Экзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр, страница 4

Будем включать точку с в число делящихточек при ∀ разбиении [а, b]=> интегральная сумма для f(х) на [а, b]равна сумме интегральных сумм для этой функции на [а, c] и [c, b]=>в пределе получим (5).2)точка с лежит вне сегмента [а, b] => сегмент [а, b] есть частьсегмента [а, c] или [c, b] => по св‒ву 5° f (х) интегрируема на [а, b].Пусть а < b < с. Тогда� () + � () = � () => по св-ву 2° получим (5). Для с < а < b аналогично.Оценки интегралов.1° . Пусть интегрируемая на [а, b] функция f (х) ≥ 0 на [а, b] =>� () ≥ 0∀ интегр. сумма ≥ 0 => предел интегр. сумм = ∫ () ≥ 0 .З1 .

Если f (х) интегрируема на [а, b] и f (х) ≥ т, то� () ≥ ( − ).f (х) ‒ т ≥ 0 и интегрируема на [а, b] => ∫ [() − ] ≥ 0 => посв.3°: ∫ () ≥ ∫ = ∫ = ( − )2°. Если f (х) непрерывна, неотрицательна и ≢ 0 на [а, b], то� () ≥ > 0 ()f (х) неотрицательна и ≢ 0 => на [а, b] Ǝ ξ: f (ξ) = 2k > 0 => потеореме об устойчивости знака непрерывной функции Ǝ [р, q],ξ ∈ [р, q] и в пределах [р, q] f (х) ≥ k > 0 => по З1:∫ () ≥ ( − ) > 0. По св‒ву 6°� () = � () + � () + � () => т.к. f (х) ≥0 и ∫ () ≥ с > 0, где = ( − ) получаем (6)3°.

Если f (х) и g(х) интегрируемы на [а, b] и f (х) ≥ g(х) на [а, b], то� () ≥ � () ()Функция f (х) ‒ g(х) ≥ 0 и интегрируема на [а, b] => (7) по св‒ву 1° З2.Если f (х) интегрируема на [а, b], то | f (х)| также интегрируема на[а, b], причем�� () � ≤ � |()| ()Пусть Мi и mi ‒ точные грани f (x), Мi' и mi' ‒ точные грани | f (x)| на[хi‒1, хi]. Легко убедиться, что Мi' ‒ mi' ≤ Мi ‒ mi (рассмотреть cлучаи:1) Мi , mi ≥ 0, 2) Мi , mi ≤ 0, 3) Мi >0, mi ≤ 0 ) => S1 ‒ s1 ≤ S ‒ s => еслидля некоторого разбиенияS ‒ s < ε, то для него S1 ‒ s1 < ε => |f(x) | интегрируема.‒| f (х)| ≤ f (х) ≤ | f (х))| =>− ∫ |()| ≤ ∫ () ≤≤ ∫ |()| => (8)4°. Пусть f (х) и g(х) интегрируемы на [а, b] и g (х) ≥ 0.

Тогда, еслиМ и т ‒ точные грани f (х) на [а, b], то: � () ≤ � () () ≤ � () ()=> из того, что для ∀ х ∈ [а, b] : т g (х) ≤ f (х) g (х) ≤ М g(х) и оценки3° и св-ва 4°.1‒я формула среднего значения. Пусть f (х) интегрируема на[а, b] и пусть т и М ‒ точные грани f (х) на [а, b]. Тогда Ǝ μ, гдет ≤ μ ≤ М, что∫ () ≥ ( − )()В (9) положим g(x) = 1 и учитывая, что ∫ 1 = ( − ) => ( −) ≤∫ () ≤ ( − )1Обозначим =∫ () => получим (10).− Если f (х) непрерывна на [а, b], то Ǝ р, q ∈[а, b], что f (p) = m иf (q) = М (по 2‒й теореме Вейерштрасса) => по теореме опрохождении непрерывной функции через любое промежуточноезначение Ǝ ξ ∈ [p, q] (=>ξ ∈ [а, b]) : f (ξ) = μ => (10) примет вид1‒й формулы среднего значения:� () ≥ ()( − )()1‒я формула среднего значения в обобщенной форме (13).

