А.В. Овчинников - Курс лекций по аналитической геометрии (1114603), страница 18
Текст из файла (страница 18)
. , xp ∈ V называются линейно независимыми (ЛН), если из равенства ихЛК нулевому вектору следует, что эта ЛК тривиальна.Пример.2Рассмотрим ЛП R (R). 10и y1 =ЛН. Действительно,Векторы y 1 =01 α1121 12 0α y1 + α y2 = α+α=.01α2Последний столбец может быть нулевым тогда и только тогда, когда α1 = α2 = 0.1.6. Линейная оболочка. Пусть V (K) — ЛП, x1 , . . . , xp ∈ V .Линейная оболочка (ЛО) векторов x1 , . . . , xp ∈ V — это множество всех ЛК этих векторов, т.е. множествоL(x1 , . . . , xp ) = αk xk αk ∈ K, k = 1, . .
. , p .Теорема.(1) Если среди векторов x1 , . . . , xp имеется нулевой вектор, то эти векторы ЛЗ.(2) Если система векторов x1 , . . . , xq , xq+1 , . . . , xp содержит ЛЗ подсистему x1 ,. . . , xq , то вся система ЛЗ.(3) Если векторы x1 , . . . , xp ЛЗ, то среди них имеется вектор, являющийся ЛКостальных векторов.(4) Если x ∈ L(x1 , . . . , xp ), тоL(x, x1 , . . . , xp ) = L(x1 , .
. . , xp ). Пункты (1)–(3) докажите самостоятельно (см. аналогичную теорему для столбцов).(4) ОбозначимL1 = L(x1 , . . . , xp ), L2 = L(x, x1 , . . . , xp ).Требуется доказать, что L1 = L2 , т.е. чтоL 1 ⊆ L2и L 2 ⊆ L1 .4Первое вложение очевидно:1py ∈ L1 ⇒ y = α x1 + · · · + α xp = 0 · x +pα k x k ⇒ y ∈ L2 .k=1Докажем второе вложение. Имеем:x ∈ L1 ⇒ x = β 1 x1 + · · · + β p xp ,y ∈ L2 ⇒ y = αx + α1 x1 + · · · + αp xp == α(β 1 x1 + · · · + β p xp ) + α1 x1 + · · · + αp xp == (αβ 1 + α1 )x1 + · · · + (αβ p + αp )xp⇒y ∈ L1 .1.7.
Размерность и базис ЛП.Размерность ЛП V (K) — это целое неотрицательное число n, обладающее следующимисвойствами:(1) в V ∃n ЛН векторов;(2) любые n + 1 векторов ЛЗ.Обозначение: n = dim V ; пространство V называется n-мерным.Если в ЛП V имеется как угодно много ЛН векторов, то V называется бесконечномерным, dim V = ∞.Базис ЛП V (K) — это упорядоченный набор векторов e1 , . . . , en , обладающий следующими свойствами:(1) векторы e1 , . . . , en ЛН;(2) ∀x ∈ V ∃x1 , .
. . , xn ∈ K такие, чтоx = x1 e1 + · · · + xn en =nx k ek .(1)k=1Числа x1 , . . . , xn называются координатами (компонентами) вектора x относительно базиса e1 , . . . , en , а формула (1) — разложением вектора x по базису e1 , . . . , en .Правило суммирования Эйнштейна: Если в некотором одночлене индекс появляетсяровно два раза, один раз вверху и один раз внизу, то считается, что по этому индексупроизводится суммирование; пределы изменения индекса либо указываются, либо ясныиз контекста.
Пример: запись xk ek (k = 1, . . . , n) эквивалентна сумме (1).Посколькуppkx ek =x l el ,k=1l=1имеемxk ek ≡ xl el ,k = 1, . . . , p;l = 1, . . . , p.Суммирование с символом Кронекера.Символ Кронекера — это обозначение элементов единичной матрицы:⎧⎨1, если j = k,δkj =⎩0, если j = k.5Часто встречаются суммы вида aj δkj , bk δkj и т. п. В развернутом виде первая из этихсумм имеет видa1 δk1 + a2 δk2 + · · · + ak δkk + · · · + an δkn .Из n слагаемых в этой сумме отлично от нуля лишь одно, а именно k -е, поэтому всясумма равна ak . Таким образом,aj δkj = ak .Теорема.Разложение по базису единственно, т.е.
∀x ∈ V его координаты x1 , . . . , xn определены однозначно.Условимся записывать координаты x1 , . . . , xn вектора x относительно базиса e1 , . . . , enв виде столбца:⎛ 1⎞x⎜ .. ⎟Xe = ⎝ . ⎠ ↔ x в базисе e1 , . . . , en .xnТеорема.Пусть в базисе e1 , . . . , en линейного пространства V (K) имеем⎛ 1⎞⎛ 1⎞xy⎜ .. ⎟⎜ .. ⎟x ↔ ⎝ . ⎠, y ↔ ⎝ . ⎠.xnТогда⎛⎞x1 + y 1⎜⎟x + y ↔ ⎝ ... ⎠ ,xn + y nyn⎛⎞αx1⎜⎟αx ↔ ⎝ ... ⎠∀α ∈ K.αxnТеорема.ЛП V (K) является n-мерным тогда и только тогда, когда оно имеет базис, состоящий из n векторов.
1. Пусть dim V = n. Тогда ∃x1 , . . . , xn — ЛН, но ∀x ∈ V векторы x, x1 , . . . , xn — ЛЗ,т.е. ∃α, α1 , . . . , αn , не все равные нулю, такие, чтоαx + α1 x1 + · · · + αn xn = 0.Ясно, что α = 0; в противном случае получили быα1 x1 + · · · + αn xn = 0,что возможно лишь при α1 = · · · = αn = 0 (при этом α = 0), противоречие. Таким образом,α1αnx = − x1 − · · · − xn ,ααт.е. упорядоченный набор x1 , . . . , xn является базисом в V .2. Пусть e1 , .
. . , en — базис в V . Докажем, что любые n + 1 векторов x1 , . . . , xn+1 в VЛЗ. Разложим каждый из этих векторов по базису:x1 = x11 e1 + x21 e2 + · · · + xn1 en ,...xn+1 = x1n+1 e1 + x2n+1 e2 + · · · + xnn+1 en .6Составим матрицу, столбцами которой⎛x11⎜ 2⎜ x1X=⎜⎜ ..⎝.xn1являются столбцы координат этих векторов:⎞x12 . . .
x1n+1⎟x22 . . . x2n+1 ⎟.. . ... ⎟⎟,... ⎠xn2 . . . xnn+1и рассмотрим ОСЛУ с этой матрицей в качестве основной матрицы. Поскольку числонеизвестных в рассматриваемой ОСЛУ больше числа неизвестных, то она имеет нетривиальное решение, т.е. столбцы матрицы X линейно зависимы. 1.8. Примеры.1. dim K(K) = 1; базис состоит из одного элемента, в качестве которого можно взятьлюбое ненулевое число из K. Число 1 образует так называемый стандартный базис.2. dim R(Q) = ∞.Задача. Объясните почему.3. dim C(R) = 2; базис состоит из двух элементов, в качестве которых можно взять двалюбых ненулевых комплексных числа, сумма которых не равна нулю. Стандартный базисобразуют числа 1, i.Задача. Докажите.4.
dim Kn (K) = n. Стандартный базис образуют столбцы⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞100⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜0⎟⎜1⎟⎜0⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟e1 = ⎜⎜ .. ⎟ , e2 = ⎜ .. ⎟ , . . . , en = ⎜ .. ⎟ .⎝.⎠⎝.⎠⎝.⎠0015. dim Cn (R) = 2n. Стандартный базис состоит из столбцов⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞100⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜0⎟⎜1⎟⎜0⎟⎟ , e2 = ⎜ . ⎟ , .
. . , e n = ⎜ . ⎟ ,e1 = ⎜.⎜.⎟⎜.⎟⎜.⎟⎝.⎠⎝.⎠⎝.⎠001⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞i00⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜0⎟⎜i⎟⎜0⎟⎟ , en+2 = ⎜ . ⎟ , . . . , e2n = ⎜ . ⎟ .en+1 = ⎜.⎜.⎟⎜.⎟⎜.⎟⎝.⎠⎝.⎠⎝.⎠00i6. dim Km×n (K) = mn. Стандартный⎛0 ...⎜ .. . ..⎜.⎜eij = ⎜⎜0 . . .⎜ .. . .⎝..0 ...базис состоит из mn матриц⎞0 ... 0..
. . .. ⎟. .⎟.i = 1, . . . , m,⎟1 . . . 0⎟⎟ , j = 1, . . . , n,.. . . .. ⎟. .⎠.0 ... 0где единица стоит на пересечении i-й строки и j -го столбца.77. dim Pol(n, K) = n + 1. Стандартный базис состоит из многочленовe0 = 1,e1 = t,e2 = t2 ,...,en = tn .8. dim Trig(n, K) = 2n + 1. Стандартный базис состоит из тригонометрических многочленов...,en = cos nt,e1 = cos t,e0 = 1,e−1 = sin t,...,e−n = sin nt.2. Г ОМОМОРФИЗМИ ИЗОМОРФИЗМЛППусть (V, K) (операции +, ·) и (W, K) (операции ⊕, ) — два ЛП над одним и тем жеЧП K.Отображение f : V → W называется гомоморфизмом, еслиf (x + y) = f (x) ⊕ f (y) ∀x, y ∈ V,f (α · x) = α f (x) ∀x ∈ V,α ∈ K.Множество всех гомоморфизмов ЛП V, W обозначается Hom(V, W ).Теорема.Пусть f : V → W — гомоморфизм.(1) f (0V ) = 0W ;(2) ∀x ∈ V : f (−x) = −f (x).Задача. Докажите теорему самостоятельно.Изоморфизм ЛП V и W — это взаимно однозначный гомоморфизм.
ЛП V и W называются изоморфными, если существует изоморфизм f : V → W ; в этом случае пишутV W.Теорема.Пусть V W , f : V → W — изоморфизм.(1) ∀x ∈ V , x = 0V : f (x) = 0W .(2) Если x1 , . . . , xp ∈ V — ЛН векторы, то векторыf (x1 ), . . . , f (xp ) ∈ W также ЛН.(3) Если x1 , . . .
, xp ∈ V — ЛЗ векторы, причем нетривиальная ЛК этих векторов,равная 0V , имеет коэффициенты α1 , . . . , αp , то векторы f (x1 ), . . . , f (xp ) ∈ Wтакже ЛЗ, причем нетривиальная ЛК этих векторов, равная 0W , имеет те жекоэффициенты α1 , . . . , αp . (1) Пусть x ∈ V , x = 0V . Предположим, что f (x) = 0W . Имеем:f (x) = 0W = 0 · y = 0 · f (z) = f (0 · z) = f (0V ).Таким образом, в силу взаимной однозначности отображения f , получаем x = 0V ; противоречие.(2) Пусть x1 , . . . , xp ∈ V — ЛН векторы.
Предположим, что векторы f (x1 ), . . . , f (xp ) ∈ WЛЗ, т.е. ∃β 1 , . . . , β p ∈ K, не все равные 0, такие, чтоβ 1 f (x1 ) + · · · + β p f (xp ) = 0W .Имеемβ 1 f (x1 ) + · · · + β p f (xp ) = 0W = f (β 1 x1 + · · · + β p xp ),8откудаβ 1 x1 + · · · + β p xp = 0V ,т.е.
векторы x1 , . . . , xp ЛЗ; противоречие.(3) Докажите самостоятельно.Отметим, что отношение изоморфности ЛП обладает следующими свойствами:(1) V V ;(2) V W ⇒ W V ;(3) если V W и W U , то V U .Задача. Докажите самостоятельно.Теорема.Пусть V (K) — ЛП над ЧП K, e1 , . . . , en — базис в V . Отображение f : V → Kn ,ставящее в соответствие каждому вектору x ∈ V столбец его координат, являетсяизоморфизмом ЛП V и Kn , V Kn .Теорема.Все ЛП одной размерности над одним и тем же ЧП изоморфны.Задача. Докажите эти теоремы самостоятельно.Задача. Докажите, что если e1 , .
. . , en — базис в ЛП V , то V = L(e1 , . . . , en ). Обратное утверждение неверно: если V = L(x1 , . . . , xp ), то нельзя утверждать, что векторыx1 , . . . , xp образуют базис в V . Объясните почему.3. Л ИНЕЙНОЕПОДПРОСТРАНСТВО3.1. Определение. Пусть V (K) — ЛП. Подмножество P ⊂ V называется линейным подпространством (ЛПП) пространства V , если выполнены следующие условия:(1) ∀x, y ∈ P : x + y ∈ P ;(2) ∀x ∈ P , ∀α ∈ K: αx ∈ P .В любом ЛП V имеются тривиальные ЛПП: {0} и V .Обозначения:• P ⊂ V ⇐⇒ P является подмножеством V ;• P V ⇐⇒ P является нетривиальным ЛПП V .Теорема.Пусть V — ЛП над ЧП K и P V .
Тогда P тоже является ЛП над ЧП K.Задача. Докажите теорему самостоятельно.3.2. Примеры ЛПП.1. V1 V2 V3 .2. R(R) C(R); Rn (R) Cn (R).Задача. Найдите размерность и базис этих ЛПП.3. Подмножество в Kn (K), состоящее из столбцов, сумма элементов которых равнанулю, является ЛПП в Kn (K).Задача. Найдите размерность и базис этого ЛПП.4. В ЛП Kn×n (K) квадратных матриц порядка n линейными подпространствами являются следующие подмножества.9(1) Подмножество симметричных матрицSKn×n = A ∈ Kn×n AT = A .(2) Подмножество кососимметричных матрицAKn×n = A ∈ Kn×n AT = −A .(3) Подмножество, состоящее из матриц с нулевым следом:P = A ∈ Kn×n tr A = 0 .Замечание: след tr A квадратной матрицы A — это сумма ее диагональных элементов.tr A =nakk .k=1Задача. Найдите размерность и базис каждого из указанных ЛПП.5.
В ЛП Pol(n, K) подпространствами являются множестваS Pol(n, K) = x(t) ∈ Pol(n, K) x(−t) = x(t)},A Pol(n, K) = x(t) ∈ Pol(n, K) x(−t) = −x(t)},состоящие из четных и нечетных многочленов.Задача. Найдите размерность и базис каждого из указанных ЛПП.6. Рассмотрим ОСЛУAX = O,где A ∈ Km×n , A ∈ Kn , O ∈ Km . Известно, что для любых решений X1 , X2 столбецc1 X1 + c2 X2 также является решением. Это означает, что множество всех решений ОСЛУпредставляет собой ЛПП в Kn . ФСР ОСЛУ представляет собой базис этого ЛПП.7.
Любая ЛО является ЛПП.Теорема.Пусть x1 , . . . , xp ∈ V . Тогда L(x1 , . . . , xp ) V . Пусть x, y ∈ L(x1 , . . . , xp ) V , т.е.x = α1 x1 + · · · + αp xp ,y = β 1 x1 + · · · + β p xp .Тогдаx + y = (α1 + β 1 )x1 + · · · + (αp + β p )xp ,т.е. x + y ∈ L(x1 , .
. . , xp ) V . Завершите доказательство самостоятельно. 3.3. Пополнение базиса.Теорема.ПустьP V,dim P = p < dim V = n,e1 , . . . , ep — базис в P . Тогда ∃ep+1 , . . . , en ∈ V \ P такие, чтоe1 , . . . , ep , ep+1 , . . . , en— базис в V .10 Так как p < n, то ∃ep+1 ∈ V такой, что векторы e1 , . . . , ep , ep+1 ЛН; при этом ep+1 ∈/ P,так как в противном случае получили бы dim P > p.Если p + 1 = n, пополнение базиса завершено. Если p + 1 < n, продолжаем процесс. 3.4. Пересечение и сумма ЛПП.Теорема.Если P V , Q V , то P ∩ Q V . Проверим выполнение требований определения:x, y ∈ Px, y ∈ P ∩ Q ⇐⇒x, y ∈ Qx+y ∈P⇐⇒⇐⇒ x + y ∈ P ∩ Q.x+y ∈QВторое условие проверяется аналогично.
Замечание. Если P V , Q V , то P ∪ Q не является, вообще говоря, ЛПП.Задача. Приведите соответствующий пример.Суммой P + Q ЛПП P, Q V называется ЛО всевозможных векторов вида x + y , гдеx ∈ P , y ∈ Q, т.е.P + Q = αx + βy α, β ∈ K, x ∈ P, y ∈ Q .Таким образом, ∀z ∈ P + Q: ∃x ∈ P , ∃y ∈ Q такие, что z = x + y .Теорема.Если P V , Q V , то P + Q V .Задача. Докажите теорему.xzxy PyQz = x + y = x + y .Теорема.Пусть V — ЛП, P V , Q V . Тогдаdim(P + Q) = dim P + dim Q − dim(P ∩ Q).(2) Пусть e1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
