Главная » Просмотр файлов » А.В. Овчинников - Курс лекций по аналитической геометрии

А.В. Овчинников - Курс лекций по аналитической геометрии (1114603), страница 6

Файл №1114603 А.В. Овчинников - Курс лекций по аналитической геометрии (А.В. Овчинников - Курс лекций по аналитической геометрии) 6 страницаА.В. Овчинников - Курс лекций по аналитической геометрии (1114603) страница 62019-04-25СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Докажите, что для существования тройки b1 , b2 , b3 ,взаимной к a1 , a2 , a3 , необходимо и достаточно, чтобы векторы a1 , a2 , a3 были некомпланарны. Выразите векторы b1 , b2 , b3 через векторы a1 , a2 , a3 . Докажите, что если векторыa1 , a2 , a3 образуют базис, то векторы взаимной тройки b1 , b2 , b3 образуют базис той жеориентации.Ответ. b1 =[a2 , a3 ][a3 , a1 ][a1 , a2 ], b2 =, b3 =.(a1 , a2 , a3 )(a1 , a2 , a3 )(a1 , a2 , a3 )Задача 10. Решите систему векторных уравнений в пространстве: (x, a) = p, (x, b) = q,(x, c) = r, где a, b, c — некомпланарные векторы, p, q, r — числа. Объясните геометрический смысл решения. [Указание. Воспользуйтесь взаимным базисом, описанным в задаче 9.]p[b, c] + q[c, a] + r[a, b]— радиус-вектор точки пересечения плоскостей, за(a, b, c)даваемых уравнениями системы (см. задачу 6).Ответ.

x =Лекция 4Прямые и плоскости1. ПРЯМАЯНА ПЛОСКОСТИСначала получим разные виды уравнения прямой на плоскости в произвольной косоугольной системе координат Oe1 e2 .1.1. Параметрическое уравнение прямой на плоскости.Рассмотрим прямую на плоскости, проходящую через точку M0 с радиус-вектором r 0 ,называемую опорной точкой прямой, и параллельную вектору a, называемому направляющим вектором этой прямой.

Если M (r) — произвольная точка прямой, то вектор−−−→M0 M = r − r 0 коллинеарен вектору a, т.е.r − r 0 = ta,t ∈ R,откуда получаем векторное уравнение прямой:r = r 0 + ta.aMM0rr0OЗаписывая это уравнение в координатах, получим(x = x0 + tl,y = y0 + tm,где r = (x, y), r 0 = (x0 , y0 ), a = (l, m).Исключив параметр t, получимx − x0y − y0=.lmЭто уравнение называется каноническим уравнением прямой на плоскости.

В знаменателях допускаются нули; в этом случае соотношение следует «перемножить крест-накрест»,как пропорцию.1.2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.Напишем уравнение прямой, проходящей через точкиM1 (r 1 ) = M1 (x1 , y1 ),M2 (r 2 ) = M2 (x2 , y2 ).В качестве опорной точки можно выбрать любую из точек M1 или M2 , а в качественаправляющего вектора — вектор−−−−→M1 M2 = r 2 − r 1 = (x2 − x1 , y2 − y1 ).Уравнение в векторном параметрическом виде:r = r 1 + t(r 2 − r 1 ),12в каноническом видеy − y1x − x1=.x2 − x1y2 − y11.3. Общее уравнение прямой.Из канонического уравненияx − x0y − y0=lmполучаемm(x − x0 ) = l(y − y0 ) ⇐⇒ Ax + By = D,где A = m, B = −l, D = mx0 − ly0 .

