Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Экзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр

Экзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр, страница 4

PDF-файл Экзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр, страница 4 Математический анализ (36445): Ответы (шпаргалки) - 2 семестрЭкзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр: Математический анализ - PDF, страница 4 (36445) - СтудИзба2019-04-28СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Экзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 4 страницы из PDF

Будем включать точку с в число делящихточек при ∀ разбиении [а, b]=> интегральная сумма для f(х) на [а, b]равна сумме интегральных сумм для этой функции на [а, c] и [c, b]=>в пределе получим (5).2)точка с лежит вне сегмента [а, b] => сегмент [а, b] есть частьсегмента [а, c] или [c, b] => по св‒ву 5° f (х) интегрируема на [а, b].Пусть а < b < с. Тогда� () + � () = � () => по св-ву 2° получим (5). Для с < а < b аналогично.Оценки интегралов.1° . Пусть интегрируемая на [а, b] функция f (х) ≥ 0 на [а, b] =>� () ≥ 0∀ интегр. сумма ≥ 0 => предел интегр. сумм = ∫ () ≥ 0 .З1 .

Если f (х) интегрируема на [а, b] и f (х) ≥ т, то� () ≥ ( − ).f (х) ‒ т ≥ 0 и интегрируема на [а, b] => ∫ [() − ] ≥ 0 => посв.3°: ∫ () ≥ ∫ = ∫ = ( − )2°. Если f (х) непрерывна, неотрицательна и ≢ 0 на [а, b], то� () ≥ > 0 ()f (х) неотрицательна и ≢ 0 => на [а, b] Ǝ ξ: f (ξ) = 2k > 0 => потеореме об устойчивости знака непрерывной функции Ǝ [р, q],ξ ∈ [р, q] и в пределах [р, q] f (х) ≥ k > 0 => по З1:∫ () ≥ ( − ) > 0. По св‒ву 6°� () = � () + � () + � () => т.к. f (х) ≥0 и ∫ () ≥ с > 0, где = ( − ) получаем (6)3°.

Если f (х) и g(х) интегрируемы на [а, b] и f (х) ≥ g(х) на [а, b], то� () ≥ � () ()Функция f (х) ‒ g(х) ≥ 0 и интегрируема на [а, b] => (7) по св‒ву 1° З2.Если f (х) интегрируема на [а, b], то | f (х)| также интегрируема на[а, b], причем�� () � ≤ � |()| ()Пусть Мi и mi ‒ точные грани f (x), Мi' и mi' ‒ точные грани | f (x)| на[хi‒1, хi]. Легко убедиться, что Мi' ‒ mi' ≤ Мi ‒ mi (рассмотреть cлучаи:1) Мi , mi ≥ 0, 2) Мi , mi ≤ 0, 3) Мi >0, mi ≤ 0 ) => S1 ‒ s1 ≤ S ‒ s => еслидля некоторого разбиенияS ‒ s < ε, то для него S1 ‒ s1 < ε => |f(x) | интегрируема.‒| f (х)| ≤ f (х) ≤ | f (х))| =>− ∫ |()| ≤ ∫ () ≤≤ ∫ |()| => (8)4°. Пусть f (х) и g(х) интегрируемы на [а, b] и g (х) ≥ 0.

Тогда, еслиМ и т ‒ точные грани f (х) на [а, b], то: � () ≤ � () () ≤ � () ()=> из того, что для ∀ х ∈ [а, b] : т g (х) ≤ f (х) g (х) ≤ М g(х) и оценки3° и св-ва 4°.1‒я формула среднего значения. Пусть f (х) интегрируема на[а, b] и пусть т и М ‒ точные грани f (х) на [а, b]. Тогда Ǝ μ, гдет ≤ μ ≤ М, что∫ () ≥ ( − )()В (9) положим g(x) = 1 и учитывая, что ∫ 1 = ( − ) => ( −) ≤∫ () ≤ ( − )1Обозначим =∫ () => получим (10).− Если f (х) непрерывна на [а, b], то Ǝ р, q ∈[а, b], что f (p) = m иf (q) = М (по 2‒й теореме Вейерштрасса) => по теореме опрохождении непрерывной функции через любое промежуточноезначение Ǝ ξ ∈ [p, q] (=>ξ ∈ [а, b]) : f (ξ) = μ => (10) примет вид1‒й формулы среднего значения:� () ≥ ()( − )()1‒я формула среднего значения в обобщенной форме (13).

