А.В. Овчинников - Курс лекций по аналитической геометрии (1114603), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

. . , m выбираем одну из строк с наименьшим количеством нулей, считая от начала строки; эту строку назовем разрешающей строкой(РС), а ее первый ненулевой элемент — разрешающим элементом (РЭ).(2) Переставляем РС на k -е место.(3) Разделим РС на РЭ; в полученной строке на месте РЭ будет стоять 1.(4) Вычитаем из каждой строки матрицы РС, умноженную на элемент обрабатываемойстроки, который стоит в одном столбце с РЭ.

После этого столбец, содержащийРЭ, будет представлять собой k -й столбец единичной матрицы.Процесс завершается, когда каждая строка матрицыРС выбрать не удается.Пример. Привести к упрощенному виду матрицу0 −2 6 2 8 −2 21 1 0 01 0 −1 3 1 4 −131 3 0 10уже побывала в роли РС или когда.14Шаг 1. В качестве РС можно взять 2 или 4 строку; возьмеми переставляем на первое место:110 −2 6 2 8 −21022 21 1 0 01  0 −2 6 2 =⇒  0 −1 3 1 0 −1 3 1 4 −1 31 3 031 3 0 102. РЭ = 2, делим РС на 21028 −2 .4 −1 10Уничтожению подлежат все элементы первого столбца, кроме РЭ; такой элемент один— это 3.

Выполняем ЭП: к 4-й строке добавляем 1-ю, умноженную на (−3):1111111∗0 00 01222222 0 −2 6 2 8 −2  0 −2 6 2 8 −2   0  =⇒ . 0 −1 3 1 4 −1  0 −1 3 1 4 −1   0 −331 3 0 100 − 21 32 0 1 − 23Шаг 2. В качестве РС можно взять 2-ю, 3-ю или 4-ю. Возьмем 3-ю, переставим ее навторое место и разделим на (−1):111111110000222222 0 1 −3 −1 −4 0 −2 6 2 8 −2 1  =⇒ . 0 −2 0 −1 3 1 4 −1 628 −2 301 − 230 − 12 32 0 1 − 230 − 122Теперь нужно уничтожить все элементы 2-го столбца, 1 1111−1002222 0 1 −3 −1 −41  ∗  0 =⇒  0 0 −2628 −2   2 133101 −20 −2022Шаг 3.

В качестве РС можно взятьставляем на 3-е место:11 0222 0 1 −3 −1 −4 0 00000 00− 12кроме РЭ. Выполняем ЭП:1022021 −3 −1 −41 .00000 00 − 12 −1 −1только 4-ю строку. Умножаем ее на (−2) и пере-010−1 −1 =⇒ 1000Уничтожаем все элементы 4-го столбца, кроме РЭ: 1  11−21 022 02 0 1 −3 −1 −4 1   1   0 = 0 00 12 2  ∗   000 0000 001022 021 −3 −1 −4 100 12 20000 0.02 01 −11 −3 0 −23 .00 122 00 000Еще один шаг выполнить невозможно, так как четвертую строку нельзя выбрать вкачестве РС: в ней нет ненулевых элементов. Процедура закончена.Можно избежать появления дробей при выполнении ЭП, если сделать дополнительныеЭП.15Шаг 1. Вычтем из 4-й строкистроку в качестве РС):0 −2 6 2 21 1 0 0 −1 3 131 3 02-ю (цель — получить 1 в одной из строк и выбрать эту 0 −2 6 2 8 −28 −21 1 0 01 01   2=.4 −1   0 −1 3 1 4 −1 1010 2 0 1 −1Первый элемент 4-й строки равен 1; этуПоменяем местами 1-ю и 4-ю строки:10 2 21 1 0 −1 30 −2 6строку берем в качестве РС, тогда РЭ = 1.00121 −101 .4 −1 8 −2Уничтожаем все элементы 1-го столбца, кроме РЭ; такой элемент один, это 2 во второйстроке.10 2 0 1 −1∗102 01 −1 2 01 1 0 01 1 −3 0 −23   −2  =⇒ . 0 −1 3 1 4 −1   0  0 −13 14 −1 0 −2 6 2 8 −200 −26 28 −2Шаг 2.

В качестве РС беремстолбца, кроме РЭ; это −1 и −2102 01 0 1 −3 0 −2 0 −13 140 −26 282-ю строку; РЭ = 1. Уничтожаем все элементы 2-го−13−1−20∗12 =⇒ 100002 01 −11 −3 0 −23 .00 122 00 244Шаг 3. В качестве РС берем 3-ю строку, РЭ = 1, который стоит в 4-м столбце. Уничтожаем все элементы 4-го столбца, кромее РЭ:1 02 01 −101 02 01 −1 0 1 −3 0 −2 0 1 −3 0 −23 3  0  =⇒ . 0 0 0 022  ∗ 0 10 122 0 00 244−20 00 000Пример. Решить ОСЛУ− 2x1 +− 13x +2x2x2x2x2+ 6x3 + 2x4 + 8x5 − 2x6+ x3+ x6+ 3x3 + x4 + 4x5 − x6+ 3x3+ x5Основная матрица этой ОСЛУ0 −2 6 2 8 −221 1 0 01 .0 −1 3 1 4 −1 31 3 0 10====000016Эта матрица была приведена к упрощенному виду в предыдущем примере:1 02 01 −1 0 1 −3 0 −23 . 0 00 122 0 00 000Базисные переменные этой ОСЛУ — x1 , x2 , x4 , свободные переменные — x3 , x5 , x6 .Получим НФСР ОСЛУ.

Взяв x3 = 1, x5 = x6 = 0, находим: 1x = −2,x2 = 3,1 02 01 −1 x3 = 1, 0 1 −3 0 −23  =⇒ 0 00 122 x4 = 0,0 00 000x5 = 0, x6 = 0.Взяв x3 = x6 = 0, x5 = 1, находим:1000 1x = −1,x2 = 2, x3 = 0,02 01 −11 −3 0 −23  =⇒00 122 x4 = −2,00 000x5 = 1, x6 = 0.Взяв x3 = x5 = 0, x6 = 1, находим:1000 1x = 1,x2 = −3, x3 = 0,02 01 −11 −3 0 −23  =⇒00 122 x4 = −2,00 000x5 = 0, x6 = 1.Итак, НФСР ОСЛУ имеет вид−2 3  1 ,X1 = 0 0 0X2 = Общее решение системы имеет вид−120−210,X3 = X = c 1 X1 + c 2 X2 + c 3 X3 ,где c1 , c2 , c3 — произвольные числа.1−30−201.17НФМ ОСЛУ имеет видΦ=−2 −1132 −3 100 .0 −2 −2 010 001Общее решение ОСЛУ можно записать в виде c1 2X = Φ c  .c32.5.

Восстановление ОСЛУ по известной ФСР. Даны ЛН столбцы   x11x12x1 2 2 r2  x1  x2  xr   X1 =  ..  , X2 =  ..  , . . . , Xr =  ..  ,...xn1xn2xnrколичество r которых меньше их размерности n (r < n). Составить ОСЛУ, состоящую изнаименьшего числа уравнений, для которой данные столбцы образуют ФСР.Поскольку размерность пространства столбцов равна n, а размерность пространстварешений искомой системы равна r, минимальное количество уравнений в системе равноn − r.Рассмотрим матрицу 1 1x1 x2 .

. . x1r x1 x2 x2 . . . x 2 x2 rX = [X1 , X2 , . . . , Xr , X] =  1 2,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xn1 xn2 . . . xnr xnпоследний столбец которой X = (x1 , x2 , . . . , xn )T состоит из неизвестных будущей ОСЛУ.Если этот столбец удовлетворяет искомой ОСЛУ, то он является ЛК столбцов X 1 , . . . , Xr .Приведем матрицу X к упрощенному виду с помощью ЭП строк:r столбцовz}|{ 1 0 ... 0∗  0 1 ...

0  ∗ . . . . . . ... . . .r строк∗ ∗ 0 0 ... 1 00...0∗...∗ 000∗00 ... 018Первые r столбцов ЛН, последний является их ЛК; это возможно лишь в случае,когда элементы, стоящие в последнем столбце и последних n − r строках, равны нулю.Приравнивая их к нулю, получаем искомую ОСЛУ.Пример. Найти однородную систему уравнений, имеющую ФСРX1 = −2−3100,X2 = −100−21.Произвольное решение X искомой системы является линейной комбинацией двух данных решений, поэтому столбцы матрицы−2 −1−30100 −201x1x2x3x4x5должны быть ЛЗ. Приведем эту матрицу к упрощенному виду:−2 −1−30100 −201x1x2x3x4x510010 −10 −200    ,  0 −100100 −201x3x5x1 + 2x3x4x2 + 3x3x1 + 2x3x2 + 3x3x3x4x5 1 0  0 1  , 0 0   0 00 0    ,  10000 −10 −201x3x5x1 + 2x3 + x5x4 + 2x5x2 + 3x3x3x2 + 3x3x1 + 2x3x4x5.,Чтобы эта матрица имела два ЛН столбца, необходимо и достаточно, чтобы последниетри ее строки были нулевыми.

Отсюда получаем систему 1 1x + 2x3 + x5 = 0,x + 2x3 + x5 = 0,x4 + 2x5 = 0,x2 + 3x3 = 0,⇐⇒x2 + 3x3 = 0.x4 + 2x5 = 0.Матрица последней системы имеет вид1 0 2 0 1 0 1 3 0 0 .0 0 0 1 2192.6. Элементарные преобразования и умножение матриц. ЭП строк матрицы тесносвязаны с операцией умножения матриц.Теорема. Пусть R — ЭП типа (1), (2) или (3) строк матрицы A. ТогдаR(A) = R(I) · A.Здесь R(A) — матрица, полученная из A с помощью ЭП R,J Проверим утверждение для простейших ЭПС.Пусть R1 — перестановка первой и второй строк, т.е.a21 a22a11 a12 . . . a1m 1 1 2 2 a1 a2 a1 a2 .

. . a2m , R1 (A) = A=. . .. .. ... . .. . . .. ..an1 an2 . . . anmДалее,0 ... 01 . . . 0,.. . . .. . ..0 0 ... 110I= ...Получаем:an1 an2a1 a11 ... 0  21 220 . . . 0   a1 a2. ... . . .. . ..  .. ..0 0 ... 1an1 an201R1 (I) · A =  ...I — единичная матрица.. . .

a2m. . . a1m . . . ..  .. . . . anm1 ... 00 . . . 0... . . .. . ..0 0 ... 101R1 (I) =  ... a21 a22. . . a1m. . . a2m   a11 a12 ... . . ..  =  ...  ..nn. . . ama1 an2. . . a2m. . . a1m . . . ..  = R1 (A).. . . . anmПусть R2 — умножение первой строки на α 6= 0. Имеем:αa11 αa12 . . . αa1ma11 a12 . .

. a1m 2 2 2 a1 a22 . . . a2m  a1 a2 . . . a2m A=. . ...  , R2 (A) =  .... ......... . .. . .. .an1 an2 . . . anman1 an2 . . . anmДалее,0 ... 01 . . . 0,.. . . .. . ..0 0 ... 110I= ...Получаем:0 ... 0a1 a1  12 221 . . . 0   a1 a2. ... . . ..

. ..  .. ..0 0 ... 1an1 an2α0R2 (I) · A =  ...0 ... 01 . . . 0... . . .. . ..0 0 ... 1α0R2 (I) =  ... . . . a1mαa11 αa12. . . a2m   a21 a22 ... . . ..  =  ...   ..nn. . . ama1 an2. . . αa1m. . . a2m .. ... = R2 (A).. . . . anm20Пусть R3 — прибавление к первой строке матрицы A ее второй строки:a11 + a21 a12 + a22 . . . a1m + a2ma11 a12 . . . a1m 2 2 a21 a1 a2 .

. . a2m a22...a2m .A=....... .. .. . . . ..  , R3 (A) =  ... .. .. .nnnnnna1 a2 . . . a ma1a2...amДалее,Получаем:0 ... 01 . . . 0,.. . . .. . ..0 0 ... 110I= ...10R3 (I) · A =  ...1 ...1 ..... . ...0 0 ...a110 20   a1..  ..

Характеристики

Список файлов лекций