Это уравнение называется общим уравнением прямойна плоскости в декартовой (косоугольной) системе координат.1.4. Нормальное уравнение прямой. Пусть теперь система координат прямоугольная,причем базис ортонормированный.Рассмотрим прямую на плоскости, проходящую через опорную точку M0 (r 0 ) и перпендикулярную вектору n, называемому нормальным вектором этой прямой. Если M (r) —−−−→произвольная точка прямой, то вектор M0 M = r − r 0 ортогонален вектору n, т.е.(r − r 0 , n) = 0.nMM0rr0OЭто уравнение называется нормальным уравнением прямой; его можно записать такжев виде(r, n) − (r 0 , n) = 0 ⇐⇒ (r, n) = D,где D = (r 0 , n).В прямоугольных декартовых координатах нормальное уравнение принимает видA(x − x0 ) + B(y − y0 ) = 0,где r = (x, y), r 0 = (x0 , y0 ), n = (A, B).Это уравнение можно записать также в видеAx + By = D;отличие этого уравнения от общего уравнения прямой в произвольной косоугольной системе координат заключается в том, что коэффициенты A, B здесь являются координатамивектора нормали прямой (в косоугольной системе координат это не так!).31.5.

Основные формулы.Теорема.Даны точка M1 (r 1 ) и прямая l, заданная уравнением (r, n) = D.(1) Ортогональная проекция M2 (r 2 ) точки M1 (r 1 ) на прямую l выражается формулой(r 1 , n) − Dr2 = r1 −n.(n, n)(2) Расстояние от точки M1 (r 1 ) до прямой l, выражается формулойd(M1 , l) =|(r 1 , n) − D|.knkВ координатной форме:d(M1 , l) =|Ax1 + By1 − D|√;A2 + B 2здесь (x1 , y1 ) — координаты точки M1 , а прямая l задана уравнениемAx + By = D.(3) Точка M3 (r 3 ), симметричная точке M1 (r 1 ) относительно прямой l, выражаетсяформулойr3 = r1 − 2(r 1 , n) − Dn.(n, n)M3nr3M2lr2M1r1O◭ Имеем:−−−−→ −−−→ −−−→M1 M2 = OM2 − OM1 = λn.Умножим обе части равенства скалярно на вектор n:−−−→−−−→(OM2 , n) − (OM1 , n) = λ(n, n),| {z } | {z }=(r1 ,n)=Dоткудаλ=−(r 1 , n) − D.(n, n)Для радиус-вектора r 2 проекции M2 точки M1 на прямую имеем:−−−→ −−−→ −−−−→(r 1 , n) − Dn.r 2 = OM2 = OM1 + M1 M2 = r 1 + λn = r 1 −(n, n)4Расстояние от точки M1 до прямой l:−−−−→ (r 1 , n) − D d(M1 , l) = d(M1 , M2 ) = M1 M2 = n=(n, n)|(r 1 , n) − D||(r 1 , n) − D|knk =.(n, n)knkДля радиус-вектора r 3 точки M3 , симметричной точке M1 относительно прямой, имеем:−−−→ −−−→ −−−−→ −−−→−−−−→r 3 = OM3 = OM1 + M1 M3 = OM1 + 2M1 M2 === r 1 + 2λn = r 1 − 22.

ПЛОСКОСТЬ(r 1 , n) − Dn.(n, n)◮В ПРОСТРАНСТВЕСначала получим различные виды уравнения плоскости в произвольной косоугольнойсистеме координат.2.1. Уравнения плоскостей.Рассмотрим плоскость π в пространстве, проходящую через точку M0 (r 0 ) и параллельную двум векторам a и b, называемым направляющими векторами. Если M (r) —−−−→произвольная точка плоскости π, то вектор M0 M = r − r 0 компланарен векторам a, b, такчтоr = r 0 + αa + βb,α, β ∈ R.Это — векторное параметрическое уравнение плоскости.M0baMr0rOВ координатах это уравнение принимает вид системыx = x0 + αa1 + βb1 ,y = y0 + αa2 + βb2 , z = z + αa + βb ,033где r = (x, y, z), r 0 = (x0 , y0 , z0 ), a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ).Факт компланарности векторов r − r 0 , a, b может быть выражен условием равенстванулю определителя, составленного из координат этих векторов:x − x y − y z − z 000a2a3 = 0.

