидУравнение однополостного гиперболоидаx2 y 2 z 2+ 2 − 2 = 1,a2bcгде a > 0, b > 0 и c > 0.Каждая плоскость z = h пересекает гиперболоид поэллипсуx2rh2a 1+ 2c!2 +y2brh21+ 2c!2 = 1,полуоси которого монотонно возрастают от a и b соответственно до +∞, когда |h| возрастает от 0 до +∞. Эллипсx2 y 2+ 2 = 1,a2bполучающийся при h = 0, называется горловым эллипсом гиперболоида.Плоскость y = h при |h| < b пересекает гиперболоид по гиперболеx2r2a 1−z2!2 −hb2cr!2 = 1,21−hb2полуоси которой монотонно убывают от a и c соответственно до 0, когда |h| возрастает от0 до b.

При |h| = b сечением является пара пересекающихся прямыхx2 z 2− 2 = 0.a2cПри |h| > b сечение представляет собой гиперболуz2cr2x2!2 −h−1b2cr2!2 = 1,h−1b2полуоси которой возрастают от 0 до +∞, когда |h| возрастает от b до +∞. Аналогичнодля сечений плоскостями x = h.Координатные плоскости являются плоскостями симметрии однополостного гиперболоида, начало координат — его центром симметрии.36 КонусУравнение конусаx2 y 2 z 2+ 2 − 2 = 0,a2bcгде a > 0, b > 0, c > 0.Координатные плоскости являются плоскостями симметрии конуса, начало координат — его центром симметрии.Коническая поверхность — это поверхность, образованная прямыми (прямолинейными образующими), проходящими через одну точку, называемую вершиной конуса.

Направляющая конической поверхности — это произвольная расположенная на ней линия, обладающая тем свойством,что любая прямолинейная образующая пересекает ее в одной и только одной точке.Сечение конуса плоскостью z = h, h 6= 0, представляет собой эллипсy2x2+= 1,a2 h2 /c2 b2 h2 /c2полуоси которого пропорциональны |h|. Прямая, проходящая через центры этих эллипсов,называется осью конуса. Рассматривая сечения конуса плоскостями, не перпендикулярными оси, можем получить окружность.Сечение конуса плоскостью z = 0 состоит из одной точки O(0, 0, 0).Сечение конуса плоскостью y = h, h 6= 0, является гиперболойx2z2−= 1,c2 h2 /b2 a2 h2 /b2полуоси которой пропорциональны |h|.

Аналогично для сечений плоскостями x = h. Такимобразом, в качестве направляющей конуса может быть выбрана гипербола.Сечение конуса плоскостью y = 0 представляет собой пару пересекающихся прямыхx2 z 2− 2 = 0.a2cПарабола также может быть получена как плоское сечение конуса (см. задачу 2 длясамостоятельной работы).4Параболический тип7 Эллиптический параболоидУравнение эллиптического параболоидаx2 y 2+ 2 = 2z,a2bгде a > 0, b > 0.Плоскость z = h при h < 0 не пересекает параболоид, при h = 0 имеет с ним единственную общую точкуO(0, 0, 0), при h > 0 пересекает параболоид по эллипсуx2y2+= 1,2ha2 2hb2полуоси которого монотонно возрастают вместе с h от 0до +∞.Плоскости y = h и x = h пересекают параболоид по параболам с фокальными параметрами a2 и b2 , с вершинами в точках (0, h, h2 /2b2 ) и (h, 0, h2 /2a2 ) и ветвями, направленнымивверх.Координатные плоскости x = 0 и y = 0 являются плоскостями симметрии эллиптического параболоида, других плоскостей симметрии и центра симметрии у него нет.8 Гиперболический параболоидУравнение гиперболического параболоидаx2 y 2− 2 = 2z,a2bгде a > 0, b > 0.Плоскость z = h при h < 0 пересекает параболоид погиперболеx2y2−= 1;−2hb2 −2ha2действительная ось этой гиперболы параллельна оси Oy, а мнимая — оси Ox.

Плоскостьz = h при h > 0 пересекает параболоид по гиперболеx2y2−= 1;2ha2 2hb2действительная ось этой гиперболы параллельна оси Ox, а мнимая — оси Oy. Плоскостьz = 0 пересекает параболоид по паре прямыхx2 y 2− 2 = 0.a2b5Плоскости y = h и x = h пересекают попараболам с фокальными параметрами параболоид22hha2 и b2 и с вершинами в точках 0, h, − 2 и h, 0, 2 ; ветви первой параболы на2b2bправлены вверх, второй — вниз. Вершины парабол, высекаемых плоскостями y = h, лежатна параболе, высекаемой плоскостью x = 0, а вершины парабол, высекаемых плоскостямиx = h, — на параболе, высекаемой плоскостью y = 0.Плоскости x = 0 и y = 0 являются плоскостями симметрии гиперболического параболоида; других плоскостей симметрии нет.9 Эллиптический цилиндрУравнение эллиптического цилиндраx2 y 2+ 2 = 1,a2bгде a > 0, b > 0.