Экзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр, страница 10

Касательная плоскость.М (х1, ..., хт) ‒ внутренняя точка области задания и = f (х1, ..., хт).Отношение частного приращения Δxk u в фиксированнойМ (х1, ..., хт) к соответствующему приращению Δxk аргумента xk∆ (1 , … , −1 , + ∆ , +1 , … , ) − (1 , … , )=()∆∆является ф-цией от Δxk, определенной для всех, ≠ 0, значений Δxk, длякоторых М (x1, …, xk‒1, xk + Δxk, xk+1… , xm) ∈ области задания и.О. Если Ǝ предел отношения (1) частного приращения Δxk u функциив М (х1, ..., хт) к соответствующему приращению Δxk аргумента xkпри Δxk → 0, то этот предел называется частной производнойфункции и = f (х1, ..., хт) точке М по аргументу хk :∆ = lim∆ →0 ∆Полное приращение и = f (х1, ..., хт) в М (х1, ..., хт), соответствующееприращениям Δx1 , …, Δxт :Δu = f (х1 + Δx1, … , хm + Δxm) ‒ f (х1, … , хm)О.

Ф‒я и = f (х1, ..., хт) называется дифференцируемой в М (х1, ..., хт),если ее полное приращение в М можно представить:∆ = 1 ∆1 + ⋯ + ∆ + 1 ∆1 + ⋯ + ∆ ()где А1, ..., Ат ‒ некоторые не зависящие от Δx1, … , Δxm числа, а α1,..., αт ‒ бесконечно малые при Δx1 →0, … , Δxm →0 функции, равные 0при Δx1 = … = Δxm =0.(2) ‒ условие дифференцируемости ф‒и в М. Другая форма:∆ = 1 ∆1 + ⋯ + ∆ + () ()где ρ ‒ бесконечно малая при Δx1 →0, … , Δxm →0 функция =2 , ρ = 0 при Δx = … = Δx =0. Условия (2) и (3)�∆12 + ⋯ + ∆1mэквивалентны, т.к. : 1) при ρ ≠ 0∆≤ 1 => |1 ∆1 + ⋯ + ∆ | ≤|∆1 ||∆ |≤ �|1 |+ ⋯ + | |� ≤ {|1 | + ⋯ + | |} = ()=> сумма 1 ∆1 + ⋯ + ∆ является бесконечно малой болеевысокого порядка по сравнению с ρ, о (ρ) =0 при ρ = 0.Т.о.(2) => (3)2) пусть не все Δx1 ,…, Δxm равны 0 =>2() 2 () ∆12 + ⋯ + ∆() === () ∆1() ∆() ∆=�� ∆1 + ⋯ + �� ∆ .

Пусть �� ∆ = и учитывая, что αi ‒ бесконечно малая при ρ → 0 ( и при Δx1 →0, … ,Δxm →0) функция, получим (2) =>(3) =>(2)Если хотя бы 1 из А1, ..., Ат отлично от 0, то А1 Δx1 + ...+ Ат Δxm ‒главная, линейная относительно приращений аргументов частьприращения дифференцируемой функции.Т1. Если и = f (х1, ..., хт) дифф-ма в М (х1, ..., хт), то в этой точке Ǝчастные производные по всем аргументам, причем = , где Аiопределяются из условия (2) или (3) дифф‒сти функции.Док‒во. Из (2) => частное приращение функции в этой точке:∆ ∆ = ∆ + ∆ => = + =>∆∆ т. к.

→ 0 при ∆ → 0, то lim== ∆ →0 ∆Сл1. Условие (3) диффе-сти функции в М можно записать в форме(все частные производные берутся в М)∆ =∆ + ⋯ +∆ + () ()1 1 Сл2. Если и = f (х1, ..., хт) дифференцируема в М (х1, ..., хт), топредставление ее приращения Δ u в форме (2) или (3) единственно.(т.к. коэффициенты Аi этих представлений = частным производным вданной М => определяются единственным образом).Если и = f (х1, ..., хт) дифф-а в М (х1, ..., хт), то она и непрерывна в М.(т.к.

из (2) => lim ∆ = 0 => функция непрерывна в М )∆1 →0…∆ →0Плоскость π, проходящая через точку N0 поверхности, называетсякасательной плоскостью в этой точке, если угол между этойплоскостью и секущей, проходящей через точку N0 и ∀ точку N1поверхности, стремится к 0, когда N1 → N0.Если в N0 Ǝ касательная плоскость, то касательная в N0 к ∀ кривой,расположенной на поверхности и проходящей через N0, лежит вуказанной плоскости.Убедимся, что из условия дифф‒сти функции и = f (х, у) в данной М0(х0, у0) => существование касательной плоскости к графику S этойф‒и в точке N0 (х0, у0, u0). Пусть Δx = х ‒ х0, Δy = y ‒ y0 , Δu = u ‒ u0 ,где и = f (х0, у0 ), и = f (х, у) => условие (2):u ‒ u0 = A(х ‒ х0) + B(y ‒ y0) + αΔx + βΔy= A(х ‒ х0) + +B(y ‒ y0) + o(ρ)где A = и В = ‒постоянные , α и β ‒ бесконечно малые приΔx→ 0, Δy→ 0, = �∆ 2 + ∆ 2Уравнение U ‒ u0 = A(х ‒ х0) + B(y ‒ y0) определяет в декар-товойсистеме (х, у, U) некоторую плоскость π, проходящую через N0 (х0, у0,u0) и имеющую нормальный вектор n = {A, В, ‒ 1}.Косинус угла φ между n и вектором N0 N1 секущей с координатами х ‒х0, y ‒ y0, и ‒ и0 :( − 0 ) + ( − 0 ) − ( − 0 )cos =2√ + 2 + 1�( − 0 )2 + ( − 0 )2 + ( − 0 )2Из условия дифференцируемости и = f (х, у) => A(х ‒ х0) ++B(y ‒ y0) ‒ (u ‒ u0) = o(ρ) =>|()||()||cos | ≤=22�( − 0 ) + ( − 0 )=> lim→0 cos = 0, т.

е. lim→0 = /2 и π ‒ касательнаяплоскость к S в точке N0 .Т.о., дифф-сть и = f (х, у) в М0 (х0, у0) геометрически означаетналичие касательной плоскости к графику функции и = f (х, у) вточке N0 (х0, у0, u0). Т.к. А и В = производным, вычисленным вМ0 (х0, у0), то уравнение касательной плоскости :( − 0 ) +( − 0 ) − 0 = Нормальный вектор n = { , , ‒ 1} касательной плоскости называется нормалью к поверхности и = f (х, у) в N0 (х0, у0, u0).Т2 (достаточное условие дифф‒сти).

Если и = f (х1, ..., хт) имеетчастные производные по всем аргументам в некоторой окрестностиМ0 (х1°, ..., хт°), причем все эти частные производные непрерывны вМ0, то функция дифф‒ма в М0 .Док‒во. Для ф‒и 2 переменных и = f (х, у). Пусть fx' и fy' Ǝ в окрестности М0 (х0, у0) и непрерывны в ней. Дадим х и у столь малыеприращения Δх и Δу, чтобы М (х0 + Δх, у0 + Δу ) ∈ этой окрестностиМ0. Полное приращениеΔu = f (х0 + Δх, у0 + Δу) ‒ f (х0, у0 ) = [ f (х0 + Δх,у0 + Δу) ‒ f (х0, у0 + Δу)] +[f (х0, у0 + Δу ) ‒ f (х0, у0 )]Выражение [ f (х0 + Δх, у0 + Δу) ‒ f (х0, у0 + Δу)] ‒ прира-щение ф-цииf (х0, у0 + Δу) переменной х на [х0, х0 + Δх]. Т.к.

и = f (х, у) имеетчастные производные, то f (х0, у0 + Δу) дифф-ма и ее производная пох ‒ это fx'. По Т Лагранжа, Ǝ такое θ1 из0 < θ1 < 1: [ f (х0 + Δх, у0 + Δу) ‒ f (х0, у0 + Δу)] == fx' (х0 + θ1Δх, у0 + Δу) ΔхАн‒но, для некоторого θ2 из 0 < θ2 < 1:[f (х0, у0 + Δу ) ‒ f (х0, у0 )] = fy' (х0, у0 + θ2Δу ) Δуfx' и fy' непрерывны в М0 =>fx' (х0 + θ1Δх, у0 + Δу) = fx'(х0 , у0 ) + α,fy' (х0, у0 + θ2Δу ) = fy' (х0, у0 ) + β,где α и β ‒ бесконечные малые при Δx→ 0, Δy→ 0 =>Δu = fx' (х0 , у0 ) Δх + fy' (х0, у0 ) Δу + α Δх + β Δу=> и = f (х, у) дифф‒ма в М0.21. Дифференцирование сложной функции несколькихпеременных.

Инвариантность формы 1‒го дифференциала.О. Ф‒я и = f (х1, ..., хт) называется дифференцируемой в М (х1, ..., хт),если ее полное приращение в М можно представить в виде∆ = 1 ∆1 + ⋯ + ∆ + 1 ∆1 + ⋯ + ∆ ()где А1, ..., Ат ‒ некоторые не зависящие от Δx1, … , Δxm числа, а α1,..., αт ‒ бесконечно малые при Δx1 →0, … , Δxm →0 функции, равные 0при Δx1 = … = Δxm =0.А1 Δx1 + ...+ Ат Δxm ‒ главная, линейная относительно приращенийаргументов часть.О.

Дифференциалом dи дифф‒мой в М (х1, ..., хт) ф‒ии = f (х1, ..., хт) называется главная линейная относительноприращений аргументов часть приращения этой функции в М. Если впредставлении (1) все коэффициенты Аi = 0, то dи = 0 в М.dи = А1 Δx1 + ...+ Ат Δxm = ∆1 + ⋯ + ∆ ()1Дифференциал dхi независимой переменной хi ‒ ∀ (не зависящее от х1,..., хт) число. Пусть dхi = Δxi => = + ⋯ +1 1 Cложная функция вида и = f (х1, ..., хт), где x1 = φ1(t1, …, tk), …, xm =φ1(t1, …, tk) (3)Т1. Пусть функции (3) дифф‒мы в некоторой М (t1°, ..., tk°), аи = f (х1, ..., хт) дифф‒ма в соотв‒щей N (х1°, ..., хт°), гдехi° = φi(t1°, ..., tk°), i = 1, ..., т.

Тогда сложная ф‒я и = f (х1, ..., хт) , гдех1, ..., хт определяются формулами (3), дифф‒ма в М. При этомчастные производные этой сложной функции в М : 1 =+ ⋯+ 11 1 1…..(4) 1 =+ ⋯+ 1 в которых всеберутся в точке N, а все - в точке М.Док‒во. Придадим аргументам t1, …, tk в точке М (t1°, ..., tk°) ∀приращения Δt1 ,…, Δtk, одновременно ≠ 0. Им соответствуютприращения Δx1 , ..., Δxm функций (3) в М. Им соответствуетприращение Δu в N. Т.к. и = f (х1, ..., хт) дифференцируема в N =>∆ =∆ + ⋯ +∆ + 1 ∆1 + ⋯ + ∆ ()1 1 гдеберутся в N, α1, ..., αт ‒ бесконечно малые при Δx1 →0, … ,Δxm →0 функции, равные 0 при Δx1 = … = Δxm =0.Т.к.

ф‒и (3) дифф‒мы в М (t1°, ..., tk°), приращения Δx1 , ..., Δxm :∆ =∆ + ⋯ +∆ + () = 1,2, … , ()1 1 2где берутся в М, а = �∆1 + ⋯ + ∆2Надо убедиться, что после подстановки в правую часть (5)выражений (6) приращение Δu будет∆ = 1 ∆1 + ⋯ + ∆ + ()()где 1 =+ ⋯+ = 1, … , ()1 Тогда теорема будет доказана, т.к (7) означает дифф‒ть сложнойфункции, а (8) ‒ это ее частная производная. При подстановке вправую часть (5) выражений (6), кроме группы слагаемых 1 ∆1 +⋯ + ∆ получаются и другие группы слагаемых. Но они являютсявеличиной о (ρ), т.к.1°.

Всев (5) берутся в N, т. е. являются постоянными числами,которые при умножении на о (ρ) дают о (ρ).2°. Из (6) => все Δxi (i = 1, ..., т) удовлетворяют | Δxi | ≤ const ρ.3°. Все αi в (5) ‒ бесконечно малые при ρ →0 функции, т.к. все αi ‒бесконечно малые при Δx1 →0, … , Δxm →0 . Но все ф‒и (3) дифф‒мы=> непрерывны в М => Δx1 →0, … , Δxm →0 при ρ → 0.4°. Из пп. 2° и 3° => каждое αi Δxi является величиной о (ρ).З. Если ф‒и (3) зависят от 1 аргумента t, то u ‒ сложная ф‒я 1переменной t : и = f (х1, ..., хт), где xi = φi (t).

Ее производная : 1=+ ⋯+() 1 Ф‒я и = f (х1, ..., хт), заданная на мн‒ве {М}, называется однород-нойфункцией степени р на {М}, если для ∀ М (х1, ..., хт) ∈ {М} и для ∀t: N(t х1, ..., t хт) ∈{М} выполняетсяf (t х1, ..., t хт) = t p f (х1, ..., хт) (10)Т2 (Эйлера об однородных функциях). Если и = f (х1, ..., хт) является в некоторой области {М} дифф‒ой однородной функциейстепени р, то в ∀ М (х1, ..., хт) ∈ {М} справедливо равенство + ⋯+ = () 1 1Док‒во.

Пусть М0 (х1°, ..., хт°) ‒ ∀ точка области {М}. Рассмот-римсложную ф‒ю и = f (х1, ..., хт), где xi = t хi° (i = 1, ..., т), т. е.и = f (t х1°, ..., t хт°). Т.к. при t = 1 ф‒и xi = t хi° дифф‒мы ии = f (х1, ..., хт) диф‒ма в соответствующей М0, то, по Т1 и замечанию, можно вычислитьв точке t = 1 по (9). ∘ ∘= ∘ =>|= + ⋯+ () =1 1 1 где берутся в М0. С другой стороны, в силу (10):и = f (t х1°, ..., t хт°) = t p f (х1°, ..., хт°) (13)Из (13) => = p t p‒1 f (х1°, ..., хт°), т. е.∘ )= ()|= (1∘ , … , =1Из (12) и (14) => (11) для произвольной М0 => теорема доказана.Инвариантность формы 1‒го дифференциала: формула = + ⋯ + ()1 1 универсальна и справедлива, когда х1, ..., хт ‒ дифф‒мые функцииновых переменных t1, …, tk .Пусть аргументы х1, ..., хт ф‒и и = f (х1, ..., хт) являютсядифф‒мыми в А (t1°, ..., tk°) функциями xi = φi (t1, …, tk), и и = f (х1,..., хт) дифф‒ма в В (х1°, ..., хт°), где хi° = φi (t1°, ..., tk°) =>и ‒ сложная функция аргументов t1, …, tk, по Т1 дифф‒ма в А => еедифференциал : = + ⋯ + ()1 1 где определяются из (4).