А.В. Овчинников - Курс лекций по аналитической геометрии, страница 2

Поэтому теорема, противоположнаяобратной:¬B =⇒ ¬A,равносильна исходнойA =⇒ B.Метод доказательства «от противного» заключается в том, что вместо исходной теоремыдоказывается теорема, противоположная к обратной:(¬B =⇒ ¬A) ⇐⇒ (A =⇒ B) .10. ЗАДАЧИДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯЗадача 1. Составить уравнение геометрического места точек, произведение расстоянийкоторых до двух данных точек F1 (−a; 0) и F2 (a; 0) есть постоянная величина a2 .Ответ. (x2 + y 2 )2 = 2a2 (x2 − y 2 ).Задача(x − a)2отрезкикривую,2. Из начала координат проведен луч, пересекающий данную окружность+ y 2 = a2 (a > 0) в точке B.

На луче по обе стороны от точки B отложеныBM и BN одинаковой длины b. При вращении луча точки M и N описываютназываемую улиткой Паскаля. Составить ее уравнение.Ответ. (x2 + y 2 − 2ax)2 = b2 (x2 + y 2 ).Задача 3. Отрезок длины a движется так, что его концы все время находятся на координатных осях. Через концы отрезка проведены прямые, параллельные координатным осям,до их взаимного пересечения в точке P . Точка M является основанием перпендикуляра,опущенного из точки P на отрезок.

При движении отрезка точка M описывает кривую,называемую астроидой. Составить ее уравнение.Ответ. x2/3 + y 2/3 = a2/3 .Лекция 2ВекторыОпределители второго и третьего порядка1. ВЕКТОРЫВектор — направленный отрезок.Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельныи направлены в одну стороны)Противоположные векторы: имеют одинаковые длины и противоположные направления(параллельны и направлены в разные стороны).Нулевой вектор: имеет нулевую длину, направление не определено, начало и конецсовпадают.Операции над векторами: сложение и умножение на число.−→ −→ −−→AB = AC + CB.BACСложение векторов коммутативно и ассоциативно:a + b = b + a,aa+(a + b) + c = a + (b + c).bbbaa+ba+b+b+ccc1.1.

Свойства операций над векторами.Теорема.Сложение векторов и умножение векторов на числа обладают следующими свойствами:(1) коммутативность сложения: ∀ a, ba + b = b + a;12(2) ассоциативность сложения: ∀ a, b, c(a + b) + c = a + (b + c);(3) свойство нулевого вектора: ∃ 0:∀a : a + 0 = a;(4) существование противоположного вектора:∀a ∃a′ : a + a′ = 0;(5) свойство единицы: ∀a:1 · a = a;(6) ассоциативность умножения на число: ∀a, ∀α, β(αβ) a = α (βa) ;(7) дистрибутивность-1: ∀a, b, ∀αα (a + b) = αa + αb;(8) дистрибутивность-3: ∀a, ∀α, β(α + β) a = αa + βa.1.2.

Коллинеарные и компланарные векторы. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых. Если коллинеарные векторы привести к общемуначалу, то они окажутся лежащими на одной прямой.Векторы называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях. Есликомпланарные векторы привести к общему началу, то они окажутся лежащими в однойплоскости.Теорема.(1) Для того, чтобы два вектора a, b были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие числа α, β, не равные одновременно нулю, чтоαa + βb = 0.(2) Для того, чтобы три вектора a, b, c были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие числа α, β, γ не равные одновременно нулю,чтоαa + βb + γc = 0.◭ 1. Пусть векторы a, b, c компланарны; тогда один из них можно выразить через дваостальных, например,a = xb + yc.Мы можем положитьα = 1,β = −x,γ = −y.2.

