А.В. Овчинников - Курс лекций по аналитической геометрии (1114603), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Получим уравнение прямой в виде[r, a] = b,где (a, b) = 0.Обратное преобразование уравнения также нетрудно выполнить. Запишем уравнениепрямой [r, a] = b в виде r = r 0 + ta.◭ Направляющий вектор прямой [r, a] = b можно выбрать равным a. Найдем такуюопорную точку r 0 прямой, что ее радиус-вектор ортогонален вектору a, (r 0 , a) = 0. Умножим соотношение [r 0 , a] = b векторно на a:[a, [r 0 , a]] = [a, b].Раскрывая двойное векторное произведение, получимr 0 (a, a) − a (a, r 0 ) = [a, b],| {z }=0откудаr0 =[a, b].(a, a)Получаем параметрическое уравнение прямойr=[a, b]+ ta.(a, a)◮83.1. Основные формулы.Теорема.Даны точка M1 (r 1 ) и прямая l, заданная уравнением r = r 0 + ta.(1) Ортогональная проекция M2 (r 2 ) точки M1 (r 1 ) на прямую l выражается формулой(r 1 − r 0 , a)r2 = r0 +a.(a, a)(2) Расстояние от точки M1 (r 1 ) до прямой l, выражается формулой[r 1 − r 0 , a]d(M1 , l) =.kak(3) Точка M3 (r 3 ), симметричная точке M1 (r 1 ) относительно прямой l, выражаетсяформулой(r 1 − r 0 , a)r 3 = 2r 0 − r 1 + 2a.(a, a)M3ar3M2lr2M1r1O◭ Умножим обе части равенства−−−−→ −−−→ −−−→M1 M2 = OM2 − OM1скалярно на вектор a:−−−−→−−−→−−−→(M1 M2 , a) = (OM2 , n) − (OM1 , n) =| {z } | {z } | {z }=0=(r1 ,a)=(r0 +ta,a)= (r 0 − r 1 , a) + t(a, a),откуда(r 1 − r 0 , a)(a, a)— значение параметра, отвечающее точке M2 ∈ l.Для проекции M2 точки M1 на прямую l имеем:t0 =r 2 = r 0 + t0 a = r 0 +(r 1 − r 0 , a)a.(a, a)Для точки M3 , симметричной точке M1 относительно прямой l, имеем−−−→ −−−→−−−−→r 3 = OM3 = OM1 + 2M1 M2 = r 1 + 2(r 2 − r 1 ) == 2r 2 − r 1 = 2r 0 − r 1 + 2(r 1 − r 0 , a)a.(a, a)9Найдем расстояние от точки M1 до прямой l:−−−−→(r 1 − r 0 , a) d(M1 , l) = kM1 M2 k = kr 2 − r 1 k = r 0 − r 1 +a=(a, a) (r 0 − r 1 )(a, a) − (r 0 − r 1 , a)a [a, [r 0 − r 1 , a]] === (a, a)(a, a)[r 0 − r 1 , a]kak · [r 0 − r 1 , a] · sin ϕ=,=(a, a)kakгде ϕ — угол между векторами a и [r 0 − r 1 , a]; здесь учтено, что векторы a и [r 0 − r 1 , a]ортогональны, т.е.
sin ϕ = 1. ◮3.2. Скрещивающиеся прямые.Составим уравнение прямой, пересекающей две скрещивающиеся прямые r = r 1 + ta1 иr = r 2 + ta2 и проходящей через точку M0 (r 0 ), не лежащую ни на одной из этих прямых.((r − r 0 , r 1 − r 0 , a1 ) = 0,Ответ.(r − r 0 , r 2 − r 0 , a2 ) = 0.lπ2l1AM0Bl2π1Составим уравнение прямой, пересекающей две скрещивающиеся прямые r = r 1 + ta1и r = r 2 + ta2 под прямыми углами (общего перпендикуляра к этим прямым).((r − r 1 , a1 , [a1 , a2 ]) = 0,Ответ.(r − r 2 , a2 , [a1 , a2 ]) = 0.π1σ1l1π2σ 2 l2l104.
ЗАДАЧИДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯЗадача 1. Найти угол между прямыми, заданными уравнениямиr = r 1 + ta1 ,Ответ. arccosr = r 2 + ta2 .|(a1 , a2 )|.ka1 k · ka2 kЗадача 2. Найти условие, при котором прямые на плоскости, заданные уравнениями(r, n) = D и r = r 0 + ta, пересекаются (в единственной точке), и радиус-вектор точки пересечения этих прямых.Ответ. r 0 +D − (r 0 , n)a.(a, n)Задача 3. Найти угол между плоскостями, заданными уравнениями(r, n1 ) = D1 ,Ответ.
arccos(r, n2 ) = D2 .|(n1 , n2 )|.kn1 k · kn2 kЗадача 4. Записать уравнение плоскости r = r 0 + sa + tb в виде (r, n) = D.Ответ. (r, [a, b]) = (r 0 , a, b).Задача 5. Найти необходимое и достаточное условие, при котором плоскости (r, n1 ) = D1и (r, n2 ) = D2 :(1) пересекаются по прямой;(2) параллельны, но не совпадают;(3) совпадают.Ответ. (1) [n1 , n2 ] 6= 0; (2) [n1 , n2 ] = 0, и если n1 = λn2 , то D1 6= λD2 ; (3) [n1 , n2 ] = 0,и если n1 = λn2 , то D1 = λD2 .Задача 6. Найти расстояние между двумя параллельными плоскостями (r, n) = D1 и(r, n) = D2 .Ответ.|D1 − D2 |.knkЗадача 7.
Найти расстояние между двумя параллельными плоскостями r = r 1 + sa + tbи r = r 2 + sa + tb.Ответ.|(r 1 − r 2 , a, b)|.[a, b]Задача 8. Записать уравнение прямой(в виде [r, a] = b.Ответ. [r, [n1 , n2 ]] = D2 n1 − D1 n2 .(r, n1 ) = D1 ,(r, n2 ) = D211Задача 9. Записать уравнение прямой((r, n1 ) = D1 ,(r, n2 ) = D2в виде r = r 0 + ta, где a = [n1 , n2 ].Ответ. r =[a, D2 n1 − D1 n2 ]+ ta.(a, a)Задача 10. Найти необходимое и достаточное условие, при котором прямые r = r 1 + ta1и r = r 2 + ta2 :(1)(2)(3)(4)пересекаются (т.е. имеют одну общую точку);скрещиваются;параллельны, но не совпадают;совпадают.Ответ. (1) [a1 , a2 ] 6= 0, (r 2 − r 1 , a1 , a2 ) = 0; (2) [a1 , a2 ] 6= 0, (r 2 − r 1 , a1 , a2 ) 6= 0; (3)[a1 , a2 ] = 0, [r 2 − r 1 , a1 ] 6= 0; (4) [a1 , a2 ] = 0, [r 2 − r 1 , a1 ] = 0.Задача 11.
Найти расстояние от точки M1 (r 1 ) до прямой [r, a] = b.[r 1 , a] − b.Ответ.kakЗадача 12. Найти расстояние между параллельными прямыми r = r 1 + ta и r = r 2 + ta.[r 1 − r 2 , a]Ответ..kakЗадача 13. Найти расстояние между параллельными прямыми [r, a] = b1 и [r, a] = b2 .Ответ.kb1 − b2 k.kakЗадача 14. Даны прямая r = r 0 + ta и плоскость (r, n) = D. Найти необходимое идостаточное условие того, что:(1) прямая и плоскость пересекаются (имеют единственную общую точку);(2) прямая и плоскость параллельны (не имеют общих точек);(3) прямая лежит в плоскости.Ответ.