a1 b1b2b3 Обратите внимание, что здесь мы (пока!) не говорим о смешанном произведении векторов!5Раскрывая определитель по элементам первой строки и вводя сокращенные обозначениядля коэффициентов получающегося уравнения, получим общее уравнение плоскости:Ax + By + Cz = D.2.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.Запишем уравнение плоскости, проходящей через точкиM1 (r 1 ) = M1 (x1 , y1 , z1 ),M2 (r 2 ),M3 (r 3 ).−−−→ −−−−→Если M (r) = M (x, y, z) — произвольная точка плоскости, то векторы M1 M , M1 M2 ,−−−−→M1 M3 компланарны, так чтоx−xy − y1 z − z1 1x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0.x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 M3M1MM2r0rO2.3.

Уравнение плоскости, проходящей через две точки параллельно заданному вектору.Запишем уравнение плоскости, проходящей через точки M1 (r 1 ), M2 (r 2 ) параллельновектору l = (l, m, n). Если M (r) = M (x, y, z) — произвольная точка плоскости, то векторы−−−→ −−−−→M1 M , M1 M2 , l компланарны, так чтоx−xy − y1 z − z1 1x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0. lmn 2.4. Нормальное уравнение плоскости.Рассмотрим плоскость, проходящую через опорную точку M0 (r 0 ) перпендикулярно век−−−→тору n. Для произвольной точки M (r) этой плоскости вектор M0 M ортогонален векторуn, так что(r − r 0 , n) = 0 ⇐⇒ (r, n) = D,где D = (r 0 , n).

Вектор n называется нормальным вектором плоскости.M0Mr0rOn62.5. Основные формулы.Теорема.Даны точка M1 (r 1 ) и плоскость π, заданная уравнением (r, n) = D.(1) Ортогональная проекция M2 (r 2 ) точки M1 (r 1 ) на плоскость π выражается формулой(r 1 , n) − Dr2 = r1 −n.(n, n)(2) Расстояние от точки M1 (r 1 ) до плоскости π выражается формулойd(M1 , π) =|(r 1 , n) − D|.knkВ координатной форме расстояние от точки M1 (x1 , y1 , z1 ) до плоскостиπ : Ax + By + Cz = D выражается формулойd(M1 , π) =|Ax1 + By1 + Cz1 − D|√.A2 + B 2 + C 2(3) Точка M3 (r 3 ), симметричная точке M1 (r 1 ) относительно плоскости π, выражается формулой(r 1 , n) − Dr3 = r1 − 2n.(n, n)nM3r3M2r2M1r1O3.

ПРЯМАЯВ ПРОСТРАНСТВЕКак и прямая на плоскости, прямая в пространстве может быть задана векторнымпараметрическим уравнениемr = r 0 + ta,где r 0 — радиус-вектор опорной точки, a — направляющий вектор прямой.В косоугольной системе координат Oe1 e2 e3 векторное параметрическое уравнение превращается в систему параметрических уравненийx = x0 + tl,y = y0 + tm, z = z + tn,07где r 0 = (x0 , y0 , z0 ) и a = (l, m, n).Исключая параметр t из параметрических уравнений, получим каноническое уравнениепрямойx − x0y − y0z − z0==.lmnОтметим, что это соотношение представляет собой не одно, а несколько (пару) уравнений.Нули в знаменателях допустимы; в соответствующем случае считаем, что в числителетакже стоит нуль.Прямая может быть задана как пересечение двух непараллельных плоскостей, заданных, например, общими уравнениями:(A1 x + B1 y + C1 z = D1 ,A2 x + B2 y + C2 z = D2 .Понятие векторного произведения позволяет записать еще один тип уравненя прямой впространстве.Умножая векторное параметрическое уравнение прямойr = r 0 + taвекторно на вектор a, получаем[r, a] = [r 0 , a] + t [a, a] .| {z }=0Обозначим b = [r 0 , a]; отметим, что b⊥a.

Характеристики

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6381
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее