А.В. Овчинников - Курс лекций по аналитической геометрии (1114603), страница 17
Текст из файла (страница 17)
..1an1a12 . . .a22 . . ... . ...na2 . . .1 ... 01 . . . 0... . . .. . ..0 0 ... 110R3 (I) = ... a11 + a21 a12 + a22 . . .a1ma2m a21a22...=.. ........ ..nnnama1a2...a1m + a2ma2m = R3 (A)....anmПусть в матрице A выполнена серия ЭПС. Для простоты рассмотрим серию из двухЭПС R1 и R2 . Имеем:R1 (R2 (A)) = R1 (I) · R2 (A) = R1 (I) · [R2 (I) · A] = [R1 (I) · R2 (I)] · A = R1 (R2 (I)) · A.Теорема доказана. IЭлементарные преобразования типов (1)–(3) обратимы, т.е.
если матрица C может бытьполучена из матрицы B каким-либо ЭП, то и матрица B может быть получена из матрицыC некоторым ЭП преобразованием.2.7. Вычисление обратной матрицы. Превратим матрицу B с помощью последовательности ЭП строк в единичную матрицу. Поскольку выполнение каждого ЭП эквивалентноумножению B слева на некоторую матрицу, видим, чтоAs As−1 . . . A2 A1 · B = I.Но это означает, чтоAs As−1 .
. . A2 A1 = B −1 .Если те же самые ЭП провести над единичной матрицей, то результатом окажетсяматрица B −1 . На практике это выполняется следующим образом:ЭП строк(B | I) −−−−−→ (I | B −1 ).Если вместо единичной матрицы взять некоторую матрицу D (причем не обязательноквадратную), то результатом будетЭП строк(B | D) −−−−−→ (I | B −1 D).Можно сформулировать аналогичную процедуру для ЭП столбцов:!Ã!ÃBIЭП столбцов.−−−−−−−→IB −121Если вместо I взять матрицу D (не обязательно квадратную), то!ÃÃ!BIЭП столбцов−−−−−−−→.DDB −1На практике выполнять ЭП столбцов неудобно, поэтому для вычисления матрицы DB −1предпочтительнее пользоваться следующим алгоритмом:!ÃBтранспонирование−−−−−−−−−→DЭП строк(B T | DT ) −−−−−→ (I | (B T )−1 DT ) = (I | (B −1 )T DT )транспонирование−−−−−−−−−→ÃIDB −1!.Здесь мы воспользовались тем, что(B T )−1 = (B −1 )T .Докажите это соотношение самостоятельно.Пример.Вычислить обратную матрицу для2 −1 −3A = 0 −1 −2 .−1 −1 −1Построим блочную матрицу [A | I] и проведем цепочку ЭП строк:1 −2 −42 −1 −31 0 01 00 1 0 , 0 −1 −20 1 0 −1 −2−1 −1 −1−1 −1 −10 0 10 01 −2 −41011 001 −21220 −10 , 0 10 −1 0035−10 −20 0 −1−131 0 01 −21−25 −4 . 0 1 00 0 11 −32Обратная матрица равна1 −21A−1 = −25 −4 .1 −323.
Э КЗАМЕНАЦИОННЫЕ10 ,110 ,−2ЗАДАЧИЗадача 1. Доказать, что k -я строка матрицы AB равна линейной комбинации строк матрицы B с коэффициентами, равными элементам k -й строки матрицы A. [Указание: ср.п. 1.4.]Задача 2. Доказать, что k -я строка матрицы AB равна произведению k -й строки матрицы A на матрицу B . [Указание: ср. п. 1.4.]22Задача 3. Доказать соотношение (AB)T = B T AT .Задача 4. Матрица A такова, что A2 + A + E = 0. Доказать, что матрица A обратима ивыразить A−1 через A.Задача 5. Пусть Am = 0. Доказать, что (E − A)−1 = E + A + · · · + Am−1 .Задача 6. Пусть f (t) — многочлен. Доказать, что f (S −1 AS) = S −1 f (A)S .Задача 7.
Доказать, что если A — обратимая симметрическая матрица, то A −1 — такжесимметрическая матрица.Задача 8. Доказать, что если A — обратимая кососимметрическая матрица, то A −1 —также кососимметрическая матрица.Задача 9. Пусть A, B — симметрические матрицы. Доказать, что AB является симметрической матрицей тогда и только тогда, когда AB = BA.Задача 10.
Пусть A, B — кососимметрические матрицы. Доказать, что AB являетсясимметрической матрицей тогда и только тогда, когда AB = BA.Задача 11. Пусть A, B — кососимметрические матрицы. Доказать, что AB являетсякососимметрической матрицей тогда и только тогда, когда AB = −BA.Задача 12. Известно, что столбец свободных членов линейной системы уравнений равенсумме столбцов ее основной матрицы. Указать какое-либо частное решение системы.Задача 13. Известно, что столбец свободных членов линейной системы уравнений совпадает с последним столбцом ее основной матрицы. Указать какое-либо частное решениесистемы.Задача 14. Пусть X , Y — столбцы решений систем уравнений AX = P , AY = Q соответственно, α, β — некоторые числа.
Какой системе уравнений удовлетворяет столбецZ = αX + βY ?Задача 15. Пусть матрица получена из матрицы B элементарными преобразованиямистрок. Доказать, что если столбцы матрицы B линейно независимы, то столбцы матрицыC также линейно независимы.Задача 16. Пусть матрица получена из матрицы B элементарными преобразованиямистрок. Доказать, что если между какими-либо столбцами матрицы B имеется линейнаязависимостьα1 B1 + α2 B2 + · · · + αk Bk = 0,то соответствующие столбцы матрицы C связаны такой же линейной зависимостью:α1 C1 + α2 C2 + · · · + αk Ck = 0.Лекция 9Линейные пространства1. Л ИНЕЙНОЕПРОСТРАНСТВО1.1. Определение.Линейное пространство (ЛП) V (K) над числовым полем K — это множество V элементов x, y, .