(1) (a, n) 6= 0; (2) (a, n) = 0, (r 0 , n) 6= D; (3) (a, n) = 0, (r 0 , n) = D.Задача 15. Найти радиус-вектор точки пересечения прямой r = r 0 + ta с плоскостью(r, n) = D.Ответ. r 0 +D − (r 0 , n)a.(a, n)Задача 16. Найти радиус-вектор точки пересечения прямой [r, a] = b с плоскостью(r, n) = D.Ответ.[a, b]D(a, a) − (a, b, n)+a.(a, a)(a, a)(a, n)Задача 17.
Составить уравнение прямой, проходящей через точку M1 (r 1 ) перпендикулярноплоскости (r, n) = D.12Ответ. r = r 1 + tn.Задача 18. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1 (r 1 ) перпендикулярно прямой r = r 0 + ta.Ответ. (r − r 1 , a) = 0.Задача 19. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую r = r 0 +ta и точкуM1 (r 1 ), не лежащую на этой прямой.Ответ. (r − r 0 , r 1 − r 0 , a) = 0.Задача 20.
Составить уравнение проекции прямой r = r 0 + ta на плоскость (r, n) = Dпри условии, что прямая не перпендикулярна плоскости.((r, n) = D,Ответ.(r − r 0 , a, n) = 0.Задача 21. Составить уравнение прямой, пересекающей прямую r = r 0 + ta под прямымуглом и проходящей через точку M1 (r 1 ), не лежащую на данной прямой (перпендикуляра,опущенного из точки M1 на прямую).((r − r 1 , a) = 0,Ответ.(r − r 1 , r 0 − r 1 , a) = 0.Задача 22. Найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми r = r 1 + ta1 иr = r 2 + ta2 .Ответ.|(r 1 − r 2 , a1 , a2 )|.k[a1 , a2 ]kЗадача 23. Найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми [r, a1 ] = b1 и[r, a2 ] = b2 .Ответ.|(a1 , b2 ) + (a2 , b1 )|.k[a1 , a2 ]kЛекция 5Парабола, эллипс, гипербола1.
ПАРАБОЛАПарабола — эта линия, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxy координат имеет уравнение(1)y 2 = 2px.Указанная система координат называется канонической, уравнение (1) — каноническимуравнением параболы.Теорема.Парабола представляет собой множество точек, равноудаленных от данной прямой(директрисы параболы) и данной точки (фокуса параболы), не лежащей на директрисе.◭ Пусть парабола задана уравнением (1) Имеем: r2 2p 2ppp2x−− x−⇐⇒ x + =+ y2,y = 2px = x +2222т.е.
точка (x, y) параболы равноудалена от прямой x = −p/2 и точки (p/2, 0), котораяявляется фокусом параболы, поскольку при x = p/2 имеем y 2 = p2 .Обратно, рассмотрим прямую x = −p/2 и точку F (p/2, 0). Точка M (x, y) удалена отpуказанной прямой на расстояние |x+p/2|, а от точки F — на расстояние (x − p/2)2 + y 2 .Условие равенства этих расстоянийrp p 2+ y2x−x + =22после возведения в квадрат и несложных преобразований дает уравнение (1). ◮yMp− p2OFxОсновные термины, связанные с параболой:(1) ось Ox — ось параболы;(2) фокальная хорда — отрезок с концами на параболе, проведенный через фокус перпендикулярно оси;(3) p — (фокальный) параметр (равен половине длины фокальной хорды);(4) p/2 — фокусное расстояние(5) точка F (p/2, 0) — фокус;(6) прямая x = −p/2 — директриса.122.
