Экзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр, страница 7

Так как g (х) → 0 при х→ ∞, то по данному ε можновыбрать В так, что при А1 ≥ B выполняется неравенство g(А1)<ε/(2K)=> из неравенства (5) => для ∀ А1>В и A2>В выполняется�∫ 2 () ()� < => по критерию Коши (4) сходится.1О4. Пусть f (х) определена на прямой ‒∞ < х<+∞ и интегрируема накаждом сегменте, принадлежащем этой прямой.

Функция f (х)интегрируема по Коши, если Ǝ lim ∫− () (в симметричных→+∞пределах). Этот предел называется главным значениемнесобственного интеграла от f (х) (в смысле Коши):. . �+∞−∞() = lim � () →+∞ −У3. Пусть f (х) интегрируема на каждом сегменте прямой‒∞< х <+∞. Если f (х) нечетна, то она интегрируема по Коши и главноезначение интеграла от нее равняется 0.

Если f (х) четна, то она+∞интегрируема по Коши  сходится НСИ ∫0 () .1‒я часть очевидна. Для док‒ва 2‒й части воспользоватьсяравенством ∫− () = 2 ∫0 () , справедливым для любойчетной функции, и О1 сходимости НСИ.14. Метод хорд и его обоснование.Послед‒сть х0, х1, .... хп, ... называется итерационной, если для ∀ п ≥1хп выражается через хп‒1 по рекуррентной формуле хп = F (хп‒1),х0 ‒ ∀ число из области задания F(х).У1. Пусть F (х) непрерывна на [а, b] и пусть все элементыитерационной послед‒ти х0, х1, .... хп, ...

лежат на [а, b]. Тогда, если{хn} → с, то число с является корнем уравнения х = F (х).Док‒во. {хn} → с и все хп ∈[а, b] => с ∈[а, b]. F (х) непрерывна в с =>{ F (хп)} → F (с) => равенство хп = F (хп‒1) в пределе при п →∞переходит в с = F (с) => с ‒ корень уравнения х = F (х).Метод хорд. Пусть искомый корень с уравнения f (х) = 0 изолированна[а, b], х0 ∈ [а, b] ‒ 0‒е приближение корня, обозначим А0 = f (x0),В = f (b). Проведем через точки А0 и В хорду A0 В и возьмем за 1‒еприближение абсциссу x1 точки пересечения этой хорды с осью Ох.Далее проведем хорду через точки А1 с абсциссой х1 и В.

За 2‒еприближение возьмем абсциссу х2 точки пересечения хорды А2 В сосью Ох. Продолжая этот процесс неограниченно, построимпослед‒сть х0, х1, х2, .... хп, ... приближенных значений искомогокорня. Уравнение хорды, проходящей через точки Ап (хп, f (хп)) и В(b,f (b)):( − )( ) − − ( )==> +1 = −()() − ( )() − ( ) − абсцисса хn+1 точки пересечения этой хорды с осью Ох. (3) определяеталгоритм метода хорд.Обоснование метода. Пусть искомый корень с уравнения f (х) = 0изолирован на [а, b], на котором f (х) имеет монотонную 1‒юпроизводную, сохраняющую постоянный знак. f '(х) непрерывна, ибоона не может иметь точек разрыва 1‒го рода, а монотонная функциядругих точек разрыва не имеет.

Пусть эта f '(х) >0 и не убывает на [а,b]. Уравнение( − )() = (),где () = −()() − ()имеет на [а, b] только 1 корень с, совпадающий с корнем ур-ния f (х)= 0 (при этом считаем, что F(b) = b ‒ f (b) / f '(b) => F(х) будет непрерывна на всем [а, b])=> вместо уравнения f (х) = 0 можно решатьуравнение (4) => взять х0 = а и построить итерационную послед‒сть( − )( )()+1 = ( ) = −() − ( )Рекуррентная формула (5) ≡ рекуррентной формуле (3).Докажем, что {хn} → с. Если для некоторого номера п окажется, чтохп = с, где с ‒ искомый корень, то f (хn) = f (с) = 0 и из (5) => хп+1 = с=> аналогично хп+2 = хп+3 = ... = с, т. е. {хn} →с.Докажем, что если а ≤ хп ≤ с, то а ≤ хп ≤ хп+1 ≤ с.

Пусть а ≤ хп ≤ с. Из(5), учитывая, что f (с) = 0:( − )( )( − )[() − ( )]+1 − = −==[() − ()] + [() − ( )]() − ( )= (Применяя к выражениям в [ ] Т. Лагранжа)=( − ) ′ ( )( − )()=( − ) ′ (∗ ) + ( − ) ′ ( )**где хп< ξn < с, с < ξn < b => ξn < ξn . Т.к. f ' (х) >0 и не убывает = >0 < f '(ξn) ≤ f '(ξn*) =>дробь в правой части (6) > 0 и ≤ 1,(т.к. (b ‒ с) f '(ξn*) + (с ‒ хп) f '(ξn) ≥ [(b ‒ с) + (с ‒ хп)] f '(ξn) = (b ‒ хп) f'(ξn) ) => 0 ≤ хп+1 ‒ хп ≤ с ‒ хп, => хп ≤ хп+1 ≤ с => и из того, что х0 = а=> все хп ∈ [а, с] (и тем более ∈ [а, b]) и послед‒сть {хn} являетсянеубывающей (=> и сходящейся).

В силу У1 {хn} → с.З1. Еще 3 случая: 1) f '(x) < 0 и не возрастает на [а, b] (все делатьтакже), 2) f '(x)>0 и не возрастает на [а, b], 3) f '(x) <0 и не убываетна [а, b].В случаях 2) и 3) уравнение f (x) = 0 заменяется уравнением( − )() = (),где () = −() − ()и нулевое приближение точка х0 = b (при этом {хп} ‒невозрастающая).З2. Оценка отклонения n‒го приближения хn от точного значениякорня с. Т. Лагранжа к f (хп) = f (хп) ‒ f (с) => f (хп) = (хп ‒ с) f ' (ξn) =>|( )|| − | ≤, − min| ′ ()| на [, ]15.

Метод касательных и его обоснование.Послед‒сть х0, х1, .... хп, ... называется итерационной, если для ∀ п ≥1хп выражается через хп‒1 по рекуррентной формуле хп = F (хп‒1),х0 ‒ ∀ число из области задания F(х).У1. Пусть F(х) непрерывна на [а, b] и пусть все элементыитерационной послед‒ти х0, х1, .... хп, ... лежат на [а, b]. Тогда, если{хn} → с, то число с является корнем уравнения х = F (х).Док‒во. {хn} → с и все хп ∈[а, b] => с ∈[а, b]. F (х) непрерывна в с =>{ F (хп)} → F (с) => равенство хп = F (хп‒1) в пределе при п →∞переходит в с = F (с) => с ‒ корень уравнения х = F (х).У2. Пусть с ‒ корень х = F (х) и пусть в некотором [с ‒ ε, с + ε]|F'(х)|≤ α < 1. Тогда {хn} → с (х0 ‒ ∀ число из [с ‒ ε, с + ε]).Док‒во.

х0 ∈ [с ‒ ε, с + ε] => пусть хп‒1 ∈ [с ‒ ε, с + ε], надо доказать,что хп ∈ [с ‒ ε, с + ε]. По Т. Лагранжа и учитывая, чтоF (с) = с, хп = F (хп‒1) :xn ‒ c = F(xn‒1) ‒ F(c) = F'(ξ)(xn‒1 ‒ c) (1)где xn‒1 < ξ < c => ξ ∈ [с ‒ ε, с + ε]. |F'(х)|≤ α < 1=> из (1)|xn ‒ c| ≤ α|xn‒1 ‒ c| (2) => |xn ‒ c| < |xn‒1 ‒ c| => ∀ хп расположен к сближе, чем предыдущий хn‒1 => т.к. хп‒1 ∈ [с ‒ ε,с+ε] и т. к. сегментсимметричен относительно с, то хn ∈ [с ‒ ε, с + ε] => все {xn} ∈ [с ‒ ε,с + ε]. Докажем, что {хn}→с. (2) справедливо для ∀ п=> |xn ‒ c| ≤ αn|x0‒ c| => т.к. αn → 0, то xn → c.Метод касательных.

Пусть искомый корень с уравнения f (х) = 0изолирован на [а, b]. Пусть 0‒е приближение искомого корня х0 ∈ [а,b] и В0 = f (х0). Проведем через В0 касательную к графику функции ивозьмем за 1‒е приближение абсциссу х1 точки пересечения этойкасательной с осью Ох. Далее проведем касательную через В1 сабсциссой х1 и возьмем за 2‒е приближение абсциссу x2 точкипересечения этой касательной с осью Ох.

Продолжая, построимпослед‒сть х0, х1, .... хп, ... приближенных значений искомого корня.Возьмем уравнение Y ‒ f (хп) = f '(хп) (х ‒ хп) касательной в Вп ивычислим абсциссу хп+1 точки пересечения этой касательной с осьюОх => получим формулу алгоритма метода касательных:( )+1 = − ′() ( )Обоснование метода.1°. Пусть корень с уравнения f (х) = 0 изолирован на [а, b], где f (х)имеет f '(х) ≠ 0 и ограниченную f (2)(х).

Докажем, что в этом случае Ǝтакая малая окрестность корня с, что если 0‒е приближение х0 лежитв этой окрестности, то {хп} → с. Уравнение() = (),где () = − ′() ()имеет на [а, b] только 1 корень с, совпадающий с корнем уравненияf (х) = 0 => вместо f (х) = 0 можно решать уравнение (4) => взявнекоторое х0, построим итерационную послед‒сть( )+1 = ( ) = − ′() ( )Рекуррентная формула (5) ≡ рекуррентной формуле (4).В силу требований, наложенных на f (х), Ǝ т > 0 и N > 0: всюду на[а, b] | f '(х)|≥ m>0 и | f '' (х)| ≤ N.

Т.к.[ ′ ()]2 − () ′′ () () ′′ () ′ () = 1 −==>[ ′ ()]2[ ′ ()]2|()|| ′ ()| ≤()2Из непрерывности f (х) => в некоторой ε‒окрестности корня с2|()| ≤ ()где α ‒ фиксированное число: 0 < α < 1 . Из (6) и (7) => всюду вε‒окрестности корня | ′ ()| ≤ < 1 => если взять x0 из этойокрестности, то по У2 {хn} →с.З1. Оценка погрешности. Разложим f (х) в окрестности хп по формулеТейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:f (x) = f (хп) + f '(хп)(x ‒ хп) + 1/2 f ''(ξ)(x ‒ xn)2 . Полагая х = с и учитываяf (с) = 0: 0 = f (хп) + f '(хп)(c ‒ хп) + 1/2 f ''(ξ)(c ‒ xn)2 Вычитая изпоследней формулы ф‒лу f (хп) + f '(хп)(xn+1 ‒ хп) = 0, котораявытекает из (5), получим1 ′′ ()( − )2 => |+1 − | ≤+1 − =| − |22 ′ ( ) 2 Последовательно применяя эту оценку для п =0, 1, 2, ....

получим: |+1 − | ≤ � � | − |222°. Пусть корень с уравнения f (х) = 0 изолирован на [а, b], где f (х)имеет монотонную f '(х), сохраняющую постоянный знак. f '(х)обязательно непрерывна, ибо она не может иметь точек разрыва 1‒города, а монотонная функция других точек разрыва не имеет. Пустьf '(х) > 0 и не убывает на [а, b].Докажем, что если х0 = b, а xn+1 определяется через хп с помощьюформулы (5), то {хn}→ с.