Lecture02 (Электронные лекции Колыбасовой)

Лекция 2Применение определителей 2-го порядка: формулы КрамераРассмотрим систему из двух уравнений с двумя неизвестными: + 12 = 1 ,{ 1121 + 22 = 2 ,(1)где 11 , 12 , 21 , 22 , 1 , 2 — известные числа, , — неизвестные.Введём обозначения:11Δ = |211222 | ,Δ = |1212|,22Δ = |11211|.2Теорема 2.1 (о формулах Крамера для системы из двух уравнений).

Если Δ ≠ 0, тосистема (1) имеет единственное решение, причём это решение выражаетсяформулами Крамера=Δ,Δ=Δ.ΔДоказательство.1. Предположим, что система уравнений (1) имеет решение. Докажем, что при Δ ≠ 0это решение выражается формулами Крамера. Для этого воспользуемся методомисключения неизвестных. Умножим первое уравнение на 22 , второе — на 12 ивычтем из первого уравнения второе.

Тогда переменная сократится, и мы получим(11 22 − 12 21 ) = 1 22 − 2 12 .Аналогично, умножив первое уравнение на 21 , второе — на 11 и вычтя из второгопервое, исключим переменную :(11 22 − 12 21 ) = 11 2 − 21 1 .Полученные равенства можно записать в видеΔ ⋅ = Δ ,Δ ⋅ = Δ .Если Δ ≠ 0, то можно поделить на Δ, и получим формулы Крамера:=Δ,Δ=Δ.ΔИтак, мы доказали, что если Δ ≠ 0 и решение системы (1) существует, то оновыражается формулами Крамера. Из этого следует, что при Δ ≠ 0 система (1) не можетиметь более одного решения.12.

Докажем, что , , полученные по формулам Крамера при Δ ≠ 0, действительноявляются решением системы (1). Для этого достаточно подставить выражениядля , в систему (1) и убедиться, что оба её уравнения обращаются в тождества(сделайте это самостоятельно). Таким образом доказывается существованиерешения. Теорема доказана.В случае Δ = 0 формулы Крамера неприменимы. В этом случае система может неиметь решений (если Δ ≠ 0 или Δ ≠ 0), либо иметь бесконечно много решений (еслиΔ = Δ = 0).Применение определителей 3-го порядка: формулы КрамераРассмотрим систему уравнений с тремя неизвестными11 + 12 + 13 = 1 ,{21 + 22 + 23 = 2 ,31 + 32 + 33 = 3 .(2)Введём обозначения:11 12 13Δ = |21 22 23 | ,31 32 3311 12 1Δ = |21 22 2 |.31 32 31Δ = |231222321323 | ,3311Δ = |21311231323 | ,33Теорема 2.2 (о формулах Крамера для системы из трёх уравнений).

Если Δ ≠ 0, тосистема (2) имеет единственное решение, причём это решение выражаетсяформулами Крамера=Δ,Δ=Δ,Δ=Δ.ΔДоказательство.1. Предположим, что система (2) имеет решение. Докажем, что при Δ ≠ 0 это решениевыражается формулами Крамера. Для доказательства формулы =ΔΔрассмотримопределитель1Δ = |2311 = |21 31 12223212223213 (из системы (2)) 11 + 12 + 13 23 |=|21 + 22 + 23 31 + 32 + 33 331311(св−во 4°)23 |=|21333112223212223213 (св−во 8°)23 |=331323 | ⋅ = Δ ⋅ ,332откуда при Δ ≠ 0 получаем =ΔΔ. Две другие формулы Крамера доказываютсяаналогично.2. Докажем, что если Δ ≠ 0, то , , , задаваемые формулами Крамера, являютсярешением системы (2). Для этого достаточно подставить выражения для , , всистему (2) и убедиться, что все уравнения системы обращаются в тождества.Сделайте это самостоятельно. На этом заканчивается доказательство теоремы.ВекторыОпределения. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, т.е.отрезок, у которого указаны начало и конец.

— конец вектора — начало вектораОбозначение вектора: ⃗⃗⃗⃗⃗, .Длиной вектора ⃗⃗⃗⃗⃗ называется длина отрезка .⃗⃗⃗⃗⃗ |, ||.Обозначение длины вектора: |⃗ ), если его начало и конец Вектор называется нулевым (обозначается 0совпадают. Длина нулевого вектора равна нулю, а направление не определено. Векторы называются коллинеарными (это обозначается ∥ ⃗), если они лежатлибо на одной прямой, либо на параллельных прямых.Замечание.

Согласно этому определению нулевой вектор коллинеарен любомувектору. Векторы называются равными (это обозначается = ⃗), если они коллинеарны,имеют одинаковую длину и одинаковое направление. = ⃗⃗⃗ ≠ ⃗Примечание. Все нулевые векторы считаются равными.Замечание. От любой точки можно отложить единственный вектор ⃗⃗⃗⃗⃗, равныйданному вектору (докажите это). Поэтому мы будем считать равные векторы,отложенные от разных точек, одним и тем же вектором (отождествлять их).3Простейшие операции над векторами1. Сложение векторов.Определение 1 (правило треугольника). Отложим вектор ⃗ от конца вектора .Тогда суммой векторов и ⃗ называется вектор , начало которого совпадает сначалом вектора , а конец — с концом вектора ⃗.

