А.В. Овчинников - Курс лекций по аналитической геометрии (1114603)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Овчинников Алексей ВитальевичКУРС ЛЕКЦИЙПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИhttp://matematika.phys.msu.ru/2Лекция 1Системы координатПредставление линий и поверхностей1. ОБУЧЕБНОМ ПЛАНЕЛекции36 ч.Семинары18 ч.Самостоятельная работа 36 ч.Всего90 ч.2. О(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)СОДЕРЖАНИИ КУРСАЭлементарные представления о координатном методе.Векторная алгебра.Определители второго и третьего порядков.Прямые и плоскости.Кривые второго порядка.Поверхности второго порядка.Комплексные числа.Алгебра матриц.Теория систем линейных уравнений.Теория линейных пространств.Теория определителей.3. ОБОЗНАЧЕНИЯN — множество натуральных чисел.Z — множество целых чисел.Q — множество рациональных чисел.R — множество вещественных чисел.∀x — квантор всеобщности («для любых x»).∃x — квантор существования («существует такой x, что.

. . »).∃!x — квантор единственности («существует единственный x, такой что. . . »).=⇒ — импликация («следовательно»).⇐⇒ — эквивалентность.n! = 1 · 2 · 3 · . . . (n − 1) · n — факториал натурального числа n.Двойной факториал:(2n + 1)!! = 1 · 3 · 5 · . .

. (2n − 1) · (2n + 1),(2n)!! = 2 · 4 · 3 · . . . (2n − 2) · (2n).Суммы и произведения:nXk=0ak = a1 + a2 + · · · + an =nXi=0ai ,nYk=0ak = a1 · a2 · . . . · a n .34. ОПОСТРОЕНИИ ГЕОМЕТРИИСистема аксиом Евклида—Гильберта.Основные понятия: точка, прямая, плоскость.Отношения между понятиями:(1) инцидентность («точка лежит на прямой», «прямая проходит через точку» и т. п.;8 аксиом);(2) порядок (понятие «лежать между»; 4 аксиомы);(3) конгруэнтность (движение, равенство; 5 аксиом);(4) параллельность (1 аксиома);(5) непрерывность (2 аксиомы).5. СИСТЕМЫКООРДИНАТСистема координат — объект, позволяющий описывать геометрический объект алгебраическими средствами.5.1.

Декартова прямоугольная система координат.O — начало координат, i, j, k — единичные направляющие векторы координатных осей(орты); другое обозначение e1 , e2 , e3 .x — абсцисса, y — ордината, z — аппликата.−→OA — радиус-вектор точки A. Другое обозначение координат x1 , x2 , x3 .yzAAkjOOixiyjxРасстояние между точками M1 (x1 ) и M2 (x2 ) на прямой:pM1 M2 = |x2 − x1 | = (x2 − x1 )2 .Расстояние между точками M1 (x1 , y1 ) и M2 (x2 , y2 ) на плоскости:pM1 M2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .yM2y2y1OM1x1x2x4В пространственном случае аналогично: для точек M1 (x1 , y1 , z1 ) и M2 (x2 , y2 , z2 )pM1 M2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 .5.2.

Декартова косоугольная система координат.yzAe3Ae2Oe2Oxe1e1yxУглы между векторами e1 , e2 , e3 могут быть не прямыми, длины векторов могут быть6= 1.Пример.Задача о делении отрезка в данном отношении. На плоскости даны точки A(x1 , y1 )и B(x2 , y2 ); координаты точек заданы относительно некоторой (косоугольной) декартовойсистемы координат. Найти координаты точки C(x, y), делящей отрезок AB в отношении|AC| : |BC| = m : n.yBCAxOxx1x2Пользуясь теоремой Фалеса, запишемx − x1m=,x2 − x1m+nоткудаnx1 + mx2x=.m+nАналогично находится ордината (и аппликата в пространственном случае) точки C.5.3. Полярная система координат на плоскости.yrAϕOx5(r, ϕ) — полярные координаты точки A.

Формулы перехода:pr = x2 + y 2 ,( cos ϕ = p xx = r cos ϕ,,2 + y2xy = r sin ϕ,y. sin ϕ = p 2x + y2Диапазоны изменения значений координат:0 6 r < +∞,0 6 ϕ < 2π.Удобно считать, что ϕ определено с точностью до добавления 2πn, n ∈ Z; тогда пишем0 6 ϕ < 2π(mod 2π).5.4. Цилиндрическая система координат в пространстве.zhOryϕx(r, ϕ, h) — цилиндрические координаты точки A. Формулы перехода:px2 + y 2 ,r=xx = r cos ϕ, cos ϕ = px2 + y 2 ,y = r sin ϕ,ysin ϕ = p, z = h,22x+yh = z.65.5. Сферическая система координат в пространстве.zArθOyϕx(r, θ, ϕ) — сферические координаты точки A.