Пусть f(х) и g(х) интегрируемы на [а, b] и т и М ‒ точные грани f (х) на [а,b]. Пусть g(х) ≥ 0 (или g(x) ≤ 0) на всем [а, b]. Тогда Ǝ μ, где т ≤ μ ≤М, что ∫ () () = ∫ () ()Если f (х) непрерывна на [а, b], то Ǝ ξ ∈ [а, b]: ∫ () () =() ∫ () Если∫ () ()= 0 => в силу (9), ∫ () () = 0 => в качествеμ можно взять ∀ число. Если ∫ () > 0 => разделив все частинеравенств (9) на≤∫ () ,∫ () ()получим≤ , пусть =∫ () ()∫ () ∫ () => получим (12).Если f (х) непрерывна на [а, b], то для ∀μ, где т ≤ μ ≤ М,Ǝ ξ ∈ [а, b]: f (ξ) = μ => (12) переходит в (13).2‒я формула среднего значения (формула Бонне). Если на [а, b]функция g(х) монотонна, а f (х) интегрируема, то Ǝ ξ ∈ [а, b]:� () () = () � () + () � () 8. Основная формула интегрального исчисления.

Формулызамены переменного и интегрирования по частям.Пусть f (х) интегрируема на ∀ сегменте, содержащемся в (а, b) и с ‒некоторая фиксированная точка (а, b). Тогда для ∀ х ∈(а, b) f (х)интегрируема на [с, х] => на (а, b) определена функция() = ∫ () ‒ интеграл с переменным верх. пределом.Т1. Любая непрерывная на интервале (а, b) функция f (х) имеет наэтом интервале первообразную. Одной из первообразных являетсяф‒я () = ∫ () , где с ‒ ∀ фиксированная точка из (а, b).Док‒во. Достаточно доказать, что для ∀ фиксированного х ∈ (а, b)Ǝ предельное значение( + ∆) − ()lim= ()Δ→0∆По св‒ву 6° определенных интегралов:( + ∆) − () = �+∆() − � () = � () + �+∆=�() +∆() − � () = (по 1 − й формуле среднего значения)= ()Δгде ξ ‒ число между числами х и х + Δx.

f (х) непрерывна в точке х=> при Δx→0 f (ξ)→f (x) =>( + ∆) − ()lim= lim () = ()Δ→0lim∆Δ→0З1. Аналогично доказывается теорема о существованиипервообразной у непрерывной на сегменте [а, b] функции, а вкачестве нижнего предела интегрирования с можно взять а.З2. При док‒ве Т1 установлено существование производной отинтеграла с переменным верхним пределом и доказано, что этапроизводная равна подынтегральной функции�� () � = () З3. Если f (х) интегрируема на ∀ сегменте, содержащемся в (а, b), тоинтеграл с переменным верхним пределом является непрерыв-ной на(а, b) функцией от верхнего предела. Докажем, что прира-щение ΔF=F (х +Δx) ‒ F(х) функции () = ∫ () стремится к нулю приΔx→0. В силу ∫ () ≥ ( − ) :+∆∆ = ( + ∆) − () = ∫() = ∆,где число μ лежит между ТВГ и ТНГ гранями f (х) на [х, х+Δx] =>ΔF→0 при Δx→0.Основная формула интегрального исчисления.

Любые 2первообразные данной f (х) отличаются на постоянную => согласноТ1 и З1, можно утверждать, что ∀ первообразная Ф (х) непрерывнойна [а, b] функции f (х) имеет вид:Ф() = � () + где С ‒ некоторая постоянная.Полагая в этой формуле сначала х = а, а затем х = b и используясв‒во 1° определенных интегралов:Ф() = ,Ф() = � () + =>� () = Ф() − Ф() = Ф()|()это основная формула интегрального исчисления (формулаНьютона —Лейбница).Замена переменной под знаком определенного интеграла.Пусть выполнены условия:1) f (х) непрерывна на [а, b]2) [а, b] является множеством значений некоторой функциих = g(t) , определенной на α ≤ t ≤ β и имеющей на этом сегментенепрерывную производную;3) g(α)=a, g(β) = b.Тогда справедлива формула замены переменной под знакомопределенного интеграла:� () = � (()) ′ ()()Рассмотрим некоторую первообразную Ф(х) функции f (х). По (1):� () = Ф() − Ф()()Т.к. Ф(х) и х = g(t) дифф-мы на соответствующих сегментах, тосложная функция Ф( g (t)) диф-ма на [α, β] =>Ф�()� = Ф′ �()�′()причем Ф' вычисляется по аргументу х: Ф'(g(t)) = Ф'(х), гдех = g(t).