Пусть в равенствеαa + βb + γc = 0.один из коэффициентов отличен от нуля, например, α 6= 0. Тогда можно записатьβγa = − b − c,αα3и векторы оказываются компланарными. ◮Теорема.(1) Для того, чтобы два вектора a, b были неколлинеарны, необходимо и достаточно, чтобы равенствоαa + βb = 0было возможно лишь при α = β = 0.(2) Для того, чтобы три вектора a, b, c были некомпланарны, необходимо и достаточно, чтобы равенствоαa + βb + γc = 0было возможно лишь при α = β = γ = 0.1.3. Базис и координаты вектора.Базис на плоскости — упорядоченный набор двух неколлинеарных векторов a1 , a2 .Любой вектор на плоскости можно представить в виде комбинацииx = x1 a1 + x2 a2 ;это соотношение называется разложением вектора x по базису a1 , a2 , а числа x1 , x2 —координатамивектора x в базисе a1 , a2 .

Координаты вектора записываем в виде столбца!x1.x2xa2a1Базис в пространстве — упорядоченный набор трех некомпланарных векторов a1 , a2 , a3 .Любой вектор пространства можно представить в виде комбинацииx = x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 ;это соотношение называется разложением вектора x по базису a1 , a2 , a3 , а числа x1 , x2 , x3— координатами  вектора x в базисе a1 , a2 , a3 . Координаты вектора записываем в видеx1 столбца x2 .x3a3a1xa24В аналитической геометрии используются преимущественно ортонормированные базисы, т.е.

базисы, состоящие из единичных попарно ортогональных векторов.e3e2e2e1e1Теорема.Разложение вектора по базису единственно, т.е. набор координат векторов в данном базисе определен однозначно.◭ Предположим, что вектор x имеет в базисе a1 , a2 , a3 два различных набора координат:x = x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 = y1 a1 + y2 a2 + y3 a3 .Вычитая второе разложение из первого, получим0 = (x1 − y1 )a1 + (x2 − y2 )a1 + (x3 − y3 )a3 .Так как векторы базиса некомпланарны, то это равенство возможно лишь при нулевыхкоэффициентах, т.е.x1 = y1 , x2 = y2 , x3 = y3 .◮bДаже этих несложных средств достаточно для решения некоторых задач.Пример.Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкойв отношении 2 : 1, считая от вершины.CB1AA1OC1cB−→−→Рассмотрим базис на плоскости, образованный векторами b = AC и c = AB.Имеем−−→−−→ 1 −−→ 11BC = b − c;BA1 = BC = b − c;2221−−→ −→ −−→1 11AA1 = AB + BA1 = c +b − c = b + c;2222−−→ −→ −−→1BB1 = BA + AB1 = −c + b.2Рассмотрим точку O, делящую отрезок AA1 в отношении 2 : 1, считая от точки A; тогда−→ 2 −−→ 2 1111b + c = b + c.AO = AA1 =33 22335−−→Найдем вектор BO:−−→ −→ −→121BO = BA + AO = −c + b + c =33312 −−→−c + b = BB1 ,23т.е.

точка O делит медиану BB1 в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.Аналогичное утверждение легко получить и для медианы CC1 .2. СТОЛБЦЫИ ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ2.1. Арифметическое пространство столбцов. Рассмотрим множество Rn , состоящее изупорядоченных наборов n вещественных чисел, которые будем записывать в виде столбцов: x1 x2nR = X =  .  , x1 , x2 , .

. . , xn ∈ R . .. xnНулевой столбец — столбец, все элементы которого нули; обозначается O.Два столбца называются равными, если они состоят из одинакового числа элементов ипопарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах:  x1y1   x2 y  , Y =  .2  :для X = X=Y⇐⇒x1 = y1 , . . .

, xn = yn ......xnynОпределим операции сложения столбцов и умножения столбцов на вещественные числа:      αx1x1x1 + y1y1x1       x   αx  x2   y2   x2 + y2  .  +  .  =  .  , α ·  .2  =  . 2  ..  . . .  .

.  . . .  . xnxn + ynynxnαxnТеорема.Операции сложения столбцов и умножения столбцов на числа обладают следующими свойствами:(1) коммутативность сложения: ∀X, Y ∈ RnX + Y = Y + X;(2) ассоциативность сложения: ∀X, Y, Z ∈ Rn(X + Y ) + Z = X + (Y + Z);(3) свойство нулевого столбца:∀X ∈ Rn : X + O = X;(4) существование противоположного столбца:∀X ∈ Rn∃X ′ ∈ Rn : X + X ′ = O;6(5) свойство единицы: ∀X ∈ Rn :1 · X = X;(6) ассоциативность умножения на число: ∀X ∈ Rn , ∀α, β ∈ R(αβ) X = α (βX) ;(7) дистрибутивность-1: ∀X, Y ∈ Rn , ∀α ∈ Rα (X + Y ) = αX + αY ;(8) дистрибутивность-2: ∀X ∈ Rn , ∀α, β ∈ R(α + β) X = αX + βX.2.2.

