Экзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр, страница 8

Если для некоторого номера п окажется, чтохп = с, где с ‒ искомый корень, то f (хn) = f (с) = 0 и из (5) =>хп+1 = с => аналогично хп+2 =хп+3 =...= с, т. е. {хn} →с.Докажем, что если c ≤ хп ≤ b, то c ≤ хп+1 ≤ хп ≤ b. Из (5) и f (с) = 0:( ) − () ′ ( )( − с) () − +1 == (Т Лагранжа) = ′′ ( ) ( ) где с< ξn < хп. Т.к. f '(х)>0 и не убывает = > 0<′ ( ) ′ ( )≤ 1 =>0 ≤ хп ‒ хп+1 ≤ хп ‒ с, => c ≤ хп+1 ≤ хп => из х0 = b =>хп ∈[с, b] (и тем более ∈[а, b]) и {хn} является невозрастающей (исходящейся).

По У1 {хn} → с.З2. Еще 3 случая: 1) f '(х)<0 и не возрастает на [а, b] (все также),2) f '(х)>0 и не возрастает на [а, b], 3) f '(х)<0 и не убывает на [а, b].В 1) х0 = b, а в 2) и 3) х0 = а. Это обеспечит {xn} ∈ [а, b] и {xn}→ c.З3. Оценка отклонения n‒го приближения от точного значения корняс. Т. Лагранжа к f (хп) = f (хп) ‒ f (с) => f (хп) = (хп ‒ с) f ' (ξn) =>|( )|| − | ≤, − min| ′ ()| на [, ]16.

Приближенные методы вычисления определенныхинтеграловПусть требуется вычислить интеграл ∫ () . (1)Метод трапеций. Разобьем [a, b] на п равных частей точками а = х0<х1 < ... < хп = b. Метод трапеций: замена интеграла (1) суммой−[�(0 ) + (1 )� + �(1 ) + (2 )� + ⋯ + ((−1 ) + ( )]2−1−=�() + () + 2 � ( )�2=1площадей трапеций с основаниями, равными f (xk ‒1) и f (хk), и свысотами, равными xk ‒ xk ‒1= (b‒a)/n => формула трапеций� () =−1−�() + () + 2 � ( )� + 2()=1Докажем: если f (х) имеет на [a, b] непрерывную f (2)(х), то Ǝη∈[a, b]:( − )3 (2)()=− ()122+ℎОценим интеграл ∫−ℎ () , считая, что f (х) имеет на[‒h, +h] непрерывную 2‒ю производную.Подвергая следующий интеграл двукратному интегрированию почастям, получим+ℎ+ℎ′� (2) ( 2 − ℎ2 ) = [′() ( 2 − ℎ2 )]|+ℎ−ℎ − 2 � () =−ℎ+ℎ= −[2()]|+ℎ−ℎ + 2 � () =−ℎ+ℎ= −2[(−ℎ) + (+ℎ)]ℎ + 2 � ()ℎ� () =−ℎ−ℎ(−ℎ) + (ℎ)2ℎ + 21где = − (2) ()(2ℎ)312(−ℎ)+(ℎ)−ℎ=>()(−ℎ ≤ ≤ ℎ)()Т.к.

величина2ℎ представляет собой площадь трапеции,2то (5) и (6) доказывают, что ошибка, совершаемая при заменеℎ3∫−ℎ () этой площадью, имеет порядок h .Для вычисления интеграла (1) представим этот интеграл в видесуммы достаточно большого числа п интегралов12� () + � () + ⋯ + �01−1()Применяя к каждому из этих интегралов формулы (5) и (6), получим(3) с остаточным членом (4).Метод прямоугольников.

Разобьем [a, b] на п равных частейточками а = х0 <х1 < ... < хп = b. Пусть x2k‒1 ‒ средняя точка [x2k‒1, x2k].Метод прямоугольников: замена интеграла (1) суммой−[(1 ) + (3 ) + ⋯ + (2−1 )]площадей прям‒ков с высотами, = f (x2k ‒1), и основаниями, равнымиx2k ‒ x2k ‒1= (b ‒a )/n => формула прямоугольников−[(1 ) + (3 ) + ⋯ + (2−1 )] + ()� () =Если f (х) имеет на [a, b] непрерывную 2‒ю производную, тоƎ η ∈ [a, b]:( − )3 (2)= ()242Ошибка метода прямоугольников имеет порядок h3.Метод парабол.

Разобьем [a, b] на п равных частей при помощиточек а = х0 < х2 < ... < х2п = b и х2k ‒1 ‒ середина [х2k‒2, х2k]. Методпарабол заключается в замене интеграла (1) суммой площадей фигур,представляющих собой криволинейные трапеции, лежащие подпараболами, проходящими через 3 точки графика функции f (х) сабсциссами х2k ‒2, х2k ‒1, х2k:−{[(0 ) + 4(1 ) + (2 )] + [(2 ) + 4(3 ) + (4 )] + ⋯ +6+[(2−2 ) + 4(2−1 ) + ( )]} ==−1−1=1=0−�() + () + 2 � (2 ) + 4 � (2+1 )�6=> справедлива формула парабол или формула Симпсона:� () =−1−1−�() + () + 2 � (2 ) + 4 � (2+1 )� + 6=1=0Если f (х) имеет на [a, b] непрерывную 4‒ю производную, тоƎ η ∈ [a, b]:( − )5 (4)=− ()28804Ошибка метода парабол имеет порядок h5.17.

Различные множества точек и последовательности точекп‒мерного пространства. Теорема Больцано‒Вейерштрасса.Мн‒во всех упорядоченных совокупностей ( х1, ..., хт ) т чисел х1, ..., хтназывается т‒мерным координатным пространством Ат .Координатное пр‒во Ат называется т‒мерным евклидовымпр‒вом Ет, если между ∀ 2-мя точками М' (х1', .... х'т) иМ" (х1", ..., хт") пр‒ва Ат определено расстояние :′′ − ′ )2(′ , ′′) = �(1′′ − 1′ )2 + ⋯ + (()1°. {М}: ρ(М, М0) ≤ R2 ‒ т‒мерный шар радиуса R с центром в М0.Если ρ(М, М0) < R2, то {М} ‒ открытый т‒мерный шар.2°.

{М}: ρ(М, М0) = R2 ‒ т‒мерная сфера радиуса R с центром вточке М0.3°. Мн‒во {М}: |х1 — x10| ≤ d1 ,…, |хm — xm0| ≤ dm ‒т‒мерный координатный параллелепипед. М0 (x10, ..., xm0 ) ‒ егоцентр. Если неравенства строгие, то {М} ‒ открытый парал-пед.ε‒окрестность точки М0 т‒мерного евклидова пр‒ва Ет ‒открытый т‒мерный шар радиуса ε с центром в М0. Прямоугольнаяокрестность М0 ‒ ∀ открытый т‒мерный координатныйпараллелепипед с центром в М0.У. ∀ ε‒окрестность М0 евклидова т‒мерного пр‒ва Ет содержитнекоторую прямоугольную окрестность этой точки. ∀ прямоугольная окрестность М0 содержит некоторую ε‒окрестность М0.М ‒ внутренняя точка {М}, если Ǝ некоторая ε‒окрестность М, всеточки которой ∈{М}.

Точка М ‒ граничная точка {М}, если∀ ε‒окрестность M содержит точки, ∈ {М} и ∉ {М}. Мн‒во {М}пр‒ва Ет называется открытым множеством или областью, если∀ точка этого мн‒ва внутренняя. Если ∀ граничная точка {М}является точкой этого мн‒ва, то {М} ‒ замкнутое. Если {М} ‒область, то {}, полученное присоединением к {М} всех егограничных точек, ‒ замкнутая область. Если все точки области {М}находятся внутри некоторого шара, то {М} ‒ограниченная.Непрерывной кривой L в пр‒ве Е т называется мн‒во {М} точекпр‒ва, координаты х1, ..., хт которых являются непрерывнымифункциями параметра t : x1 = φ1(t), …, xm = φm(t), α ≤ t ≤ β (2)Точки М' (х1', ....

х'т) и М" (х1", …, хт") пр‒ва Ет можно соединитьнепрерывной кривой L, если Ǝ такая непрерывная кривая L,определяемая (2) иx1' = φ1(α), …, xm' = φm(α)x1'' = φ1(β), …, xm'' = φm(β)Мн‒во {М} пр‒ва Ет называется связным, если 2 ∀ его точки можносоединить непрерывной кривой, все точки которой ∈ {М}.Окрестностью М называется ∀ открытое связное множество,содержащее М.Последовательность {Мn } точек Е т называется сходящейся, если Ǝтакая точка А, что для ∀ ε >0 Ǝ N=N(ε) : при п ≥ N выполняется ρ(Мп , А) < ε. А ‒ предел последовательности {Мn }.Л1. Пусть послед‒сть {Мп} точек Ет : {Мп} → А. Тогда послед‒стикоординат точек Мп : { х1(n)}→ а1, …, { хm(n)}→ ат , где а1, …, ат ‒координаты А, и наоборот, если послед‒сти координат точек Мп :{ х1(n)}→ а1, …, { хm(n)}→ ат , то послед‒сть {Мп} → А скоординатами а1, ..., ат .Док‒во.