Обозначение: = + ⃗.⃗ = + ⃗Определение 2 (правило параллелограмма). Пусть ∦ ⃗. Отложим векторы и ⃗ от общего начала. Суммой векторов и ⃗ называется вектор , началокоторого совпадает с общим началом векторов и ⃗, а конец — спротивоположной вершиной параллелограмма, построенного на векторах и ⃗.Обозначение: = + ⃗.⃗Замечание. Если ∥ ⃗, то на векторах и ⃗ нельзя построить параллелограмм,и тогда сумма векторов и ⃗ определяется только по правилу треугольника.Упражнение.

Докажите самостоятельно (геометрически), что при ∦ ⃗векторы + ⃗, полученные по правилу треугольника и по правилупараллелограмма, будут равными.Свойства сложения векторов (докажите самостоятельно (геометрически),исходя из определения суммы векторов): для любых векторов , ⃗, 1°) + ⃗ = ⃗ + (переместительное свойство),2°) ( + ⃗) + = + (⃗ + ) (сочетательное свойство),⃗ = , где 0⃗ — нулевой вектор, — произвольный вектор (свойство3°) + 0нулевого вектора),4°) для каждого вектора существует вектор ′ такой, что + ′ = ⃗0(вектор ′ называется вектором, противоположным вектору ).(Соответствующие доказательства«Аналитическая геометрия».)естьвкнигеИльина,Позняка42.

Вычитание векторов.Определение. Разностью векторов и ⃗ называется такой вектор , который всумме с вектором ⃗ даёт вектор : ⃗ + = . Обозначение: = − ⃗. = − ⃗⃗3. Умножение вектора на число.Определение. Произведением вектора на вещественное число называетсявектор ⃗, который1) коллинеарен вектору ,2) имеет длину || ⋅ ||,3) имеет направление, совпадающее с направлением вектора , если > 0, ипротивоположное направлению вектора , если < 0. (Если же = 0, то⃗ — нулевой вектор, направление которого не определено.)Обозначение: ⃗ = .>0<0Свойства операции умножения вектора на число (докажите самостоятельно(геометрически), исходя из определения суммы векторов и произведениявектора на число): для любых векторов , ⃗ и для любых вещественных чисел , 1°) ( + ⃗) = + ⃗ (распределительное свойство относительно сложениявекторов),2°) ( + ) = + (распределительное свойство относительно сложениячисел),3°) () = () (сочетательное свойство),4°) 1 ⋅ = ,5°) 0 ⋅ = ⃗0,6°) ⋅ ⃗0 = ⃗0.Перечисленные свойства сложения векторов и умножения вектора на числопозволяют производить арифметические операции с векторами по правиламобычной алгебры вещественных чисел.5Упражнение.

Докажите самостоятельно (исходя из перечисленных свойств), что1) + (−1) ⋅ = ⃗0, т.е. вектор, противоположный вектору , равен (−1) ⋅ ;2) + (−1) ⋅ ⃗ = − ⃗.Теорема 2.3. Если вектор ⃗ коллинеарен ненулевому вектору , то существуетвещественное число такое, что ⃗ = .⃗ , то равенство ⃗ = выполняется при = 0.Доказательство.

Если ⃗ = 0⃗ . Отложим векторы и ⃗ от общего начала — точки . ПосколькуПусть теперь ⃗ ≠ 0векторы коллинеарны, то они будут лежать на единой прямой . При этом возможнодва случая: направления и ⃗ совпадают или противоположны.⃗⃗⃗||Рассмотрим первый случай, когда векторы и ⃗ направлены одинаково.

Пусть = |⃗|(поскольку — ненулевой вектор, то знаменатель не равен нулю, и такое число существует). Рассмотрим вектор . Докажем, что он равен ⃗. В самом деле, согласноопределению умножения вектора на число, имеем:1) вектор коллинеарен вектору , а следовательно, и вектору ⃗,⃗||2) вектор имеет длину || ⋅ || = |⃗| ⋅ || = |⃗|, т.е. длины вектора и вектора ⃗одинаковы,3) поскольку > 0, то направление вектора совпадает с направлениемвектора , а значит, и вектора ⃗.Согласно определению равных векторов, пп.

1)–3) означают, что векторы и ⃗равны, т.е. ⃗ = , ч.т.д.⃗||Второй случай рассмотрите самостоятельно (подсказка: надо взять = − |⃗|). Теоремадоказана.Замечание. В теореме 2.3 нельзя обойтись без условия ≠ ⃗0, поскольку, если = ⃗0, а⃗ ≠ ⃗0, то векторы и ⃗ коллинеарны, но равенство ⃗ = не может выполняться нипри каком .Следствие. Вектор ⃗ коллинеарен ненулевому вектору тогда и только тогда, когда∃ ∈ ℝ: ⃗ = .6Доказательство. Пусть ⃗ ∥ . Тогда по теореме 2.3 ∃ ∈ ℝ: ⃗ = , ч.т.д.В обратную сторону, пусть ⃗ = . Тогда по определению операции умножениявектора на число ⃗ ∥ , ч.т.д.Линейная зависимость векторовОпределение.