Экзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр, страница 2

Рассмотрим {хn} ∈ (с, с + δ): {хn}→с. Через каждуюМп (хn, f (хn)) графика у = f (х) проведем касательную:Yn = f (хn) + f ' (хn)(x ‒ хn). Т.к. график имеет на (с, с + δ) выпуклость,направленную вниз (вверх) => для ∀п и ∀х ∈ (с, с + δ): f (х) ‒ Yn =f (х) ‒ f (хn) ‒ f ' (хn)(x‒ хn) ≥ 0 (≤ 0) (4)f ' (x) непрерывна в точке с (=> f (х) тоже)=>из определениянепрерывности по Гейне Ǝlim (() − ) = lim {() − ( ) − ′ ( )( − )} =→∞→∞= () − () − ′ ()( − )= >из (4) и Т*(Если элементы сходящейся {хп}, начиная с некоторогоn, удовлетворяют неравенству хп ≥ b (хп ≤ b), то и предел а этой {хп}удовлетворяет неравенству а ≥ b (а ≤ b)):() − () − ′ ()( − ) ≥ 0 (≤ 0)Переходя в (4) к пределу при п→∞ и по Т*, получим:f (x) ‒ Y ≥ 0 (≤ 0) для ∀х ∈ (с, с + δ), где Y ‒ текущая ординатакасательной (1), проходящей через точку М (с, f (с)).Л2.

Пусть у = f (х) имеет f '(х) в некоторой окрестности точки с,причем f '(х) непрерывна в точке с. Тогда, если график у = f (х) имеетперегиб в точке М (с, f (с)), то в пределах достаточно малой δ‒окрестности точки с этот график слева и справа от с лежит поразные стороны от касательной, проведенной через М.Для док‒ва выбрать δ > 0 настолько малым, чтобы на каждом из(с ‒ δ , с) и (с, с + δ) график у = f (х) имел определенное направление,и применить Л1 по каждому интервалу.Т3 (необходимое условие перегиба).

Если у = f (х) имеет в точке с f(2)(с) и график f (х) имеет перегиб в точке М(с, f (с)), то f (2)(с)=0.Док‒во. Y ‒ текущая ордината касательной Y= f (с) + f '(с)(x‒c),проходящей через М(с, f (с)). Функция F(x) = f (x) ‒ Y = f (x) ‒ f(с) ‒ ‒f '(с)(x‒c), как и f (х), имеет в точке с 2‒ю производную (=> имеет F'(х) в некоторой окрестности с, причем F '(х) непрерывна в точке с).По Л2 в малой окрестности точки с график у = f (х) лежит слева исправа от с по разные стороны от касательной, проходящей через М(с, f (с))=> F(х) в малой окрестности точки с имеет слева и справа от cразные знаки => у F(х) нет в с локального экстремума. Пусть f (2)(с)≠0 => т.к.

F '(х) = f '(x) ‒ f '(с), F (2)(x) = f (2)(x), тоF' (с) = 0, F(2) (c) ≠ 0 и F(х) имеет в точке с локальный экстремум по Т(Пусть f (х) имеет в данной точке с возможного экстремумаконечную 2‒ую производную. Тогда f (х) имеет в точке с максимум,если f (2) < с, и минимум, если f (2 ) > с ) => f (2) (с)= 0.1‒е ДУП. Т4. Пусть у = f (х) имеет f (2) (с) в некоторойокрест‒ности точки с и f (2) (с) = 0. Тогда, если в пределах этойокрестно‒сти f (2)(х) имеет разные знаки слева и справа от с, тографик f (х) имеет перегиб в точке М (с, f (с)).Док‒во.

Из условий => Ǝ конечная f '(с) => график f (х) имееткасательную в М (с, f (с)). f (2)(х) слева и справа от с имеет разныезнаки => из Т1 => направление выпуклости вокруг с различно.2‒е ДУП. Т5. Если у = f (х) имеет в с конечную f (3) (c) и f (2) (c)=0, f(3)(c) ≠ 0, то график f (х) имеет перегиб в точке М (с, f (с)).Док‒во. Из f (3) (c) ≠ 0 и из Т** (Если f (x) дифференцируема в точке си f '(с)>0 (f '(с)<0), то f (x) возрастает (убывает) в с) => f (2) (х)либо возрастает, либо убывает в точке с. f (2) (с) = 0 => Ǝ такаяокрестность точки с, в пределах которой f (2) (х) имеет разные знакислева и справа от с => по Т4 график у = f (х) имеет перегиб в точке М(с, f (с)).3‒е ДУП.

Т6. Пусть п ≥ 1‒ целое число и пусть функция у = f (x)имеет производную порядка п в некоторой окрестности точки с ипроизводную порядка п+1 в самой точке с. Пусть справедливы: f(2)(c) = f (3)(c) = …= f (n)(c) = 0, f (n+1)(c) ≠ 0 (5)Тогда, если п - четное, график у = f (х) имеет перегиб в М (с, f (с)).Док‒во.

п ‒ четное. При п = 2 это Т5. Пусть п ≥ 4. Из f (n+1)(c) ≠ 0 и изТ**, примененной к функции f (n)(x) => f (n)(x) или возрастает, илиубывает в точке с. Т.к. f (n)(c) = 0 => Ǝ достаточно малая окрестностьточки с, в пределах которой f (n)(x) справа и слева от с имеет разныезнаки.

Разложим f (2) (х) в окрестности точки с по формуле Тейлора состаточным членом в форме Лагранжа => для ∀ х из достаточномалой окрестности точки с между с и х Ǝ ξ : (3) ()( − ) + ⋯ (2) () = (2) () +1!() () (−1) ()( − )−3 +( − )−2+( − 3)!( − 2)! () ()( − )−2 ()( − 2)!Т. к. в пределах достаточно малой окрестности с f (n)(x) имеет разныезнаки справа и слева от с и т. к.

ξ лежит между с и х, тоf (n) (ξ) ( в силу четности n, и вся правая часть (6)) имеет разные знакисправа и слева от с=> f (2) (х) в пределах малой окрестности с имеетразные знаки справа и слева от с => по Т4 график у = f (х) имеетперегиб в М (с, f (с)).Из () => (2) () =4. Понятие интегрируемости функции.

Леммы Дарбу о верхних инижних суммах.Пусть f (х) задана на [а, b], а < b, Т ‒ разбиение [а, b]: а = х0 <х1 < ... <хп = b на п частичных сегментов [х0, х1], ..., [хп‒1, хп]. Пусть ξi ‒ ∀ точка[хi‒1, хi], Δхi = хi ‒ хi‒1 ‒ длина сегмента. Δ=max ΔхiО1. Число I{ хi, ξi }, где{ , } = (1 )Δ1 + (2 )Δ2 + ⋯ + ( )Δ = � ( )Δ=1называется интегральной суммой f (х), соответствующей данномуразбиению Т сегмента [а, b] и данному выбору промежуточныхточек ξi на частичных сегментах [хi‒1, хi].О2. Число I называется пределом интегральных сумм I{ хi, ξi } приΔ→0, если для ∀ε >0 Ǝ δ=δ(ε): для ∀ разбиения Т сегмента [а, b],для которого Δ=max Δхi < δ, независимо от выбора точек ξi на [хi‒1,хi] выполняется неравенство | I{ хi, ξi } ‒ I |< ε.

= lim { , }Δ→0О3. Ф‒я f (х) называется интегрируемой (по Риману) на [а, b], если Ǝконечный предел I интегральных сумм f (х) при Δ→0. Предел I ‒определенный интеграл от f (х) по [а, b]: = ∫ ()Утв. Неограниченная на [а, b] ф‒я f (х) не интегрируема на [а, b].Док‒во. f (х) не ограничена на [а, b] => она не ограничена нанекотором [хk‒1, хk] ∀ данного разбиения Т [а, b] => слагаемоеf(ξk) Δхi в I { хi, ξi} можно сделать как угодно большим по модулю засчет выбора ξk => I{ хi, ξi} не ограничены => ∄ конечного пределаинтегральных сумм.

•Пусть f (х) ограничена на [а, b], Т ‒ разбиение [а, b] точками а = х0<х1 < ... < хп = b, Мi и mi ‒ ТВГ и ТНГ f (х) на [хi‒1, хi].Суммы = ∑=1 ∆ и = ∑=1 ∆ называются верхней инижней суммами f (х) для данного Т сегмента [а, b].Для ∀ I{ хi, ξi } разбиения Т сегмента [а, b]: s ≤ I{ хi, ξi } ≤ S.Свойства верхних и нижних сумм.1°. Для ∀ фиксированного разбиения Т и для ∀ε > 0 точки ξi (ξi*) на[хi‒1, хi] можно выбрать так, что:0 ≤ S ‒ I{ хi, ξi } < ε (0 ≤ I{ хi, ξi* } ‒ s < ε).Пусть Т ‒ некоторое фиксированное разбиение [а, b]. Поопреде‒лению точной грани Мi для данного ε > 0 на [хi‒1, хi] Ǝ ξi :0 ≤ Мi ‒ f(ξi) < ε /(b‒a), i = 1,2, ..... п.

Умножая эти неравенства на Δхiи складывая, получим 0 ≤ S ‒ I{ хi, ξi } < ε.2°. Если разбиение Т' сегмента [а, b] получено путем добавленияновых точек к точкам Т, то s ≤ s', S ' ≤S.Пусть к Т добавляется одна точка х' ∈ [хi‒1, хi], ′ и ′′ ‒ ТВГ f (х)на [хi‒1, х'] и [х', хi], ∆′ и ∆′′ ‒ длины сегментов => ∆ = ∆′ + ∆′′ .ТВГ на части [хi‒1, хi] не превосходит ТВГ Мi на всем сегменте => ≥ ′ и ≥ ′′ => − ′ = ∆ − (′ ∆′ + ′′ ∆′′ ) =( − ′ )∆′ + ( − ′′ )∆′′ ≥ 0 => S ' ≤ S. Для s ≤ s' ан‒но.3°. Пусть Т' и Т" ‒ ∀ разбиения [а, b].

Тогда: s'≤ S", s",≤ S'.s' ≤ S', s" ≤ S". Пусть Т ‒ разбиение [а, b]: Т = Т' U Т", а S и s ‒верхняя и нижняя суммы разбиения Т => по св‒ву 2°:s' ≤ s ≤ S ≤ S', s"≤ s ≤ S ≤ S" => s' ≤ S", s" ≤ S'.4°. Мн‒во {S} верхних сумм данной f (х) для всевозможных разбиений [а, b] ограничено снизу. Мн‒во {s} нижних сумм ‒ сверху.=> из 3°. ∀S ≥ некоторой фиксированной s => {S} ограничено снизу.∀ s ≤ какой‒либо верхней суммы => {s} ограничено сверху.Пусть ‒ ТНГ мн‒ва {S} верхних сумм, I ‒ ТВГ множества {s} нижних сумм: = inf {} , = sup {} .

Числа и − верхний и нижнийинтегралы Дарбу от f (х). ≥ . Пусть ≤ => − = > 0 . Т.к и ‒ точные грани => ƎS' и s" ‒ верхняя и нижняя суммы некоторых разбиений Т' и Т"сегмента [а, b]: + > ′ и − < ′′ . Вычитая 2‒е неравенство из221‒ого и учитывая − = => s" > S' => противоречит св‒ву 3°.5°. Пусть разбиение Т' сегмента [а, b] получено из разбиения Тдобавлением к последнему р новых точек, и пусть s', S' и s, S ‒нижние и верхние суммы разбиений Т' и Т. Тогда для разностей S ‒S ' и s'‒ s (они ≥ 0 по св‒ву 2° ) можно получить оценку, зависящуюот максимальной длины Δ частичных сегментов разбиения Т, числа рдобавленных точек и ТВГ и ТНГ М и т ф‒и f (х) на [а, b]: S ‒ S ' ≤ (M‒ m)pΔ, s'‒ s≤ (M ‒ m)pΔПусть к разбиению Т добавляется точка х' ∈ [хi‒1, хi], он разделится на[хi‒1, х'] и [х', хi], ∆′ и ∆′′ ‒ длины сегментов => ∆ = ∆′ + ∆′′ .Пусть Мi, ′ и ′′ − ТВГ f(х) на [хi‒1, хi], [хi‒1, х'] и [х', хi] => − ′ = ∆ − (′ ∆′ + ′′ ∆′′ )= ( − ′ )∆′ + ( − ′′ )∆′′Далее, т ≤ Мi' ≤ Мi ≤ М и т ≤ Мi'' ≤ Мi ≤ М => Мi ‒ Мi' ≤ М ‒ т и Мi‒ Мi'' ≤ М ‒ т => − ′ ≤≤ ( − )(∆′ + ∆′′ ) ≤ ( − )∆ ≤ ( − )∆Это 1‒е неравенство св‒ва 5° при р = 1.