А.В. Овчинников - Курс лекций по аналитической геометрии (1114603), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Далее, есливсе столбцы Ai , Aj , Ak различны, тоdet[Ai , Aj , Ak ] = ± det A,где знак «+» или «−» зависит от того, четным или нечетным числом перестановок столбцов получен det[Ai , Aj , Ak ] из det[A1 , A2 , A3 ] = det A.8Поэтому, продолжая выкладку, получаем³´det(AB) = det A · b11 b22 b33 + b21 b32 b13 + b31 b12 b23 − b11 b32 b23 − b21 b12 b33 − b31 b22 b13 = det A · det B.1.7. Обратная матрица. Понятие обратной матрицы определено только для квадратныхматриц.Дана матрица A ∈ Kn×n . Матрица A−1 ∈ Kn×n называется обратной к матрице A, еслиA−1 A = AA−1 = I.Матрица A в этом случае называется обратимой.Уже на примере матрицы 1 × 1 ясно, что обратная матрица существует не для любойматрицы: матрица (0) необратима.Теорема.

Если для матрицы A существует обратная A−1 , то она единственна.J Предположим, что матрица A имеет две различные обратные матрицы B и C , т.е.AB = BA = I,AC = CA = I.Имеем:B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C,т.е. B = C .IТеорема. Матрица A обратима тогда и только тогда, когда det A 6= 0, что эквивалентно условию линейной независимости столбцов (строк) матрицы A.Замечание. Сейчас нас интересует вопрос о существовании обратных матриц для матриц порядка 2 и 3. Всюду далее в доказательстве считаем, что n = 3. На самом делетеорема вместе с доказательством справедлива для матрицы A любого порядка.J 1.

Предположим, что существует A−1 . ИмеемA−1 A = I=⇒=⇒det(A−1 A) = det Idet A−1 · det A = 1=⇒=⇒det A 6= 0.2. Пусть det A 6= 0. Рассмотрим матрицу, составленную из алгебраических дополненийэлементов матрицы A:A11 A12 . . . A1n 2 A1 A22 . . . A2n k nB= ... .. . . = (Aj )n ;...

. .An1 An2 . . . Annона называется присоединенной к матрице A. Вычислим произведение C = A · B T :ndet A 6= 0, i = j,Xcij =aik Ajk =0,i 6= j.k=1Таким образом, матрица1BTdet Aявляется обратной для A. Эта формула позволяет вычислить обратную матрицу A −1 .I9Пример. ПустьA=Ãa bc d!.Алгебраические дополнения элементовАД(a) = d,АД(b) = −c,АД(d) = a,d −c−b a!,11=BT =det Aad − bcÃd −b−c aприсоединенная матрицаB=ÃАД(c) = −b,так что обратная матрица равнаA−12.

С ИСТЕМЫ!.ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙРассмотрим систему, состоящую из m линейных уравнений с n неизвестными:a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 , a2 x 1 + a 2 x 2 + · · · + a 2 x n = b 2 ,12n................................................ m 1m2m na1 x + a m2 x + · · · + an x = b .Сокращенно — СЛУ.Введем основную и расширенную матрицы системы:a11 a12 . . . a1n 2 a1 a22 . . .

a2n A= ... . ...  = [A1 , A2 , . . . , An ] ,....  .Ae = a11a21...am1amam. . . am12na12 . . . a1n b1a22 . . . a2n b2 .. .. . .. = [A, B] ,. ... .. . . amambmn2Систему можно записать в матричном видеX=x1x2...xn.AX = B,а также в видеA1 x1 + A2 x2 + · · · + An xn = B.Набор чисел x1 , x2 , . .