ЭЛЛИПСЭллипс — это линия, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координатOxy координат имеет уравнениеx2 y 2+ 2 = 1.a2b(2)Указанная система координат называется канонической, уравнение (2) — каноническимуравнением эллипса.Основные термины, связанные с эллипсом:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)a — большая полуось;b — малая полуось;√c = a2 − b2 — линейный эксцентриситет;точки F1 (−c, 0), F2 (c, 0) — фокусы;2c — фокусное расстояние;ε = c/a < 1 — (числовой) эксцентриситет;прямые x = ±a/ε — директрисы;ось OX — большая (фокальная) ось;ось OY — малая ось;фокальная хорда — отрезок с концами на эллипсе, проведенный через фокус перпендикулярно фокальной оси;(11) p = b2 /a — (фокальный) параметр (равен половине длины фокальной хорды);(12) точки (±a, 0), (0, ±b) — вершины эллипса;(13) точка O(0, 0) — центр эллипса.yMd1xF1− aεr2r1pd2OF2aεПусть M (x, y) — произвольная точка эллипса.
Отрезки F1 M , F2 M называются фокальными радиусами точки M .Теорема.Фокальное свойство эллипса: Эллипс является множеством точек, сумма расстояний от которых до фокусов постоянна: F1 M + F2 M = 2a.◭ Рассмотрим эллипсx2 y 2+ 2 = 1.a2bФокальные радиусы произвольной точки M (x, y) эллипса равныr1 =p(x + c)2 + y 2 ,r2 =p(x − c)2 + y 2 .3Имеемr12222= (x + c) + y = (x + c) + b2x21− 2a=b21− 2ax2 + 2xc + c2 + b2 =c2 2x + 2cx + a2 = ε2 x2 + 2ε2 ax + a2 = (εx + a)2 .a2Поскольку |x| 6 a, ε < 1, имеем |εx| < a, так что=r1 = a + εx.Аналогично находимr2 = a − εx.Следовательно,r1 + r2 = 2a.Обратно, пусть M (x, y) — точка плоскости, для которой сумма F1 M + F2 M постояннаи равна 2a, т.е.pp(x + c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 = 2a.Уничтожив радикалы, придем к уравнениюy2x2+= 1.a2 a2 − c 2◮Теорема.Директориальное свойство эллипса: Эллипс является множеством точек, отношение расстояний от которых до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно(и равно ε).◭ Расстояния от произвольной точки M (x, y) эллипса до левой и правой директрисравныa εx + a r1a εx − a r2= , d2 = x − = = .d1 = x + = εε εεε εОбратно, еслиpa (x ± c)2 + y 2 = ε x ± ,εто(x ± c)2 + y 2 = (εx ± a)2и поэтому(1 − ε2 )x2 + y 2 = a2 − c2 ⇐⇒x2 y 2+ 2 = 1.a2b◮3.
ГИПЕРБОЛАГипербола — эта линия, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxy координат имеет уравнениеx2 y 2− 2 = 1.(3)a2bУказанная система координат называется канонической, уравнение (3) — каноническимуравнением гиперболы.Выразим из уравнения гиперболы y:rx2y = ±b− 1.a24Имеем:r a21xxa2b1 − 2 = ±by = ±b1− 2 +o= ± x + o(1).2axa2xxaТаким образом, прямыеby = ± x ⇐⇒ ay ± bx = 0aявляются асимптотами гиперболы.ybpF1OF2x2aОсновные термины, связанные с гиперболой:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)a — вещественная полуось;b — мнимая полуось;√c = a2 + b2 — линейный эксцентриситет;точки F1 (−c, 0), F2 (c, 0) — фокусы;2c — фокусное расстояние;ε = c/a > 1 — (числовой) эксцентриситет;прямые x = ±a/ε — директрисы;ось OX — вещественная (фокальная) ось;ось OY — мнимая ось;фокальная хорда — отрезок с концами на гиперболе, проведенный через фокусперпендикулярно фокальной оси;p = b2 /a — (фокальный) параметр (равен половине длины фокальной хорды);точки (±a, 0) — вершины гиперболы;точка O(0, 0) — центр гиперболы;прямые ay ± bx = 0 — асимптоты гиперболы.yMF1OF2xПусть M (x, y) — произвольная точка гиперболы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
