А.В. Овчинников - Курс лекций по аналитической геометрии (1114603), страница 11
Текст из файла (страница 11)
прямая целиком лежит на параболоиде,тогда и только тогда, когдаX0 L − Y0 M = N,L2 − M 2 = 0.Поскольку направляющий вектор прямой определен лишь с точностью до ненулевого множителя, положим L = 1; тогда M = ε, где ε = ±1, N = X0 − εY0 . Итак, через точку(X0 , Y0 , Z0 ) параболоида проходят ровно две прямыхX = X0 + t,ε = ±1.Y = Y0 + εt, Z = Z + (X − εY )t,000Выясним взаимное расположение двух одноименных прямолинейных образующих, проходящих через две различные точки (X1 , Y1 , Z1 ), (X2 , Y2 , Z2 ) параболоида; для этого рассмотрим определитель X2 − X1Y−YZ−Z212111X1 − Y1 =11X2 − Y2 = X22 − 2Y2 X2 − 2X2 X1 + 2Y1 X2 + 2Y2 X1 + X12 − 2Y1 X1 + Y22 − 2Y1 Y2 + Y12 == (X2 − Y2 − X1 + Y1 )2 6= 0;таким образом, эти образующие скрещиваются.Выясним взаимное расположение двух разноименных прямолинейных образующих,проходящих через две различные точки (X1 , Y1 , Z1 ), (X2 , Y2 , Z2 ) параболоида; для этогорассмотрим определитель X2 − X1Y2 − Y1Z2 − Z1 11X1 − Y1 = X22 − Y22 − 2Z2 − X12 − Y12 − 2Z1 = 0;1−1X2 + Y2 таким образом, эти образующие лежат в одной плоскости.
Поскольку при этом направляющие векторы (1, 1, X1 − Y1 ) и (1, −1, X2 + Y2 ) этих образующих неколлинеарны, рассматриваемые образующие пересекаются.Наконец, направляющие векторы всех образующих одного семейства имеют вид(1, ε, X0 − εY0 ) параллельны плоскости X − εY = 0.13Доказана следующая теорема.Теорема.Прямолинейные образующие гиперболического параболоида обладают следующимисвойствами:1. Через каждую точку гиперболоида проходит одна и только одна образующаякаждого семейства.2. Любые две образующие, принадлежащие к одному семейству, скрещиваются.3.
Любые две образующие, принадлежащие к разным семействам, пересекаются.4. Все образующие одного семейства параллельны одной плоскости.Имеется другой метод нахождения уравнений прямолинейных образующих гиперболического параболоида. Запишем уравнение параболоида (7) в видеx y x y = 2z.(7)−+a ba bПусть точка (x0 , y0 , z0 ) лежит на параболоиде. Рассмотрим две системы однородных линейных уравнений относительно неизвестных (α, β) и (γ, δ): xxy y α 0 − 0 = β, γ 0 + 0 = δ,bb xa xayy0000βδ= 2αz0 ,= 2γz0 .+−ababОпределители этих систем равны нулю (проверьте!). поэтому каждая из систем нетривиально разрешима; пусть (α0 , β0 ) и (γ0 , δ0 ) — их решения.
Рассмотрим теперь системы x yx y α0= β0 ,= δ0 ,−+γ0 xa yb xa yb β0 δ0+−= 2αz,= 2γ0 z;a ba bкаждая из них определяет прямую, проходящую через точку (x0 , y0 , z0 ) параболоида. Перемножая уравнения каждой из систем, обнаруживаем, что любое решение системы является также и решением уравнения (7), т.е. прямая целиком лежит на параболоиде.3. ЗАДАЧИДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯЗадача 1. Семейство поверхностей задано в прямоугольной системе координат уравнением, содержащим параметр λ.