. , xn (столбец X = (x1 , x2 , . . . , xn )T ) называется решением СЛУ, если при подстановке этих чисел в каждое из уравнений системы получаем верное числовоеравенство (при подстановке столбца в матричное уравнение получаем верное матричноеравенство).СЛУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной,если она не имеет решений.10Две совместные СЛУ называются эквивалентными, если множества их решений совпадают. Ясно, что эквивалентные СЛУ содержат одинаковое число неизвестных; число жеуравнений в них может быть различным.Следующие преобразования СЛУ переводят ее в эквивалентную СЛУ:(1) перестановка двух уравнений местами;(2) умножение любого уравнения СЛУ на число α 6= 0;(3) прибавление к любому уравнению СЛУ другого уравнения, умноженного на произвольное число.Эти преобразования СЛУ называются элементарными (ЭП).Иногда к элементарным преобразованиям причисляют(4) удаление из СЛУ уравнения вида0 · x1 + 0 · x2 + · · · + 0 · xn = 0.2.1.

Однородные системы. СЛУ называется однородной (ОСЛУ), если столбец правыхчастей нулевой:a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0, a2 x1 + a2 x2 + · · · + a1 xn = 0,n21................................................... m 12m na1 x + a m2 x + · · · + an x = 0.ОСЛУ всегда совместна: числа x1 = x2 = · · · = xn = 0 образуют ее решение, называемоетривиальным. Может ли ОСЛУ иметь нетривиальное решение?Теорема.

ОСЛУ имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда столбцы ее основной матрицы ЛЗ.J 1. Пусть ОСЛУ имеет нетривиальное решение x1 , . . . , xn ; это означает, чтоA1 x1 + A2 x2 + · · · + An xn = O,где хотя бы один коэффициент xk 6= 0; это и означает ЛЗ столбцов A1 , A2 , .

. . , An .2. Пусть столбцы основной матрицы ОСЛУ ЛЗ, т.е.A1 x1 + A2 x2 + · · · + An xn = O,где хотя бы один из коэффициентов xk 6= 0. Этот набор коэффициентов и образует нетривиальное решение ОСЛУ. IТеорема. Если X1 , X2 — два решения ОСЛУ AX = 0, то любая их ЛК такжеявляется решением этой ОСЛУ.J Пусть c1 , c2 — произвольные числа. Имеем:AX1 = O,AX2 = O=⇒c1 AX1 + c2 AX2 = A(c1 X1 + c2 X2 ) = 0,т.е. ЛК c1 X1 + c2 X2 является решением ОСЛУ. IФундаментальная совокупность решений (ФСР) ОСЛУ — это такой упорядоченныйнабор линейно независимых решений X1 , X2 , . . . , Xs , что любое решение ОСЛУ можнопредставить в виде их линейной комбинации:X = c 1 X1 + c 2 X2 + · · · + c s Xs ,где c1 , c2 , . .

. , cs — произвольные числа.11Матрица Φ, столбцами которой являются столбцы ФСР, называется фундаментальнойматрицей (ФМ) ОСЛУ:Φ = [X1 , X2 , . . . , Xs ].Общее решение ОСЛУ выражается через ФМ по формуле c1 2c X = Φ ..  ..cs2.2. Неоднородные системы. Система AX = B называется неоднородной (НСЛУ), еслиB 6= O. Часто НСЛУ AX = B рассматривают вместе с ОСЛУ AX = O.Теорема. Если X1 , X2 — решения НСЛУ AX = B , то X1 − X2 — решение ОСЛУAX = O.J Пусть AX1 = B , AX2 = B . ТогдаA(X1 − X2 ) = AX1 − AX2 = B − B = O.IТаким образом, любое решение НСЛУ можно представить в виде суммы некоторогочастного решения НСЛУ и какого-либо решения ОСЛУ:ОРНС = ЧРНС + ОРОС.2.3.

Системы упрощенного вида. Неизвестная xk называется базисной, если она входиттолько в одно уравнение системы.Система называется системой упрощенного вида, если в каждом уравнении имеетсябазисная неизвестная. В этом случае в каждом уравнении имеется неизвестная, входящаятолько в это уравнение, а число базисных неизвестных равно числу уравнений в системе.Пример. Рассмотрим ОСЛУ упрощенного вида:1+ 3x3+ x5 = 0, xx2 + 4x3+ 2x5 = 0,x4 + 2x5 = 0.Базисные неизвестные выделены.Запишем эту систему в виде 1x = −3x3 − x5 ,x2 = −4x3 − 2x5 , x4 = −x5 .Если вместо x3 и x5 подставлять произвольные числа и вычислять x1 , x2 , x4 по указанным формулам, то полученный набор чисел x1 , x2 , x3 , x4 , x5 будет представлять собойнекоторое решение ОСЛУ.