Пусть f(х) и g(х) интегрируемы на [а, b] и т и М ‒ точные грани f (х) на [а,b]. Пусть g(х) ≥ 0 (или g(x) ≤ 0) на всем [а, b]. Тогда Ǝ μ, где т ≤ μ ≤М, что ∫ () () = ∫ () ()Если f (х) непрерывна на [а, b], то Ǝ ξ ∈ [а, b]: ∫ () () =() ∫ () Если∫ () ()= 0 => в силу (9), ∫ () () = 0 => в качествеμ можно взять ∀ число. Если ∫ () > 0 => разделив все частинеравенств (9) на≤∫ () ,∫ () ()получим≤ , пусть =∫ () ()∫ () ∫ () => получим (12).Если f (х) непрерывна на [а, b], то для ∀μ, где т ≤ μ ≤ М,Ǝ ξ ∈ [а, b]: f (ξ) = μ => (12) переходит в (13).2‒я формула среднего значения (формула Бонне). Если на [а, b]функция g(х) монотонна, а f (х) интегрируема, то Ǝ ξ ∈ [а, b]:� () () = () � () + () � () 8. Основная формула интегрального исчисления.

Формулызамены переменного и интегрирования по частям.Пусть f (х) интегрируема на ∀ сегменте, содержащемся в (а, b) и с ‒некоторая фиксированная точка (а, b). Тогда для ∀ х ∈(а, b) f (х)интегрируема на [с, х] => на (а, b) определена функция() = ∫ () ‒ интеграл с переменным верх. пределом.Т1. Любая непрерывная на интервале (а, b) функция f (х) имеет наэтом интервале первообразную. Одной из первообразных являетсяф‒я () = ∫ () , где с ‒ ∀ фиксированная точка из (а, b).Док‒во. Достаточно доказать, что для ∀ фиксированного х ∈ (а, b)Ǝ предельное значение( + ∆) − ()lim= ()Δ→0∆По св‒ву 6° определенных интегралов:( + ∆) − () = �+∆() − � () = � () + �+∆=�() +∆() − � () = (по 1 − й формуле среднего значения)= ()Δгде ξ ‒ число между числами х и х + Δx.

f (х) непрерывна в точке х=> при Δx→0 f (ξ)→f (x) =>( + ∆) − ()lim= lim () = ()Δ→0lim∆Δ→0З1. Аналогично доказывается теорема о существованиипервообразной у непрерывной на сегменте [а, b] функции, а вкачестве нижнего предела интегрирования с можно взять а.З2. При док‒ве Т1 установлено существование производной отинтеграла с переменным верхним пределом и доказано, что этапроизводная равна подынтегральной функции�� () � = () З3. Если f (х) интегрируема на ∀ сегменте, содержащемся в (а, b), тоинтеграл с переменным верхним пределом является непрерыв-ной на(а, b) функцией от верхнего предела. Докажем, что прира-щение ΔF=F (х +Δx) ‒ F(х) функции () = ∫ () стремится к нулю приΔx→0. В силу ∫ () ≥ ( − ) :+∆∆ = ( + ∆) − () = ∫() = ∆,где число μ лежит между ТВГ и ТНГ гранями f (х) на [х, х+Δx] =>ΔF→0 при Δx→0.Основная формула интегрального исчисления.

Любые 2первообразные данной f (х) отличаются на постоянную => согласноТ1 и З1, можно утверждать, что ∀ первообразная Ф (х) непрерывнойна [а, b] функции f (х) имеет вид:Ф() = � () + где С ‒ некоторая постоянная.Полагая в этой формуле сначала х = а, а затем х = b и используясв‒во 1° определенных интегралов:Ф() = ,Ф() = � () + =>� () = Ф() − Ф() = Ф()|()это основная формула интегрального исчисления (формулаНьютона —Лейбница).Замена переменной под знаком определенного интеграла.Пусть выполнены условия:1) f (х) непрерывна на [а, b]2) [а, b] является множеством значений некоторой функциих = g(t) , определенной на α ≤ t ≤ β и имеющей на этом сегментенепрерывную производную;3) g(α)=a, g(β) = b.Тогда справедлива формула замены переменной под знакомопределенного интеграла:� () = � (()) ′ ()()Рассмотрим некоторую первообразную Ф(х) функции f (х). По (1):� () = Ф() − Ф()()Т.к. Ф(х) и х = g(t) дифф-мы на соответствующих сегментах, тосложная функция Ф( g (t)) диф-ма на [α, β] =>Ф�()� = Ф′ �()�′()причем Ф' вычисляется по аргументу х: Ф'(g(t)) = Ф'(х), гдех = g(t).

Т.к. Ф'(х) = f (х) => Ф'(g(t)) = f (g(t)) =>Ф�()� = �()�′()=> Ф(g(t)), определенная и непрерывная на [α, β], является на [α, β]первообразной для f (g(t))g'(t) => из (1) и g(α)=a, g(β) = b� (()) ′ () = Ф�()� − Ф�()� = Ф() − Ф()Сравнивая последнюю формулу с (3), получаем (2).Формула интегрирования по частям. Пусть и (х) и V (х) имеютнепрерывные производные на [а, b].

Тогда:� () ′ () = [()()] | − � ′ ()()′ ()[т. к. = , ′ ()= ] =>� = []| − � ()()и (х)V (х) является первообразной для и (х)V' (х) + V (х) и' (х) => в силу(1):� [() ′ () + ′ ()()] = [()()] |=> по св‒ву 3° определенных интегралов получим (4) и (5).9. Понятие длины плоской кривой. Формулы для вычислениядлины дуги кривой.Пусть φ (t) и ψ (t) непрерывны на [α, β]. Если рассматривать t каквремя, то эти функции определяют закон движения по плоскоститочки М с коорд‒тами: x = φ(t), y = ψ(t), α ≤ t ≤ β (1)Мн‒во {М} всех точек М, координаты х и у которых определяют‒сяуравнениями (1), называется простой плоской кривой L, еслиразличным значениям параметра t из [α, β] отвечают различныеточки этого мн‒ва.Простая замкнутая кривая L = L1 ∪ L2, где L1 и L2 ‒ 2 простыекривые: 1) их граничные точки совпадают; 2) их ∀ не граничныеточки различны.Пусть мн‒во {t} ‒ сегмент | полусегмент | интервал | числовая прямая| открытая или замкнутая полупрямая.Разбиение {t}: конечная или бесконечная система сегментов{[ti‒1, ti]} разбивает {t}, если: 1) объединение всех сегментов ‒ всемножество {t}; 2) общие точки ∀ двух сегментов - лишь их концы.Параметрическое задание кривой.

Пусть φ(t) и ψ(t) непрерывны на{t}. Уравнения x = φ(t), y = ψ(t) задают параметрически кривую L,если Ǝ такая система сегментов {[ti‒1, ti]}, разбивающих множество{t}, что для значений t из каждого данного сегмента этой системыэти уравнения определяют простую кривую.Длина дуги кривой. Пусть кривая L задается параметрическиуравнениями x = φ(t), y = ψ(t), где t изменяется на [α, β].Пусть Т ‒ ∀ разбиение [α, β] точками α = t0 < t1 < t2 < ... < tn = β.

М0,М1, М2, ..., Мn - соответствующие точки кривой L=> ломаная М0М1М2... Мп вписана в кривую L и отвечает данному разбиению Т. Длина liзвенаМi‒1 Мi = �[( ) − (−1 )]2 + [( ) − (−1 )]2=>длина всей ломаной( ) = � �[( ) − (−1 )]2 + [( ) − (−1 )]2=1()О1. Если мн‒во {l (ti)} длин вписанных в кривую L ломаных,отвечающих всевозможным разбиениям Т сегмента [α, β],ограничено, то кривая L называется спрямляемой, а ТВГ l мн‒ва {l(ti)} называется длиной дуги кривой L.Лемма. Пусть l*(ti) ‒ длина ломаной, вписанной в кривую L иотвечающей разбиению Т* сегмента [α, β], l(ti) ‒ длина ломаной,вписанной в кривую L и отвечающей разбиению Т, полученному изразбиения Т* посредством добавления нескольких новых точек.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее