Экзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр, страница 5

Тогдаl*(ti) ≤ l (ti).Док‒во. Пусть к Т* добавляется 1 точка γ. Ломаная, отвечающая Т,отличается от ломаной, отвечающей Т*, тем, что 1 звено Мi‒1 Мiзаменяется двумя звеньями Мi‒1 C и СМi. Т.к. длина стороныМi‒1 Мi треугольника Мi‒1 CМi не превосходит суммы длин двухдругих его сторон, то l*(ti) ≤ l(ti).Достаточные условия спрямляемости кривой.Т1. Если x = φ(t), y = ψ(t) имеют на [α, β] непрерывные производные, то кривая L, определяемая параметрическими уравнениями (1),спрямляема и длину L ее дуги можно вычислить по формуле = � �′2 () + ′2 ()()Док‒во. 1)Докажем, что кривая L спрямляема.x = φ(t), y = ψ(t) имеют на [α, β] производные => по Т. Лагранжа:( ) − (−1 ) = ′ ( )Δ ,где −1 < < ( ) − (−1 ) = ′ (∗ )Δ ,где −1 < ∗ < Подставим в (2):( ) = � �′2 ( ) + ′2 (∗ )Δ=1()Т.к.

производные φ(t), ψ(t) непрерывны => эти производныеограничены => ƎМ : для ∀ t ∈[α, β]: | φ' (t) | ≤ М и | ψ' (t) | ≤ М => из(4)=1=10 < ( ) ≤ � �2 + 2 Δ = √2 � Δ = √2( − )=> мн‒во {l (ti)} длин вписанных в L ломаных, отвечающихвсевозможным Т сегмента [α, β], ограничено => L спрямляема.2)Пусть l ‒ длина L. Правая часть (4) похожа на интегр. сумму{ , } = � �′2 ( ) + ′2 ( )Δ=1()интегрируемой функции �′2 () + ′2 (), причем эта { , }отвечает разбиению Т сегмента [α, β] и данному выбору точек τi на[ti‒1, ti].Докажем : для ∀ ε > 0 Ǝ δ > 0, что при Δ < δ (Δ = max Δti):| l (ti) ‒ I| < ε/2(6)где = ∫ �′2 () + ′2 () ‒ предел при Δ→ 0 интеграль-ныхсумм (5).

Т.е., докажем, что при достаточно «мелких» разбиениях Тсегмента [α, β] длины l (ti) ломаных, вписанных в L, и отвечающихэтим разбиениям, как угодно мало отличаются от интеграла I,стоящего в правой части (3).��′2 ( ) + ′2 (∗ ) − �′2 ( ) + ′2 ( )� ≤≤ | ′ (∗ ) − ′ (∗ )| ≤ − ()где Мi и mi ‒ точные грани ψ '(t) на [ti‒1, ti]. В силу (4), (5) и (7):|( ) − { , }| = �� ��′2 ( ) + ′2 (∗ ) − �′2 ( ) + ′2 ( )� Δ �=1≤ � ��′2 ( ) + ′2 (∗ ) − �′2 ( ) + ′2 ( )� Δ ≤=1≤ �( − )Δ = − ()=1где S и s ‒ верхняя и нижняя суммы ψ '(t) для разбиения [α, β].

Т. к.ф‒и �′2 () + ′2 () и ψ'(t) интегрируемы на [α, β] (это => изнепрерывности φ '(t) и ψ '(t) на [α, β]), то из определенияинтегрируемости и из теоремы (Чтобы ограниченная на [а, b] f (х)была интегрируемой на [а, b], необходимо и достаточно, чтобы для∀ ε > 0 Ǝ Т сегмента [а, b], для которого S ‒ s ≤ ε) => что для ∀ ε > 0Ǝ δ > 0, что при Δ < δ (Δ = max Δti) выполняются :| I{ ti, τi } ‒ I |< ε/4 и S ‒ s < ε/4 (9)=> при Δ < δ в силу (8) и (9):| l(ti) ‒ I| = | l(ti) ‒ I{ ti, τi }+ + I{ ti, τi } ‒ I| ≤≤ | l(ti) ‒ I{ ti, τi }| +| I{ ti, τi } ‒ I| ≤ ε/4+ ε/4 = ε/2 => (6) 3)Докажем, чтосреди всевозможных ломаных, длины l (ti) которых удовлетворяют(6), имеются ломаные, длины которых отличаются от длины l дугикривой L меньше чем на ε/2.Т.

к. l ‒ ТВГ {l (ti)} длин ломаных, вписанных в L, и отвечающихвсевозможным разбиениям [α, β], то Ǝ Т* сегмента, что длина l*(ti)соответствующей ломаной : 0 ≤ l ‒ l*(ti) < ε/2 (10).Разобьем каждый [ti‒1, ti] разбиения Т* на столь мелкие части, чтобымаксимальная длина разбиения полученного объединениемуказанных разбиений была Δ < δ. Длина l(ti) ломаной, отвечающейразбиению Т, удовлетворяет (6). Т.к. вершины ломаной, отвечающейразбиению Т*, являются также вершинами ломаной, отвечающейразбиению Т, то по лемме:0 < l*(ti) ≤ l (ti) ≤ l => в силу (10): 0 ≤ l ‒ l (ti) < ε/2 (11)Из (6) и (11) => |l ‒ I| < ε => в силу произвольности ε => l = I.Замечание.

Если кривая L является графиком функции у = f (х),имеющей на [a, b] непрерывную производную f '(х), то кривая Lспрямляема и длина l дуги L, может быть найдена по формуле = � �1 + ′2 ()()График этой функции ‒ кривая, определяемая уравнениями х = t,у = f (t), a ≤ t ≤ b и выполнены все условия Т1=> полагая в (3) φ(t)=t,y = f (t) и заменяя t на х, мы получим (12).Если кривая L определяется полярным уравнением r = r (θ),θ1 ≤ θ ≤ θ2 и r(θ) имеет на [θ1, θ2] непрерывную производную, токривая L спрямляема и длину l дуги L можно найти по формуле2 = � � 2 () + ′2 ()1()Для док‒ва перейти от полярных координат к декартовым:x = r(θ)cosθ, y = r(θ)sinθ ‒ это параметрические уравнения, функцииφ = r(θ)cosθ, ψ = r(θ)sinθ удовлетворяют условиям Т1. Подставляя ихв (3), получим (13).10.

Понятие квадрируемости плоской фигуры. Площадькриволинейной трапеции и криволинейного сектора.Плоская фигура Q ‒ части плоскости, ограниченная простойзамкнутой кривой L. Кривая L ‒ граница фигуры Q. Многоугольник ‒часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной линией.Многоугольник вписан в фигуру Q, если ∀ точка этогомногоугольника принадлежит Q или ее границе.

Если все точкиплоской фигуры и ее границы принадлежат некоторомумногоугольнику, то указанный многоугольник описан вокруг Q.Площадь ∀ вписанного в Q многоугольника не больше площади ∀описанного вокруг Q многоугольника.Пусть {Si} ‒ мн‒во площадей вписанных в Q многоугольников, а {Sd}‒ мно‒во площадей описанных вокруг Q многоугольников. {Si}ограничено сверху (площадью ∀ описанного вокруг Qмногоугольника), а множество {Sd} ограничено снизу (напр., 0).Пусть Р ‒ ТВГ {Si}, а ‒ ТНГ {Sd}. Р и ‒ нижняя и верхняяплощадь Q.−Р ≤ . Пусть Р ≥ => полагая 2 = > 0 и по определению точныхграней, Ǝ вписанный в Q многоугольник, площадь Si которого будет++больше числа − = 2 , т. е. 2 < , и описанный вокругфигуры Q многоугольник, площадь Sd которого меньше числа++ + = 2 , т.