Линейная комбинация, линейная оболочка. Пусть даны столбцы X1 , X2 , . . . , Xk ∈ Rnи числа α1 , α2 , . . . , αk ∈ R. Линейная комбинация — это выражение видаα1 X1 + α2 X2 + · · · + αk Xk .Будем пользоваться сокращением ЛК.ЛК называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю:α1 = α2 = · · · = αk = 0.Очевидно, тривиальная ЛК любых столбцов равна нулевому столбцу.Линейная оболочка столбцов X1 , X2 , .

. . , Xk ∈ Rn — это множествоonL(X1 , X2 , . . . , Xk ) = α1 X1 + α2 X2 + · · · + αk Xk α1 , α2 , . . . , αn ∈ R .Сокращение — ЛО.2.3. Линейная зависимость и независимость. Тривиальная ЛК любых столбцов равнанулевому столбцу. Может ли быть равна нулевому столбцу нетривиальная ЛК, т.е. такая,в которой хотя бы один коэффициент ненулевой?Пример.X1 =!1,2X2 =!2,42X1 − X2 = O.Столбцы X1 , . .

. , Xn называются линейно зависимыми (ЛЗ), если существует их нетривиальная ЛК, равная нулевому столбцу.Столбцы X1 , . . . , Xn называются линейно независимыми (ЛН), если равенство нулевомустолбцу их ЛК возможно лишь в случае, если эта ЛК тривиальна.Теорема.(1) Если в системе столбцов X1 , .

. . , Xk имеется нулевой столбец, то эта системаЛЗ.(2) Если система столбцов X1 , . . . , Xk ЛЗ, то один из этих столбцов можно представить в виде ЛК остальных.(3) Если в системе столбцов X1 , . . . , Xk , Xk+1 , . . . , Xr столбцы X1 , . . .

, Xk ЛЗ, то ився система также ЛЗ.7◭ 1. Пусть в системе столбцов X1 , . . . , Xk один столбец нулевой, например, Xk = O.Нетривиальная ЛК0 · X1 + 0 · X2 + · · · + 1 · Xkравна, очевидно, нулевому столбцу.2. Пусть столбцы X1 , . . . , Xk ЛЗ; тогда существует их нетривиальная ЛК, равная нулевому столбцу:α1 X1 + α2 X2 + · · · + αk Xk = O.Для определенности будем считать, что αk 6= 0; тогдаα2αk−1α1Xk−1 ,Xk = − X1 − X2 − · · · −αkαkαkчто и требовалось.3. Если подсистема X1 , .

. . , Xk ЛЗ, то существует ЛКα1 X1 + · · · + αk Xk = O,в которой имеется хотя бы один ненулевой коэффициент. Если теперь к этой ЛК добавитьтривиальную ЛК столбцов Xk+1 , . . . , Xr , то получится нетривиальная ЛКнетривиальная ЛКz}|{α1 X1 + α2 X2 + · · · + αk Xk + 0 · Xk+1 + . . . 0 · Xr = O,||{z}{z}нетривиальная ЛКтривиальная ЛКчто и требовалось.

◮2.4. Векторы и столбцы.Пусть на плоскости (в пространстве) зафиксирован некоторый базис.Тогда каждому вектору ставится единственным образом в соответствие столбец егокоординат.Наоборот, если задан некоторый столбец, то существует единственный вектор, координаты которого совпадают с элементами этого столбца.Таким образом, в случае, если базис зафиксирован, между векторами и столбцамисуществует взаимно однозначное соответствиеx ↔ X.Теорема.Указанное соответствие обладает следующими свойствами: если x ↔ X, y ↔ Y ,тоx + y ↔ X + Y, αx ↔ αX.Такое соответствие называется изоморфизмом.3.