Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Экзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр

Экзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр, страница 2

PDF-файл Экзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр, страница 2 Математический анализ (36445): Ответы (шпаргалки) - 2 семестрЭкзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр: Математический анализ - PDF, страница 2 (36445) - СтудИзба2019-04-28СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Экзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 2 страницы из PDF

Рассмотрим {хn} ∈ (с, с + δ): {хn}→с. Через каждуюМп (хn, f (хn)) графика у = f (х) проведем касательную:Yn = f (хn) + f ' (хn)(x ‒ хn). Т.к. график имеет на (с, с + δ) выпуклость,направленную вниз (вверх) => для ∀п и ∀х ∈ (с, с + δ): f (х) ‒ Yn =f (х) ‒ f (хn) ‒ f ' (хn)(x‒ хn) ≥ 0 (≤ 0) (4)f ' (x) непрерывна в точке с (=> f (х) тоже)=>из определениянепрерывности по Гейне Ǝlim (() − ) = lim {() − ( ) − ′ ( )( − )} =→∞→∞= () − () − ′ ()( − )= >из (4) и Т*(Если элементы сходящейся {хп}, начиная с некоторогоn, удовлетворяют неравенству хп ≥ b (хп ≤ b), то и предел а этой {хп}удовлетворяет неравенству а ≥ b (а ≤ b)):() − () − ′ ()( − ) ≥ 0 (≤ 0)Переходя в (4) к пределу при п→∞ и по Т*, получим:f (x) ‒ Y ≥ 0 (≤ 0) для ∀х ∈ (с, с + δ), где Y ‒ текущая ординатакасательной (1), проходящей через точку М (с, f (с)).Л2.

Пусть у = f (х) имеет f '(х) в некоторой окрестности точки с,причем f '(х) непрерывна в точке с. Тогда, если график у = f (х) имеетперегиб в точке М (с, f (с)), то в пределах достаточно малой δ‒окрестности точки с этот график слева и справа от с лежит поразные стороны от касательной, проведенной через М.Для док‒ва выбрать δ > 0 настолько малым, чтобы на каждом из(с ‒ δ , с) и (с, с + δ) график у = f (х) имел определенное направление,и применить Л1 по каждому интервалу.Т3 (необходимое условие перегиба).

Если у = f (х) имеет в точке с f(2)(с) и график f (х) имеет перегиб в точке М(с, f (с)), то f (2)(с)=0.Док‒во. Y ‒ текущая ордината касательной Y= f (с) + f '(с)(x‒c),проходящей через М(с, f (с)). Функция F(x) = f (x) ‒ Y = f (x) ‒ f(с) ‒ ‒f '(с)(x‒c), как и f (х), имеет в точке с 2‒ю производную (=> имеет F'(х) в некоторой окрестности с, причем F '(х) непрерывна в точке с).По Л2 в малой окрестности точки с график у = f (х) лежит слева исправа от с по разные стороны от касательной, проходящей через М(с, f (с))=> F(х) в малой окрестности точки с имеет слева и справа от cразные знаки => у F(х) нет в с локального экстремума. Пусть f (2)(с)≠0 => т.к.

F '(х) = f '(x) ‒ f '(с), F (2)(x) = f (2)(x), тоF' (с) = 0, F(2) (c) ≠ 0 и F(х) имеет в точке с локальный экстремум по Т(Пусть f (х) имеет в данной точке с возможного экстремумаконечную 2‒ую производную. Тогда f (х) имеет в точке с максимум,если f (2) < с, и минимум, если f (2 ) > с ) => f (2) (с)= 0.1‒е ДУП. Т4. Пусть у = f (х) имеет f (2) (с) в некоторойокрест‒ности точки с и f (2) (с) = 0. Тогда, если в пределах этойокрестно‒сти f (2)(х) имеет разные знаки слева и справа от с, тографик f (х) имеет перегиб в точке М (с, f (с)).Док‒во.

Из условий => Ǝ конечная f '(с) => график f (х) имееткасательную в М (с, f (с)). f (2)(х) слева и справа от с имеет разныезнаки => из Т1 => направление выпуклости вокруг с различно.2‒е ДУП. Т5. Если у = f (х) имеет в с конечную f (3) (c) и f (2) (c)=0, f(3)(c) ≠ 0, то график f (х) имеет перегиб в точке М (с, f (с)).Док‒во. Из f (3) (c) ≠ 0 и из Т** (Если f (x) дифференцируема в точке си f '(с)>0 (f '(с)<0), то f (x) возрастает (убывает) в с) => f (2) (х)либо возрастает, либо убывает в точке с. f (2) (с) = 0 => Ǝ такаяокрестность точки с, в пределах которой f (2) (х) имеет разные знакислева и справа от с => по Т4 график у = f (х) имеет перегиб в точке М(с, f (с)).3‒е ДУП.

Т6. Пусть п ≥ 1‒ целое число и пусть функция у = f (x)имеет производную порядка п в некоторой окрестности точки с ипроизводную порядка п+1 в самой точке с. Пусть справедливы: f(2)(c) = f (3)(c) = …= f (n)(c) = 0, f (n+1)(c) ≠ 0 (5)Тогда, если п - четное, график у = f (х) имеет перегиб в М (с, f (с)).Док‒во.

п ‒ четное. При п = 2 это Т5. Пусть п ≥ 4. Из f (n+1)(c) ≠ 0 и изТ**, примененной к функции f (n)(x) => f (n)(x) или возрастает, илиубывает в точке с. Т.к. f (n)(c) = 0 => Ǝ достаточно малая окрестностьточки с, в пределах которой f (n)(x) справа и слева от с имеет разныезнаки.

Разложим f (2) (х) в окрестности точки с по формуле Тейлора состаточным членом в форме Лагранжа => для ∀ х из достаточномалой окрестности точки с между с и х Ǝ ξ : (3) ()( − ) + ⋯ (2) () = (2) () +1!() () (−1) ()( − )−3 +( − )−2+( − 3)!( − 2)! () ()( − )−2 ()( − 2)!Т. к. в пределах достаточно малой окрестности с f (n)(x) имеет разныезнаки справа и слева от с и т. к.

ξ лежит между с и х, тоf (n) (ξ) ( в силу четности n, и вся правая часть (6)) имеет разные знакисправа и слева от с=> f (2) (х) в пределах малой окрестности с имеетразные знаки справа и слева от с => по Т4 график у = f (х) имеетперегиб в М (с, f (с)).Из () => (2) () =4. Понятие интегрируемости функции.

Леммы Дарбу о верхних инижних суммах.Пусть f (х) задана на [а, b], а < b, Т ‒ разбиение [а, b]: а = х0 <х1 < ... <хп = b на п частичных сегментов [х0, х1], ..., [хп‒1, хп]. Пусть ξi ‒ ∀ точка[хi‒1, хi], Δхi = хi ‒ хi‒1 ‒ длина сегмента. Δ=max ΔхiО1. Число I{ хi, ξi }, где{ , } = (1 )Δ1 + (2 )Δ2 + ⋯ + ( )Δ = � ( )Δ=1называется интегральной суммой f (х), соответствующей данномуразбиению Т сегмента [а, b] и данному выбору промежуточныхточек ξi на частичных сегментах [хi‒1, хi].О2. Число I называется пределом интегральных сумм I{ хi, ξi } приΔ→0, если для ∀ε >0 Ǝ δ=δ(ε): для ∀ разбиения Т сегмента [а, b],для которого Δ=max Δхi < δ, независимо от выбора точек ξi на [хi‒1,хi] выполняется неравенство | I{ хi, ξi } ‒ I |< ε.

= lim { , }Δ→0О3. Ф‒я f (х) называется интегрируемой (по Риману) на [а, b], если Ǝконечный предел I интегральных сумм f (х) при Δ→0. Предел I ‒определенный интеграл от f (х) по [а, b]: = ∫ ()Утв. Неограниченная на [а, b] ф‒я f (х) не интегрируема на [а, b].Док‒во. f (х) не ограничена на [а, b] => она не ограничена нанекотором [хk‒1, хk] ∀ данного разбиения Т [а, b] => слагаемоеf(ξk) Δхi в I { хi, ξi} можно сделать как угодно большим по модулю засчет выбора ξk => I{ хi, ξi} не ограничены => ∄ конечного пределаинтегральных сумм.