1. Если {Мп} →А, то для ∀ ε > 0 Ǝ N : при п ≥ N выполняетсяρ (Мп , А) < ε. Пусть ( х1(n), …, хm(n)) ‒ координаты Мn, а (а1, ..., ат) ‒координаты А => ρ (Мп , А) < ε можно записать:()�(1() − 1 )2 + ⋯ + (− )2 < => при ≥()() �1 − 1 � < , … , �()()�1 � → 1 , … , � � → ()− � < =>2.Пусть { х1(n)}→ а1, …, { хm(n)}→ ат => для ∀ ε > 0 Ǝ N1, …, Nт : прип1 ≥ N1 , …, пm ≥ Nm выполняются()()|1 − 1 | <, … , | − | <√√=> при п ≥ N = max { N1, …, Nт } выполняется (3) => при п ≥ Nтвыполняется ρ (Мп , А) < ε, где А ‒ точка Е с координатами а1, ..., ат=> {Мп} → А •Послед‒сть {Мп} точек Е т называется фундаментальной илипоследовательностью Коши, если для ∀ ε > 0 Ǝ N : при п ≥ N и для∀ ∈ ℕ выполняется ρ (Мn+р, Мn) < ε.Критерий Коши.

Чтобы послед‒сть {Мп} точек Е т быласходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она былафундаментальной.Из фундаментальности {Мn} <=> { х1(n)}, …, { хm(n)} такжефундаментальны. Затем применить критерий Коши для числовыхпослед‒стей к послед‒стям координат точек {Мn} и лемму 1.Послед‒сть {Мn} точек Е т называется ограниченной, еслиƎ а > 0: для ∀ п выполняется ρ (О, Мn ) ≤ а, где О ‒ точка скоординатами (0, …,0).Т Больцано‒Вейерштрасса.

Из ∀ ограниченной послед‒сти {Мn}точек Е т можно выделить сходящуюся подпоследовательностьДок‒во. {Мn} ограничена => для ∀ п выполняется ρ (О, Мn ) ≤ а.22()()()()(, ) = �1 + ⋯ + => ∀ �1 � ≤ , … , � � ≤ (n)(n)=> { х1 }, …, { хm } координат точек Мп ограничены. По теореме()Больцано ‒ Вейерштрасса для числовых послед‒стей из �1 � можно�1 �выделить �1�1 �� → а1. Из соответствующей подпосл‒сти �2�послед‒сти 2‒х координат точек Мn можно выделить подпосл‒сть�2 ��2�1 ��1�2 �� → а2. При этом подпосл‒сть �1�2 �� сходится к числу а1 => �1� последовательности�2 �� → 1 , �2� → 2 . Про-� �должая, получим подпосл‒сть � � → послед‒сти m‒х� �координат точек Мn , причем �1 � → 1 ,� �… , � � → => по Л1, подпосл‒сть � � → А (а1, ..., ат)•З.

Если {Мп} ⊂{М}, где {М} ‒ замкнутое мн‒во, и {Мп} → A, тоA ∈{М}, т.к. в ∀ ε‒окрестности точки А есть точки Мn ∈{М} => точкаА ‒ либо внутренняя, либо граничная точка {М} => A ∈{М}.18. Понятие функции п переменных и ее предельного значения.Мн‒во всевозможных упорядоченных совокупностей ( х1, ..., хт ) тчисел х1, ..., хт называется т‒мерным координатным пр‒вом Ат .Координатное пр‒во Ат называется т‒мерным евклидовым пр‒вомЕт, если между ∀ двумя точками М' (х1', .... х'т) иМ" (х1", ..., хт") координатного пр‒ва Ат определено расстояние :′′ − ′ )2(′ , ′′) = �(1′′ − 1′ )2 + ⋯ + (Если каждой точке М из {М} точек Ет ставится в соответствие поизвестному закону некоторое число и, то говорят, что на мн‒ве {М}задана функция и = и (М) или и = f (М). {М} ‒ область заданияфункции и = f (М).