Формулы перехода:x = r cos ϕ sin θ,y = r sin ϕ sin θ, z = r cos θ.Диапазоны изменения значений координат:0 6 r < +∞,0 6 θ 6 π,0 6 ϕ < 2π(mod 2π).Географические координаты — вариант сферических.zArϑOyϕx(r, ϑ, ϕ) — географические координаты точки A.

Формулы перехода:x = r cos ϕ cos ϑ,y = r sin ϕ cos ϑ, z = r sin ϑ.7Диапазоны изменения значений координат:ππ0 6 r < +∞,− 6ϑ6 ,226. УРАВНЕНИЯ−π < ϕ 6 π(mod 2π).ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙУравнение линии на плоскости — уравнение видаF (x, y) = 0,каждое решение (x, y) которого представляет собой координаты некоторой точки линии,причем для каждой точки линии найдется некоторое решение данного уравнения.Уравнение поверхности в пространстве содержит 3 переменные:G(x, y, z) = 0.Вместо прямоугольных декартовых координат можно использовать любые другие.Вместо уравнений можно рассматривать неравенства.Цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси Oz, описывается уравнением видаG(x, y) = 0.Это же уравнение является одновременно уравнением направляющей.zByxAУравнение может описывать геометрический объект, не соответствующий интуитивномупредставлению о линии (поверхности):x − |x| − y + |y| = 0.yOx86.1.

Уравнения прямых на плоскости.Уравнение прямой — линейное уравнение:Ax + By = C.Уравнение можно умножить на любое ненулевое число.1. Уравнение с угловым коэффициентом:y = kx + b.k — угловой коэффициент прямой:k = tg α.yβαxO2. Уравнение прямой «в отрезках»:x y+ = 1.a bybxaO6.2. Окружность. Окружность радиуса R с центром в начале координат:x2 + y 2 = R 2 .Окружность радиуса R с центром в точке C(a, b):(x − a)2 + (y − b)2 = R2 .9RyC(a, b)OxR6.3.

Парабола и гипербола.y = ax2 ,y=a.xyyOxO7. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕxУРАВНЕНИЯ7.1. Параметрические уравнения линий. Линия на плоскости может быть задана какмножество точек, координаты которых вычисляются по формуламx = ϕ(t),y = ψ(t),α 6 t 6 β.Этот способ пригоден и для задания линий в пространстве:x = ϕ(t),y = ψ(t),z = χ(t),α 6 t 6 β.С точки зрения механики параметрические уравнения линии — это закон движенияматериальной точки, параметр t — время.Пример.Параметрические уравнения окружности радиуса R с центром в начале координат:x = R cos t,y = R sin t,0 6 t < 2π(mod 2π).Параметр t представляет собой угол между осью Ox и радиус-вектором точки окружности.10yAtOxПример.Циклоида — это траектория точки обода катящегося по прямой колеса.Радиус колеса R, параметр — угол θ поворота колеса.Параметрические уравнения циклоидыx = a(θ − sin θ),y = a(1 − cos θ).yθOxθПример.Винтовая линия.

Точка совершает два одновременных движения: равномерное вращение с угловой скоростью ω в плоскости Oxy по окружности радиуса R и равномерноепоступательное движение вдоль оси Oz со скоростью c:x = R cos ωt,y = R sin ωt,z = ct.zOyxПример.Коническая винтовая линия.x = t cos t,y = t sin t,z = t.11zOxy7.2. Параметрическое задание поверхностей. Поверхности задаются:(1) уравнениями вида F (x, y, z) = 0;(2) параметрическими уравнениями видаx = ϕ(u, v),y = ψ(u, v),z = χ(u, v),(u, v) ∈ D ⊂ R2 ;параметры u, v — внутренние координаты поверхности;(3) как графики функции двух переменных: z = f (x, y).Пример.Сфера радиуса R с центром в начале координат:x2 + y 2 + z 2 = R 2 .Параметрическое представление:x = R cos u sin v,y = R sin u sin v, z = R cos v,(0 6 u < 2π,0 6 v 6 π.zyxПредставить сферу как график функции невозможно, но это удается сделать отдельнодля нижней и верхней полусфер:pz = ± R 2 − x2 − y 2 .128.