Таким образом, полученные формулы доставляют нам описание всех решений исходной ОСЛУ.Неизвестные, не являющиеся базисными, называются свободными; в общем решениисистемы они могут принимать произвольные значения.12Положив x3 = c1 , x5 = c2 , решение можно записать в видеXx1x2x3x4x5   =  zz }|1 {−3c1 − c2−3 −4 −4c1 − 2c2  211c = c  1  +c 2 0 −c0c2|{zX2}|−1−20−11ОРОС{.}Каждый из столбцов X1 , X2 , образующих ФСР ОСЛУ, можно получить, придавая однойиз свободных неизвестных значение 1, а остальным — значение 0.

ФСР, полученная такимобразом, называется нормальной ФСР (НФСР). Фундаментальная матрица, составленнаяиз столбцов НФСР, называется нормальной фундаментальной матрицей (НФМ).Пример. Рассмотрим НСЛУ упрощенного вида:1+ 3x3+ x5 = 1, xx2 + 4x3+ 2x5 = 2,x4 + 2x5 = 3.Базисные неизвестные выделены.Запишем эту систему в виде 1x = 1 − 3x3 − x5 ,x2 = 2 − 4x3 − 2x5 , x4 = 3 − x 5 .Если вместо x3 и x5 подставлять произвольные числа и вычислять x1 , x2 , x4 по указанным формулам, то полученный набор чисел x1 , x2 , x3 , x4 , x5 будет представлять собойнекоторое решение системы. Таким образом, полученные формулы доставляют нам описание всех решений исходной системы.Положив x3 = c1 , x5 = c2 , решение можно записать в видеX1x x2    3  x= 4   x  x5z }|1 {z12−31 − 3c − c112 2 − 4c − 2c   2  −4  2   1+c+c=1c10    203−c30c20{z| {z } |ЧРНСОРОСX2}|−1−20−11{.}Здесь ЧРНС отвечает нулевым значениям свободных переменных (такое ЧРНС называется базисным), а столбцы X1 , X2 представляют собой НФСР ОСЛУ.Итак, если СЛУ имеет упрощенный вид, то ее общее решение немедленно выписывается.

Чтобы решить СЛУ произвольного вида, нужно с помощью элементарных преобразований привести ее к упрощенному виду.Теорема. Если в ОСЛУ число неизвестных больше числа уравнений, то она имеетнетривиальное решение.J Если число неизвестных больше числа уравнений, то найдется свободная неизвестная, которая может принимать любые значения. I132.4. Алгоритм Гаусса. Вместо преобразований СЛУ удобно выполнять преобразованиярасширенной матрицы этой СЛУ; при этом ЭП СЛУ соответствуют ЭП строк расширенной матрицы:(1)(2)(3)(4)перестановка двух строк местами;умножение любой строки на число α 6= 0;прибавление к любой строке другой строки, умноженной на произвольное число;[удаление из матрицы нулевых строк.]Говорят, что матрица имеет упрощенный вид, если она является расширенной матрицейСЛУ упрощенного вида.

Матрица упрощенного вида имеет следующую структуру:(1) некоторые ее столбцы являются последовательными столбцами единичной матрицы; эти столбцы отвечают базисным неизвестным СЛУ и также называютсябазисными;(2) каждый из остальных столбцов является ЛК предыдущих базисных столбцов.1000... 0 00∗000...0100...∗∗00...0010...∗∗∗0..................0000...000000000000000.........100∗∗∗∗...∗ 0 0Опишем один шаг алгоритма Гаусса, который позволяет произвольную матрицуA ∈ Km×n привести к упрощенному виду.ШАГ № k .(1) Среди строк с номерами k, .

Характеристики

Список файлов лекций