Т.к. Ф'(х) = f (х) => Ф'(g(t)) = f (g(t)) =>Ф�()� = �()�′()=> Ф(g(t)), определенная и непрерывная на [α, β], является на [α, β]первообразной для f (g(t))g'(t) => из (1) и g(α)=a, g(β) = b� (()) ′ () = Ф�()� − Ф�()� = Ф() − Ф()Сравнивая последнюю формулу с (3), получаем (2).Формула интегрирования по частям. Пусть и (х) и V (х) имеютнепрерывные производные на [а, b].

Тогда:� () ′ () = [()()] | − � ′ ()()′ ()[т. к. = , ′ ()= ] =>� = []| − � ()()и (х)V (х) является первообразной для и (х)V' (х) + V (х) и' (х) => в силу(1):� [() ′ () + ′ ()()] = [()()] |=> по св‒ву 3° определенных интегралов получим (4) и (5).9. Понятие длины плоской кривой. Формулы для вычислениядлины дуги кривой.Пусть φ (t) и ψ (t) непрерывны на [α, β]. Если рассматривать t каквремя, то эти функции определяют закон движения по плоскоститочки М с коорд‒тами: x = φ(t), y = ψ(t), α ≤ t ≤ β (1)Мн‒во {М} всех точек М, координаты х и у которых определяют‒сяуравнениями (1), называется простой плоской кривой L, еслиразличным значениям параметра t из [α, β] отвечают различныеточки этого мн‒ва.Простая замкнутая кривая L = L1 ∪ L2, где L1 и L2 ‒ 2 простыекривые: 1) их граничные точки совпадают; 2) их ∀ не граничныеточки различны.Пусть мн‒во {t} ‒ сегмент | полусегмент | интервал | числовая прямая| открытая или замкнутая полупрямая.Разбиение {t}: конечная или бесконечная система сегментов{[ti‒1, ti]} разбивает {t}, если: 1) объединение всех сегментов ‒ всемножество {t}; 2) общие точки ∀ двух сегментов - лишь их концы.Параметрическое задание кривой.

Пусть φ(t) и ψ(t) непрерывны на{t}. Уравнения x = φ(t), y = ψ(t) задают параметрически кривую L,если Ǝ такая система сегментов {[ti‒1, ti]}, разбивающих множество{t}, что для значений t из каждого данного сегмента этой системыэти уравнения определяют простую кривую.Длина дуги кривой. Пусть кривая L задается параметрическиуравнениями x = φ(t), y = ψ(t), где t изменяется на [α, β].Пусть Т ‒ ∀ разбиение [α, β] точками α = t0 < t1 < t2 < ... < tn = β.

М0,М1, М2, ..., Мn - соответствующие точки кривой L=> ломаная М0М1М2... Мп вписана в кривую L и отвечает данному разбиению Т. Длина liзвенаМi‒1 Мi = �[( ) − (−1 )]2 + [( ) − (−1 )]2=>длина всей ломаной( ) = � �[( ) − (−1 )]2 + [( ) − (−1 )]2=1()О1. Если мн‒во {l (ti)} длин вписанных в кривую L ломаных,отвечающих всевозможным разбиениям Т сегмента [α, β],ограничено, то кривая L называется спрямляемой, а ТВГ l мн‒ва {l(ti)} называется длиной дуги кривой L.Лемма. Пусть l*(ti) ‒ длина ломаной, вписанной в кривую L иотвечающей разбиению Т* сегмента [α, β], l(ti) ‒ длина ломаной,вписанной в кривую L и отвечающей разбиению Т, полученному изразбиения Т* посредством добавления нескольких новых точек.