Определите тип поверхности при всевозможных значенияхλ.(а) λx2 + y 2 + z 2 = 1;(в) x2 + y 2 − z 2 = λ;(д) x2 + λ(y 2 + z 2 ) = λ;(б) λx2 + y 2 + z 2 = λ;(г) x2 + λ(y 2 + z 2 ) = 1;(е) λx2 + y 2 = z;14(ж) λ(x2 + y 2 ) = z;(з) x2 + y 2 = λ;(и) x2 − y 2 = λ;Ответ. (а) при λ > 0 эллипсоид, при λ = 0 эллиптический цилиндр, при λ < 0 однополостный гиперболоид;(б) при λ > 0 эллипсоид, при λ = 0 пара мнимых пересекающихся плоскостей (прямая),при λ < 0 двуполостный гиперболоид;(в) при λ > 0 однополостный гиперболоид, при λ = 0 конус, при λ < 0 двуполостныйгиперболоид;(г) при λ > 0 эллипсоид, при λ = 0 пара параллельных плоскостей, при λ < 0 двуполостный гиперболоид;(д) при λ > 0 эллипсоид, при λ = 0 пара совпадающих плоскостей, при λ < 0 однополостный гиперболоид;(е) при λ > 0 эллиптический параболоид, при λ = 0 параболический цилиндр, при λ < 0гиперболический параболоид;(ж) при λ 6= 0 эллиптический параболоид, при λ = 0 плоскость (уравнение первой степени!);(з) при λ > 0 эллиптический цилиндр, при λ = 0 пара мнимых пересекающихся плоскостей (прямая), при λ < 0 мнимый эллиптический цилиндр (пустое множество);(и) при λ 6= 0 гиперболический цилиндр, при λ = 0 пара пересекающихся плоскостей.x2 y 2 z 2Задача 2.
Докажите, что сечение конуса 2 + 2 − 2 = 0 плоскостью az − cx = h, h 6= 0,abcявляется параболой.Задача 3. Сечения поверхности x2 + 2y 2 − 3z 2 − 1 = 0 плоскостями x = 0, x = 1, x = 2спроектированы на плоскость Oyz. Как называется поверхность? Изобразите поверхностьи указанные проекции.Задача 4. Сечения поверхности x2 + 2y 2 − 3z 2 = 0 плоскостями x = 0, x = 1, x = 2спроектированы на плоскость Oyz. Как называется поверхность? Изобразите поверхностьи указанные проекции.Задача 5.
Сечения поверхности 2x2 − y 2 = 2z плоскостями x = 0, x = 1, x = 2 спроектированы на плоскость Oyz. Как называется поверхность? Изобразите поверхность иуказанные проекции.Задача 6. Сечения поверхности 2x2 − y 2 = 2z плоскостями y = 0, y = 1, y = 2 спроектированы на плоскость Oxz. Как называется поверхность? Изобразите поверхность иуказанные проекции.15Задача 7. Сечения поверхности 2x2 − y 2 = 2z плоскостями z = −1, z = 0, z = 1 спроектированы на плоскость Oxy.
Как называется поверхность? Изобразите поверхность иуказанные проекции.Задача 8. Найдите уравнения проекций линии пересечения поверхностей 3x2 +4y 2 +5z 2 = 36и x2 + y 2 + z 2 = 9 на координатные плоскости. Что представляет собой эта линия?√Ответ. x2 − z 2 = 0 (|x| 6 3/ 2); y 2 + 2z 2 = 9; 2x2 + y 2 = 9. Сечение представляет собойпару окружностей, лежащих в плоскостях x = ±z.Задача 9. Найдите уравнения проекций линии пересечения поверхностей x2 +2y 2 +3z 2 = 4и 3x2 + 5y 2 + 62 = 10 на координатные плоскости. Что представляет собой эта линия?√Ответ. x2 + y 2 = 2; y 2 + 3z 2 = 2; 3z 2 − x2 = 0 (|x| 6 2). Сечение представляет собой√пару эллипсов, лежащих в плоскостях x = ± 3z.Задача 10. Найдите уравнения проекций линии пересечения поверхностей x2 + y 2 − z 2 = 1и x2 − y 2 = 2z на координатные плоскости.
Что представляет собой эта линия? Найдитеее параметрические уравнения.√√√Ответ. x ± y ± 2 = 0; z ± x 2 + 1 = 0; z ± y 2 − 1 = 0. Сечение состоит из четырех√√√√прямых x = t, y = ±(t + 2), z = −1 − t 2 и x = t, y = ±(t − 2), z = −1 + t 2.Задача 11. Изобразите поверхность x2 − y 2 = 1 и найдите уравнение семейства ее прямолинейных образующих.Ответ. α(x − y) = β, β(x + y) = α (α2 + β 2 6= 0).Задача 12. Изобразите поверхность x2 + y 2 − z 2 = 0 и найдите уравнение семейства еепрямолинейных образующих.Ответ. α(z − y) = βx, β(z + y) = αx (α2 + β 2 6= 0).Задача 13. Найдите прямолинейные образующие поверхности 4x2 − y 2 = 16z, пересекающиеся в точке M (2, 0, 1).Ответ. x = t, y = 2t − 4, z = t − 1; x = t, y = 4 − 2t, z = t − 1.Задача 14.
Найдите уравнение плоскости, проходящей через точки M (1, 1, 1) и N (2, 0, 2)и пересекающей гиперболический параболоид x2 − y 2 = 2z по паре прямых.Ответ. 3x + y − 2z − 2 = 0.Задача 15. Найдите уравнение плоскости, пересекающей однополостный гиперболоидx2 + 4y 2 − 9z 2 = 36 по паре прямых, проходящих через точку M (6, −3, 2).Ответ. x − 2y − 3z − 6 = 0.16Задача 16. Даны гиперболический параболоид x2 − y 2 = 2z и плоскость x + y + z = 1.Найдите уравнение плоскости, параллельной данной и пересекающей параболоид по парепрямых. Найдите уравнения прямых и угол между ними.Ответ.
Плоскость x + y + z = 0; прямые x = t − 2, y = t, z = 2 − 2t и x = t, y = −t, z = 0.Угол π/2.Задача 17. Две прямолинейные образующие однополостного гиперболоида вращенияx2 + y 2 − z 2 = 1 пересекаются в точке, принадлежащей плоскости z = h. Найдите уголмежду ними.Ответ. arccosh2.h2 + 1Задача 18. Найдите множество точек поверхности, в которых пересекаются ее взаимно ортогональные прямолинейные образующие: (а) x2 + y 2 − z 2 = 1; (б) x2 − y 2 = 2z;(в) x2 − 4y 2 = 2z.Ответ.
(а) окружность x2 + y 2 = 1, z = 0; (б) пара прямых y ± x = 0, z = 0; (в) гипербола4x2 − 16y 2 + 3 = 0, z = −3/8.17Лекция 7Комплексные числаМногочлены1. ЭЛЕМЕНТЫКОМБИНАТОРИКИКомбинаторика изучает конечные множества и связанные с ними операции.Пусть N — конечное множество, состоящее из n элементов; число n называется мощностью множества N , card N = n.x ∈ N — x является элементом множества N .x∈/ N — x не является элементом множества N .N ⊂ M — множество N является подмножеством множества M , т.е.∀x ∈ N =⇒ x ∈ M.∅ — пустое множество; card ∅ = 0.Основные операции над множествами:(1)(2)(3)(4)объединение N ∪ M = {x : x ∈ N или x ∈ M },пересечение N ∩ M = {x : x ∈ N и x ∈ M },разность N \ M = {x : x ∈ N и x 6∈ M },декартово произведение N × M = {(x, y) : x ∈ N, x ∈ M }.1.1. Принцип произведения.card(N × M ) = (card N ) · (card M ).Пример.Найдем количество различных трехзначных чисел, не содержащих одинаковых цифр:|A{z9 способов} |B{z9 способов} |9 · 9 · 8 = 648.1C{z8 способов}21.2.
Принцип суммы. Если N и M — непересекающиеся конечные множества,N ∩ M = ∅, тоcard(N ∪ M ) = card N + card M.В случае непустого пересеченияcard(N ∪ M ) = card N + card M − card(N ∩ M ).Пример.Найдем количество различных трехзначных чисел, содержащих хотя бы две одинаковыецифры.Всего имеется 900 трехзначных чисел. Каждое из них либо имеет одинаковые цифры,либо нет. Поэтому чисел, содержащих одинаковые цифры, имеется900 − 648 = 252.1.3. Упорядоченная выборка без повторений: размещения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
