Том 1 (1113042), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Единственна ли такая точка?1 3 . 16 . 1 . Решить задачу, аналогичную задаче 1 3 . 1 6 , для параллелограмма.1 3 . 1 6 . 2 . Решить задачу, аналогичную задаче 1 3 . 1 6 , для произвольного четырехугол�ника.�1 3 . 17. От точки О отложены два ненулевых вектора ОА = а��и ОБ = Ь. Найти какой-нибудь вектор ОМ , идущий по биссектрисе угла АО В .1 3 . 18. В треугольнике АБС проведена биссектриса AD угла���А. Выразить вектор AD через векторы АВ и АС.1 3 . 1 9 . В треугольнике АБС биссектрисы AL и ВК пересе��каются в точке О. Выразить векторы АО и ВО через векторы----t�Ь = АВ и с = АС , если известны длины сторон треугольника:а == I BC I , Ь = I ACI , с = I AB I .
Вывести отсюда теорему о точкепересечения биссектрис в треугольнике.1 3 . 20 . Через точку Р медианы СС1 треугольника АБС проведены прямые АА 1 и ВВ 1 (точки A i и В 1 лежат на сторонах----tВС и СА ) . Доказать, что векторы Ai B 1 и АВ коллинеарны.1 3 . 2 1 . а) Точки А , В и С лежат на одной прямой, а точки A i ,Вдругой прямой. Доказать, что из коллинеарности1 и С---71 на��---7-tАВ 1 и ВА 1 , АС1 и СА 1 следует коллинеарность ВС1 и СВ 1 .б) То ч ки А , В и С лежат на одной прямой, а точки A i , В 1�-t�-t�и С1 таковы, что пары векторов АВ 1 и ВА 1 , АС1 и СА 1 , ВС1-tи СВ 1 коллинеарны.
Доказать , что точки Ai , В 1 и С1 лежат наодной прямой.��1 3 . 2 2 . Пусть АВ = а , АС = Ь - неколлинеарные векторы�и М точка на прямой ВС . Доказать, что АМ = а а + ,В Ь, гдеа + ,В = 1 . Что можно сказать о числах а и ,В, если точка Млежит:--1 23§1 3. Геометрические векторыа) на стороне БС;б) внутри треугольника АБС ;в) вне треугольника АБС ?���1 3 . 23 .
Пусть АВ = а, АС = Ь, AD = с некомпланарныевекторы и М точка плоскости, проходящей через точки Б , С---tи D. Доказать , что А М = а а + ,В Ь + / с , где а + ,В + / = 1 . Чтом ожно сказать о числах а, ,В и { , если точка М лежит:а) на грани БСD ;б ) внутри тетраэдра АБСD ;в) вне тетраэдра АБСD ?��1 3 . 24. На трех некомпланарных векторах АВ = р , A D = q ,----+АА' = r построен параллелепипед АВ С D А' Б' С ' D'. Выразитьчерез р, q и r векторы , совпадающие с ребрами, диагональюпараллелепипеда и диагоналями граней этого параллелепипеда,для которых вершина А' служит началом .1 3 . 25 . В тетраэдре АБСD даны ребра, выходящие из верши���ны А: АБ = Ь , АС = с и A D = d . Выразить через эти векторы�остальные ребра тетраэдра, медиану DM грани БСD и вектор�AQ , где Q - точка пересечения медиан грани БСD.��1 3 . 26. Дан тетраэдр ОАБС .
Полагая ОА = а , ОБ = Ь и���-tОС = с , выразить через а , Ь и с векторы MN, PQ и RS , вкоторых М, Р и R - середины ребер ОА, ОБ и ОС , а N , Q и Sсередины соответствующих противоположных ребер.��1 3 . 27. Дан тетраэдр ОАБС . Полагая ОА = а , ОБ = Ь и�----tОС = с , выразить через а , Ь и с вектор EF, в котором Е - середина ребра ОА, а F - точка пересечения медиан треугольника---АБС .1 3 . 28 . Даны радиус-векторы r 1 , r2 , rз трех последовательн ых вершин А, Б и С параллелограмма.
Найти радиус-векторчетвертой вершины D .1 3 . 29 . Зная радиус- векторы r 1 , r 2 , rз вершин треугольника,н айти радиус-вектор точки пересечения его медиан.1 3 . 30. Зная радиус-векторы r1 , r2 , rз трех последовательных вершин параллелограмма, найти радиус-вектор r точки пересечения диагоналей параллелограмма.1 3 .
31 . Даны три последовательные вершины трапецииА ( r 1 ) , Б ( r 2 ) и С ( rз ) . Найти радиус-векторы: r4 четвертой вер-1 24Глава IV. Введение в теорию линейных пространствшины D , r' точки пересечения диагоналей и r" точки пересечения боковых сторон, зная, что основание AD в Л раз большеоснования ВС.1 3 . 32 . Зная радиус-векторы r л , r в , Г D и Г А' четырех вершин параллелепипеда ABCDA' В'С' D' , найти радиус-векторычетырех остальных его вершин.���1 3 . 33. Радиус-векторы ОА = r 1 , О Б = r 2 и ОС = r з служат ребрами параллелепипеда.
Найти радиус-вектор точки пересечения диагонали параллелепипеда, выходящей из вершиныО , с плоскостью, проходящей через вершины А , В и С.1 3 . 33 . 1 . Зная радиус-векторы r 1 , r 2 , rз , r4 вершин тетраэдра, найти радиус-вектор точки пересечения отрезков , соединяющих середины его противоположных ребер.1 3 . 34. Известно, что ( АБС ) = Л. Найти ( САВ ) .1 3 . 35 .
Известно, что ( АВР ) = Л , ( ABQ ) = µ . Найти ( Р RQ) ,если точка R делит отрезок АВ в отношении v .1 3 . 35 . 1 . Известно, что ( АВР ) = Л, (ABQ) = µ. Найти (ABR) ,если точка R является серединой отрезка PQ .1 3 . 36. Доказать, что если точки К, L , М , N делят в одном итом же отношении Л стороны АВ , ВС , CD , DA параллелограмма ABCD, то четырехугольник KLMN есть параллелограмм .Показать, что если Л -=/= 1 и четырехугольник К L M N являетсяпараллелограммом , то четырехугольник ABCD также параллелограмм .1 3 .
37. Дан тетраэдр ABCD . Найти точку М , для которой---t-+��мл + мв + мс + мп == о .1 3 . 38. От точки М отложены три ненулевых вектора х , у ,z , сумма которых равна нулевому вектору. Зная углы а , {3 , тмежду векторами у и z , z и х , х и у соответственно , найтиотношения длин этих векторов 1 x l : 1 : 1 z l .1 3 . 39 . От точки М , лежащей в плоскости треугольника АБС ,---tотложены три ненулевых вектора х , у, z , сонаправленных МА,� -+МВ , МС соответственно и таких, что х + у + z = О. Найтиотношение длин этих векторов 1 x l : 1 : 1 z l , если :а) точка М является центром окружности, описанной околотреугольника АБС ;б) точка М является центром окружности , вписанной в треугольник АБС;-YIYI§ 1 4 .
Вещественное линейное пространство1 25в) точка М является точкой пересечения высот треугольникаАБС , а сам треугольник АБС остроугольный.1 3 . 40. Найти точку М , лежаI.Цую в плоскости треугольникаАБС , если сумм а трех ненулевых векторов с равнымидлина���ми, отложенных от этой точки и сонаправленных МА, МВ , МСсоответственно , равна нулевому вектору.1 3 .4 1 . Даны два треугольника АБС и А' В'С'. Выразить вектор ММ' , соединяющий точки пересечения медиан этих тре���'угольников, через векторы АА , ВВ' , СС' .1 3 .42 .
В прямоугольном треугольнике АБС опущен перпен�дикуляр С Н на гипотенузу АВ. Выразить вектор С Н через век��торы СА и СВ и длины катетов I B C I = а и \ CA I = Ь .1 3 .43. Зная радиус-векторы r 1 , r 2 , r з вершин треугольникаАБС и длины а, Ь, с сторон, противолежащим соответствующимвершинам , найти радиус-вектор r центра круга, вписанного вэтот треугольник.1 3 .44. Зная радиус-векторы r 1 , r 2 , r з вершин треугольникаАБС и его внутренние углы, найти радиус-вектор r основанияперпендикуляра, опущенного из вершины А на сторону ВС .1 3 .45 . Доказать, что отрезки прямых, соединяющих середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются в однойточке и делятся этой точкой пополам .
Доказать также, что в тойже точке пересекаются отрезки прямых, соединяющих вершинытетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней, и делятся этой точкой в отношении 3 : 1 ( считая от вер:µ:rин) .1 3 .46. Доказать, что каково бы ни было конечное множество точек А 1 , А 2 , . . .
, А п (на прямой, на плоско сти или в пространстве) , существует и притом только одна такая точка М , чтоМА 1 + МА 2 + . . . + МА п = О.§ 14.Вещественное линейное пространствоНепустое множество V называется вещественнuм линеuн'Ым простrюнством, если на нем заданы два закона композиции:внутренний закон композиции, называемый сложением и подчиненныйаксиомам:1) а + Ь = Ь + а, Va, Ь Е ( аксиома коммутативности ) ,2) (а + Ь) + с = а + (Ь + с) , Va, Ь, с Е V ( аксиома ассоциативности ) ,3) () Е : а + () = а, Va ЕV3 VV,Глава IV. Введение в теорию линейных пространств1 264) V a E V 3 ( - a ) E V : a + ( - a ) = B ;внешний закон композиции, называемый умножением элемента а на число а Е IR и подчиненный аксиомам:5) 1 · а == а, \/а Е V ,6) (оJЗ) а == а ({За) , Va, f3 Е IR, \/а Е V ;и если эти законы связаны между собойаксиомами:7) ( а + {З) а = аа + {З а , \/а, {3 Е IR , Va Е V (аксиома дистрибутивностиумножения на число относительно сложения чисел) ,8) а ( а + Ь) == аа + аЬ, Va Е IR, \/а, Ь Е V (аксиома дистрибутивностиумножения на число относительно сложения элементов V ) .Элементы линейного пространства называются векторами, а само линейное пространство называют также векторнъш простIJанством.Вектор () называется нулевъш вектором пространства, а вектор ( -а ) противоположнъtм к вектору а .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