. . произвольной природы (векторов), в котором введены две операции:(A) сложение векторов + : V × V → V, (x, y) → x + y,(B) умножение вектора на число • : K × V → V, (α, x) → αx,причем выполнены следующие аксиомы:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)∀x, y ∈ V : x + y = y + x (коммутативность сложения);∀x, y, z ∈ V : x + (y + z) = x + (y + z) (ассоциативность сложения);∃0 ∈ V ∀x ∈ V : x + 0 = x (существование нулевого вектора);∀x ∈ V ∃x ∈ V : x + x = 0 (существование противоположного вектора);∀x ∈ V : 1 · x = x;∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V : (α · β)x = α · (βx);∀α ∈ K, ∀x, y ∈ V : α(x + y) = αx + αy (дистрибутивность-1)∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V : (α + β)x = αx + βx (дистрибутивность-2).Запись V (K) означает, что рассматривается ЛП V над ЧП K.1.2.
Примеры линейных пространств.1. Q(Q), R(Q), C(Q); R(R), C(R); C(C).2. Q(R) — не ЛП. Объясните причину и приведите несколько аналогичных примеров.3. Множества «геометрических векторов» на прямой V1 , на плоскости V2 , в пространствеV3 — ЛП над R.4. Qn , Rn , Cn можно рассматривать как ЛП над различными ЧП (ср. пример 1). Приведите несколько примеров.5.
Km×n можно рассматривать как ЛП над различными ЧП (ср. пример 1). Приведитенесколько примеров.6. Множества C(X), C p (X), состоящие из всех непрерывных (p раз непрерывно дифференцируемых) на открытом множестве X ⊂ R функций, можно рассматривать как ЛПнад ЧП Q или R. Операции:∀f, g ∈ C(X), ∀x ∈ X :(f + g)(x) = f (x) + g(x);∀f ∈ C(X), ∀α ∈ K, ∀x ∈ X :(α · f )(x) = α · f (x).7. Множество Pol(n, K) всех полиномов степени не выше n с коэффициентами из K,т.е.
функций видаx(t) = a0 + a1 t1 + · · · + an tn ,где ak ∈ K, k = 0, . . . , n.Вопрос. Является ли ЛП множество всех полиномов степени n? Ответ обоснуйте.128. Множество Trig(n, K) всех тригонометрических полиномов порядка не выше n скоэффициентами из K, т.е. функций видаx(t) = a0 +n(ak cos kt + bk sin kt),k=1где a0 , ak , bk ∈ K, k = 1, .
. . , n.Вопрос. Является ли ЛП множество всех тригонометрических полиномов порядка n?Ответ обоснуйте.9. V = R, K = R, операции заданы формулами:defx ⊕ y = x · y,α x = xα ,defx, y ∈ V = R;x ∈ V = R,α ∈ K = R.Проверьте выполнение всех аксиом ЛП.Этот пример показывает, что операции сложения элементов ЛП и умножения элементаЛП на число могуь быть совершенно «не похожими» на «обычные» сложение и умножение.1.3. Простейшие свойства ЛП.Теорема.Пусть V (K) — произвольное ЛП.(1)(2)(3)(4)(5)Нулевой элемент 0 ∈ V единствен.∀x ∈ V противоположный элемент x единствен.∀x, y, z ∈ V : x + z = y + z ⇒ x = y.∀x ∈ V : 0 · x = 0.∀x ∈ V противоположный элемент x равен −1 · x = −x. (1) Допустим, что ∃0 = 0 такой, что ∀x ∈ V : 0 + x = x.
Положим x = 0; тогда0 + 0 = 0. С другой стороны, по определению 0, 0 + 0 = 0 . Итак, 0 = 0.(2) Пусть x , x — два различных противоположных элемента для x. Тогдаx = x + 0 = x + (x + x ) = (x + x) + x = 0 + x = x .(3) Прибавим к обеим частям равенства x + z = y + z единственный противоположныйэлемент z для элемента z :x+z = y+z⇒x + z + z = y + z + z⇒x+0 = y+0(4) 0 · x + x = 0 · x + 1 · x = (0 + 1)x = 1 · x = x = 0 + x(5) Положим y = (−1) · x.
Тогда⇒⇒x = y.0 · x = 0.x + y = 1 · x + (−1) · x = (1 + (−1))x = 0 · x = 0⇒ y — противоположный для x. 1.4. Линейная комбинация. Пусть V (K) — ЛП, x1 , . . . , xp ∈ V .Линейная комбинация (ЛК) векторов x1 , . . . , xp ∈ V с коэффициентами α1 , . . . , αp ∈ K —это выражениеp1pα x1 + · · · + α xp ≡α k xk .k=13ЛК векторов x1 , .
. . , xp ∈ V называется тривиальной, если все коэффициенты этой ЛКравны нулю, и нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.Очевидно, тривиальная ЛК всегда равна нулевому вектору.1.5. Линейная зависимость и независимость.Векторы x1 , . . . , xp ∈ V называются линейно зависимыми (ЛЗ), если существует ихнетривиальная ЛК, равная нулевому вектору.Пример.2Рассмотрим ЛП R (R). 12Элементы x1 =и x2 =ЛЗ, так как существует нетривиальная ЛК этих12векторов, равная 0: 120−2 · x1 + 1 · x2 = −2 ·+== 0.120Векторы x1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