ПЕРЕСЕЧЕНИЯИ ПРОЕКЦИИ8.1. Пересечения поверхностей.Линии (кривые) в пространстве можно задавать как пересечение двух поверхностей:(F (x, y, z) = 0,G(x, y, z) = 0.Пример.Кривая Вивиани — пересечение цилиндра радиуса R и сферы радиуса 2R, центр которойлежит на поверхности цилиндра.zOxyПолучим уравнения кривой Вивиани.Уравнения сферы и цилиндра:x2 + y 2 + z 2 = 4R2 ,(x − R)2 + y 2 = R2 ⇐⇒ x2 + y 2 = 2Rx.Отсюдаz 2 = 4R2 − 2Rx.Положимx = r cos t,y = r sin t.Тогдаx2 + y 2 = 2Rx ⇐⇒ r2 = 2Rr cos t ⇐⇒ r = 2R cos t.Можно записать выражения для x и y:x = r cos t = 2R cos2 t = R(1 + cos 2t),y = r sin t = 2R sin t cos t = R sin 2t.Параметр t изменяется в диапазоне0 6 t 6 π.Теперь можно найти выражение для z:z 2 = 4R2 − 2Rx = 4R2 sin2 t ⇐⇒ z = ±2R sin t.Можно убрать ±, если разрешить параметру t изменяться в диапазоне0 6 t < 2π.13Итак, окончательный результат:x = R(1 + cos 2t),y = R sin 2t, z = 2R sin t,0 6 t < 2π.8.2.

Проекции. Проекцией точки M (x, y, z) на координатную плоскость Oxy являетсяточка N (x, y). Таким образом, проектирование на координатную плоскость — это игнорирование одной из координат.Если линия задана как пересечение двух поверхностей F (x, y, z) = 0 и G(x, y, z) = 0, тоуравнение ее проекции на плоскость Oxy получается исключением z из этих уравнений.Пример.Проекция кривой Вивиани на плоскость Oxy — это кривая с параметрическими уравнениями(x = R(1 + cos 2t),y = R sin 2t.Исключая параметр t, получаем уравнение окружности(x − R)2 + y 2 = R2 .9. РАЗНОВИДНОСТИТЕОРЕМИмпликация — логическая связка, по своему применению приближенная к обороту речи«если...

то...».Импликация записывается какпосылка =⇒ следствие.Теорема — утверждение, устанавливаемое при помощи доказательства. В формулировке теоремы различают условие и заключение; структура теоремы представляет собойсуждение-импликацию.Пусть имеется импликация видаA =⇒ B;здесь A — посылка, B — следствие.Посылка A является условием, достаточным для выполнения следствия B. Если Aистинно, то утверждение B заведомо верно.Следствие B является условием, необходимым для истинности посылки A. Без выполнения B утверждение A не может быть истинным.Для того чтобы число делилось на 2, необходимо, чтобы последняя цифра в его десятичной записи не была 7:число делится на 2 =⇒ последняя цифра не 7|{z}необходимое условие делимости на 2Это условие не является достаточным: число 23 не заканчивается на 7, но на 2 не делится.Необходимые условия содержат «лишние случаи».Теорема, выражающая необходимое условие, называется свойством:Если число делится на 2, то его последняя цифра не 7.14Для того чтобы число делилось на 2, достаточно, чтобы его последняя цифра была 0:последняя цифра 0{z}|=⇒ число делится на 2достаточное условие делимости на 2Это условие не является необходимым: число 14 делится на 2, но его последняя цифране 0.

Достаточные условия содержат «не все случаи».Теорема, выражающая достаточное условие, называется признаком:Признаком (одним из признаков) делимости на 2 является тот фат, что последняяцифра числа — нуль.Достаточные условия стараются сделать возможно более широкими, т.е. охватывающими возможно большее число случаев, в которых интересующий нас факт всё ещё имеетместо, а необходимые условия — возможно более узкими, т.е. охватывающими возможноменьше лишних случаев, в которых изучаемый факт уже не имеет места.Пример утверждения, в которых необходимое условие совпадает с достаточным:Для того чтобы число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра была четная.Теорема, выражающая необходимое и достаточное условие, называется критерием.Рассмотрим теоремуA =⇒ B.Обратная теорема — это утверждениеB =⇒ A;если исходная теорема верна, то обратная теорема может и не быть верной.Теорема, обратная обратной, равносильна исходной.Пример.Исходная теорема:сумма цифр числа делится на 3 =⇒ число делится на 3.Обратная теоремачисло делится на 3 =⇒ сумма цифр числа делится на 3верна.Если для теоремы верна и обратная теорема, то они могут быть объединены в критерий:число делится на 3 ⇐⇒ сумма цифр числа делится на 3Пример.Исходная теорема:в треугольнике один из углов прямой =⇒ два других угла острые.Обратная теоремадва угла в треугольнике острые =⇒ третий угол прямойне верна.Рассмотрим теоремуA =⇒ B.15Противоположная теорема — это утверждение¬A =⇒ ¬B(знак ¬ означает отрицание).Противоположная теорема равносильна обратной.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций