А.В. Овчинников - Курс лекций по аналитической геометрии (1114603), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Имеется множество N ,card N = n. Требуется выбрать из него k элементов с учетом порядка; выбранный элементв множество не возвращается. Количество различных выборок равноn!.Akn = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1) =|{z} (n − k)!k сомножителейВ частности, количество различных перестановок множества NPn = n!.Пример.Сколькими способами можно из группы в 20 студентов выбрать старосту и профорга?A220 =20!= 20 · 19 = 380.18!1.4.
Неупорядоченная выборка без повторений: сочетания. Имеется множество N ,card N = n. Требуется выбрать из него k элементов без учета порядка; выбранный элементв множество не возвращается. Обозначим количество всех таких выборок Cnk .Выборка объема k может быть упорядочена k! способами. Согласно принципу произведенияCnk · k! = Akn ,откудаAknn!==.k!k!(n − k)!Числа Cnk называются также биномиальными коэффициентами; другое обозначение: n= Cnk .kCnkПример.Сколькими способами можно из группы в 20 студентов выбрать двух дежурных?2=C2020 · 1920!== 190.2! · 18!1·231.5. Свойства биномиальных коэффициентов.Cn0 = Cnn = 1,1.Cn1 = Cnn−1 = n.k сомножителейz}|{n(n−1)...(n−k+1)Cnk =.|1 · 2 ·{z. . . · k}2.k сомножителейCnn−k = Cnk .3.◭ Cnn−k =n!(n−k)!(n−(n−k))!=n!(n−k)!k!= Cnk .
◮k+1.Cnk + Cnk+1 = Cn+14.n!n!+=k!(n − k)! (k + 1)!(n − k − 1)!n!n!+==k!(n − k − 1)!(n − k) k!(k + 1)(n − k − 1)!n!(n + 1)n!(n − k) + n!(k + 1)===k!(n − k − 1)!(k + 1)(n − k)(k + 1)!(n − k)!(n + 1)!k+1. ◮= Cn+1=(k + 1)!((n + 1) − (k + 1))!◭Cnk + Cnk+1 =1.6. Треугольник Паскаля.C00ւցC10ւC11ցC20ււցւC22ցC31ցւC41ցC21C30C40ււցC32ցւC42C33ցւC43ցC444n=0n=1n=2n=3n=4n=5n=6n=7n=8111121311120218535561153528110157410616513411706215617128811.7.
Бином Ньютона.Теорема.n(a + b) =nXCnk an−k bk =k=0= an + Cn1 an−1 b + Cn2 an−2 b2 + · · · + Cnk an−k bk + · · · + Cnn−1 abn−1 + bn .(1)◭Доказательство проведем методом индукции.База индукции:(a + b)1 = a + b = C10 a + C11 b.Предположение индукции состоит в том, что формула (1) справедлива при некоторомзначении n. Наша задача — пользуясь формулой (1), вывести ее справедливость дляпоказателя степени n + 1.(a + b)n+1 = (a + b) · (a + b)n = (a + b)nXCnk an−k bkk=0nX=aCnkan−kbkk=0=nXCnkan−k+1!+b=a+nX|k=1=an+1+n−1Xkb +=aan−kbnXk!==Cnk an−k bk+1 =k=0Cnkan−k+1kb +{z}k=p+1,k=1...n,p=0...n−1Cnp+1an−pbp+1+n−1XCnk an−k bk+1 + bn+1 =|k=0+n−1X{zk=p}Cnp an−p bp+1 + bn+1 =p=0p=0n+1Cnkk=0k=0n+1nX!n−1XCnp+1 + Cnp an−p bp+1 + bn+1 ={z}|p=0p+1=Cn+15=0Cn+1an+1+n−1Xp+1 (n+1)−(p+1) p+1n+1 n+1b=Cn+1ab +Cn+1p=0|=0Cn+1an+1+{z}k=p+1,p=0...n−1,k=1...nnXn+1 n+1kb=a(n+1)−k bk + Cn+1Cn+1k=1=n+1XkCn+1a(n+1)−k bk .◮k=01.8.
Дальнейшие свойства биномиальных коэффициентов. Взяв в формуле (1)a = b = 1, получимnXn(1 + 1) =Cnk 1n−k 1k ,k=0откудаnXCnk = 2n .k=0Аналогично, взяв a = 1, b = −1, находимnX(−1)k Cnk = 0.k=02. КОМПЛЕКСНЫЕЧИСЛА2.1. Числовое поле. Числовое поле — множество чисел, в котором корректны арифметические операции: сложение, вычитание, умножение, деление на ненулевое число.Примеры числовых полей: Q, R.Не являются числовыми полями: N, Z, R \ Q.√Нетривиальный пример: числа вида a + b 2, где a, b ∈ Q, образуют числовое поле:√ √√ a + b 2 c + d 2 = (ac + 2bd) + (bc + ad) 2,√ √ √a+b 2 c−d 2a+b 2ac − 2bd ac − 2bd √√ =√ = 2√ 2,+ 2c − 2d2c − 2d2c+d 2c+d 2 c−d 2причем знаменатель 6= 0, а все коэффициенты ∈ Q.2.2.
Многочлены. Пусть K — некоторое числовое поле.Одночлен (от одной переменной x) над полем K — выражение вида axk , где a ∈ K —коэффициент одночлена, k ∈ N ∪ {0} — степень одночлена; deg(axk ) = k.Многочлен степени n (от одной переменной x) над полем K — сумма одночленов:f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an−2 x2 + an−1 x + an ,где a0 6= 0.Множество всех многочленов от переменной x над полем K обозначается K[x].Можно рассматривать одночлены и многочлены от нескольких переменных.Значение многочлена f (x) можно вычислять как при x ∈ K, так и при x ∈/ K.Корень многочлена f (x) — значение x, при котором f (x) = 0.6Алгебраически замкнутое поле K — это такое поле, что любой многочлен из K[x] имееткорень x ∈ K.Поле Q не является алгебраически замкнутым:(x2 − 2) ∈ Q[x],x2 − 2 = 0⇐⇒√/ Q.x=± 2∈Решение проблемы — введение иррациональных чисел.Поле R не является алгебраически замкнутым: многочлен x2 + 1 корней не имеет.Формальное решение проблемы — ввести «новое число» i, обладающее свойствомi2 = −1 ; тогдаx2 + 1 = 0⇐⇒x = ±i.Пример.Рассмотрим квадратное уравнениеx2 + 4x + 5 = 0.Имеем:D = 42 − 4 · 1 · 5 = −4 = (−1) · 4,√D = 2i,x1,2 =−4 ± 2i= −2 ± i.2Теорема Виета также справедлива:x1 + x2 = (−2 − i) + (−2 + i) = −4,x1 x2 = (−2 − i)(−2 + i) = (−2)2 − i2 = 5.Отметим, что мы рассматривали уравнение с вещественными коэффициентами.Числа вида a + bi называются комплексными числами.2.3.
Определение комплексных чисел.Комплексное число z — упорядоченная пара вещественных чисел (x, y):z = (x, y).x = Re z — вещественная часть z.y = Im z — мнимая часть z.Равенство комплексных чисел:z1 = z2⇐⇒(Re z1 = Re z2 ,Im z1 = Im z2 .)Комплексное число z = (x, y) можно изобразить точкой координатной плоскости Oxyлибо радиус-вектором этой точки. Координатная плоскость называется при такой интерпретации плоскостью комплексных чисел, ось Ox — вещественной осью, ось Oy — мнимойосью.7yz = (x, y)iOx1Арифметические операции над комплексными числами z1 = (x1 , y1 ), z2 = (x2 , y2 ):(a) сложение:z := z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2 );(b) умножение:z := z1 z2 = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ).Свойства арифметических операций:1.z1 + z2 = z2 + z1(коммутативность сложения);2.(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 )(ассоциативность сложения);3.z1 z2 = z2 z1(коммутативность умножения);4.(z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 )(ассоциативность умножения);5.z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3(дистрибутивность).Для чисел вида z = (x, 0) имеем:(x1 , 0) + (x2 , 0) = (x1 + x2 , 0),(x1 , 0) · (x2 , 0) = (x1 · x2 − 0 · 0, x1 · 0 + 0 · x2 ) = (x1 x2 , 0).Такие комплексные числа при арифметических операциях ведут себя как вещественныечисла.
Поэтому можно отождествить комплексное число z = (x, 0) с вещественным числом x и считать множество вещественных чисел подмножеством множества комплексныхчисел.Рассмотрим мнимые числа, z = (0, y). Имеем:(0, y1 ) + (0, y2 ) = (0, y1 + y2 ).Произведение вещественного и мнимого числа:x · (0, y) = (x, 0) · (0, y) = (x · 0 − 0 · y, x · y + 0 · 0) = (0, xy);поэтому можно считать, что мнимое число есть произведение вещественного числа имнимой единицы:(0, y) = y · (0, 1).Произведение двух мнимых чисел:(0, y1 ) · (0, y2 ) = (0 · 0 − y1 · y2 , 0 · y2 + y1 · 0) = (−y1 y2 , 0).8Отсюда вытекает, что квадрат мнимой единицы представляет собой вещественное число,равное −1:(0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1.Мнимую единицу обозначим символом i:i = (0, 1).Тогда для любого z = (x, y) имеемz = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + y · (0, 1) = x + iy.Это — алгебраическая форма записи комплексного числа.2.4.
Сопряжение. Пусть z = x + iy.Сопряженное к z число: z̄ = x − iy.Свойства операции сопряжения:1.z̄¯ = z;2.z1 + z2 = z̄1 + z̄2 ;3.z1 · z2 = z̄1 · z̄2 ; z1z̄1= .z2z̄24.Легко получить следующие соотношения:z − z̄z + z̄, Im z =.Re z =22iЧисло z̄, сопряженное к z, геометрически изображается точкой, симметричной точке zотносительно вещественной оси.Im zz = x + iyiO1Re zz̄ = x − iy2.5.
Вычитание и деление. Пусть z1 = (x1 , y1 ) = x1 + iy1 и z2 = (x2 , y2 ) = x2 + iy2 .Разность z = z1 − z2 определяется как решение уравнения z + z2 = z1 .(x1 , y1 ) − (x2 , y2 ) = (x1 − x2 , y1 − y2 ),(x1 + iy1 ) − (x2 + iy2 ) = (x1 − x2 ) + i(y1 − y2 ).Частное z = z1 /z2 определяется решение уравнения z · z2 = z1 .Для вычисления частного заметим, что(x + iy)(x − iy) = x2 + y 2 ∈ R.9Теперь запишемz=z1x1 + iy1(x1 + iy1 )(x2 − iy2 )===z2x2 + iy2(x2 + iy2 )(x2 − iy2 )(x1 x2 + y1 y2 ) + i(y1 x2 − x1 y2 )=x22 + y22==x 1 x 2 + y1 y2y1 x 2 − x1 y2+i.22x2 + y2x22 + y22Таким образом, деление возможно на любое ненулевое комплексное число.Пример.(3 + 4i)(7 − 2i) = 3 · 7 − 3 · 2i + 4i · 7 − 4i · 2i = 29 + 22i,(29 + 22i)(7 + 2i)29 + 22i==7 − 2i(7 − 2i)(7 + 2i)29 · 7 + 29 · 2i + 22i · 7 + 22i · 2i159 + 212i=== 3 + 4i.227 − (2i)53В множестве комплексных чисел выполняются операции сложения, вычитания, умножения и деления на ненулевое число.
Таким образом, множество комплексных чиселявляется полем, которое обозначается C.3. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА3.1. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Точка z = (x, y) на плоскости может быть задана не только декартовыми, но и полярными координатами (r, ϕ):x = r cos ϕ,y = r sin ϕ,0 6 r < +∞,0 6 ϕ < 2π.Число r называется модулем числа z, ϕ — аргументом:r = |z|,ϕ = arg z.Im zz = x + iy|z |iϕO1Re zАргумент определен неоднозначно (с точностью до слагаемого 2πn), поэтому различают(1) главное значение аргумента arg z ∈ [0, 2π) или arg z ∈ (−π, π];10(2) (многозначный) аргумент Arg z = arg z + 2πn, n ∈ Z; используются также записиArg z ≡ arg z(mod 2π),Arg z = ϕ(mod 2π).Комплексное число можно записать в видеz = x + iy = r cos ϕ + i sin ϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ).Это — тригонометрическая форма записи комплексных чисел.Перемножим два числа:r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) · r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) == r1 r2 cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 + i cos ϕ1 sin ϕ2 + i sin ϕ1 cos ϕ2 == r1 r cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 ) .Таким образом,|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |,Arg(z1 · z2 ) = Arg z1 + Arg z2 .3.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