е. < 2 => Sd < Si ‒ противоречие.О. Плоская фигура Q называется квадрируемой, если верхняяплощадь этой фигуры совпадает с ее нижней площадью Р . ЧислоР = Р = называется площадью Q.Т1. Чтобы плоская фигура Q была квадрируемой, необходимо идостаточно, чтобы для ∀ε > 0 Ǝ такие описанный и вписанныемногоугольник для Q: Sd ‒ Si < ε.Док‒во. 1) Необходимость. Пусть Q квадрируема, т. е. Р = Р = .

Т.к.Р и ‒ ТВГ и ТНГ для {Si} и {Sd}, то для ∀ числа ε > 0Ǝ вписанный в Q многоугольник: Р ‒ Si < ε/2, и описанный:Sd ‒ Р < ε/2 => Sd ‒ Si < ε.2) Дост‒сть. Пусть Sd и Si ‒ площади многоугольников, для которыхSd ‒ Si < ε. Т.к. Si ≤ Р ≤ ≤ Sd, то ‒ Р < ε. Т.к. ε произвольно => Р = => фигура квадрируема.Граница плоской фигуры Q имеет площадь, равную 0, если для∀ ε > 0 для Q Ǝ описанный и вписанный многоугольники, разностьплощадей которых: Sd ‒ Si < ε => Т1: чтобы плоская фигура Q былаквадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы ее граница имелаплощадь, равную 0.Криволинейной трапецией (КТ) называется фигура, ограниченнаяграфиком заданной на [а, b] непрерывной и неотрицательнойфункции f (х), ординатами, проведенными в точках a и b, и отрезкомоси Ox между точками а и b.Криволинейная трапеция ‒ квадрируемая фигура, ее площадь = � () ()Док‒во.

Т. к. непрерывная на [а, b] функция интегрируема, то для∀ ε > 0 Ǝ разбиение Т сегмента [а, b]: S ‒ s < ε, где S и s ‒ верхняя инижняя суммы разбиения Т. Но S = Sd и s = Si, где Sd и Si ‒ площадиступенчатых фигур, 1‒я из которых содержит КТ, 2‒я содержится вКТ => Sd ‒ Si < ε => по Т1 КТ квадрируема. Т.к. lim при Δ→ 0(Δ=maxΔti) верхних и нижних сумм равен ∫ () и s ≤ Р ≤ S, топлощадь КТ можно найти по (1).Пусть кривая L задана в полярной системе координат r = r (θ),α ≤ θ ≤ β, и функция r(θ) непрерывна и неотрицательна на [α, β].Плоская фигура, ограниченная кривой L и двумя лучами,составляющими с полярной осью углы α и β, называетсякриволинейным сектором (КС).Криволинейный сектор ‒ квадрируемая фигура, его площадь1 = � 2 () ()2 Док‒во.

Рассмотрим разбиение Т сегмента [α, β] точками α = θ0 < θ1 <... < θn = β и для каждого [θi‒1, θi] построим круговые секторы,радиусы которых равны минимальному ri и максимальному Riзначениям r(θ )на [θi‒1, θi] => получим две веерообразные фигуры, 1‒яиз которых содержится в КС, а 1‒я содержит КС. Их площади11 = � 2 ∆ , = � 2 ∆22=1=11‒я сумма ‒ нижняя сумма s для функции ½r2(θ) для разбиения Тсегмента [α, β], 2‒я сумма ‒ верхняя сумма S.

Т.к. ф-я ½ r2 (θ)интегрируема на [α, β], то разность S ‒ s = ‒ может быть какугодно малой => для ∀ ε > 0 эта разность может быть S ‒ s = ‒ <ε/2. Впишем во внутреннюю веерообразную фигуру многоугольникQi с площадью Si, для которого ‒ Si < ε/4, и опишем вокругвнешней веерообразной фигуры многоугольник Qd с площадью Sd,для которого Sd ‒ < ε/4. 1‒й ‒вписан в КС, 2‒й ‒ описан КС. Т.к.1 < ≤ � 2 () < < ()2 то Sd ‒ Si < ε => т.к.