•Пусть f (х) ограничена на [а, b], Т ‒ разбиение [а, b] точками а = х0<х1 < ... < хп = b, Мi и mi ‒ ТВГ и ТНГ f (х) на [хi‒1, хi].Суммы = ∑=1 ∆ и = ∑=1 ∆ называются верхней инижней суммами f (х) для данного Т сегмента [а, b].Для ∀ I{ хi, ξi } разбиения Т сегмента [а, b]: s ≤ I{ хi, ξi } ≤ S.Свойства верхних и нижних сумм.1°. Для ∀ фиксированного разбиения Т и для ∀ε > 0 точки ξi (ξi*) на[хi‒1, хi] можно выбрать так, что:0 ≤ S ‒ I{ хi, ξi } < ε (0 ≤ I{ хi, ξi* } ‒ s < ε).Пусть Т ‒ некоторое фиксированное разбиение [а, b]. Поопреде‒лению точной грани Мi для данного ε > 0 на [хi‒1, хi] Ǝ ξi :0 ≤ Мi ‒ f(ξi) < ε /(b‒a), i = 1,2, ..... п.

Умножая эти неравенства на Δхiи складывая, получим 0 ≤ S ‒ I{ хi, ξi } < ε.2°. Если разбиение Т' сегмента [а, b] получено путем добавленияновых точек к точкам Т, то s ≤ s', S ' ≤S.Пусть к Т добавляется одна точка х' ∈ [хi‒1, хi], ′ и ′′ ‒ ТВГ f (х)на [хi‒1, х'] и [х', хi], ∆′ и ∆′′ ‒ длины сегментов => ∆ = ∆′ + ∆′′ .ТВГ на части [хi‒1, хi] не превосходит ТВГ Мi на всем сегменте => ≥ ′ и ≥ ′′ => − ′ = ∆ − (′ ∆′ + ′′ ∆′′ ) =( − ′ )∆′ + ( − ′′ )∆′′ ≥ 0 => S ' ≤ S. Для s ≤ s' ан‒но.3°. Пусть Т' и Т" ‒ ∀ разбиения [а, b].

Тогда: s'≤ S", s",≤ S'.s' ≤ S', s" ≤ S". Пусть Т ‒ разбиение [а, b]: Т = Т' U Т", а S и s ‒верхняя и нижняя суммы разбиения Т => по св‒ву 2°:s' ≤ s ≤ S ≤ S', s"≤ s ≤ S ≤ S" => s' ≤ S", s" ≤ S'.4°. Мн‒во {S} верхних сумм данной f (х) для всевозможных разбиений [а, b] ограничено снизу. Мн‒во {s} нижних сумм ‒ сверху.=> из 3°. ∀S ≥ некоторой фиксированной s => {S} ограничено снизу.∀ s ≤ какой‒либо верхней суммы => {s} ограничено сверху.Пусть ‒ ТНГ мн‒ва {S} верхних сумм, I ‒ ТВГ множества {s} нижних сумм: = inf {} , = sup {} .

Числа и − верхний и нижнийинтегралы Дарбу от f (х). ≥ . Пусть ≤ => − = > 0 . Т.к и ‒ точные грани => ƎS' и s" ‒ верхняя и нижняя суммы некоторых разбиений Т' и Т"сегмента [а, b]: + > ′ и − < ′′ . Вычитая 2‒е неравенство из221‒ого и учитывая − = => s" > S' => противоречит св‒ву 3°.5°. Пусть разбиение Т' сегмента [а, b] получено из разбиения Тдобавлением к последнему р новых точек, и пусть s', S' и s, S ‒нижние и верхние суммы разбиений Т' и Т. Тогда для разностей S ‒S ' и s'‒ s (они ≥ 0 по св‒ву 2° ) можно получить оценку, зависящуюот максимальной длины Δ частичных сегментов разбиения Т, числа рдобавленных точек и ТВГ и ТНГ М и т ф‒и f (х) на [а, b]: S ‒ S ' ≤ (M‒ m)pΔ, s'‒ s≤ (M ‒ m)pΔПусть к разбиению Т добавляется точка х' ∈ [хi‒1, хi], он разделится на[хi‒1, х'] и [х', хi], ∆′ и ∆′′ ‒ длины сегментов => ∆ = ∆′ + ∆′′ .Пусть Мi, ′ и ′′ − ТВГ f(х) на [хi‒1, хi], [хi‒1, х'] и [х', хi] => − ′ = ∆ − (′ ∆′ + ′′ ∆′′ )= ( − ′ )∆′ + ( − ′′ )∆′′Далее, т ≤ Мi' ≤ Мi ≤ М и т ≤ Мi'' ≤ Мi ≤ М => Мi ‒ Мi' ≤ М ‒ т и Мi‒ Мi'' ≤ М ‒ т => − ′ ≤≤ ( − )(∆′ + ∆′′ ) ≤ ( − )∆ ≤ ( − )∆Это 1‒е неравенство св‒ва 5° при р = 1.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее