Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Экзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр

Экзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр, страница 10

PDF-файл Экзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр, страница 10 Математический анализ (36445): Ответы (шпаргалки) - 2 семестрЭкзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр: Математический анализ - PDF, страница 10 (36445) - СтудИзба2019-04-28СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Экзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 10 страницы из PDF

Касательная плоскость.М (х1, ..., хт) ‒ внутренняя точка области задания и = f (х1, ..., хт).Отношение частного приращения Δxk u в фиксированнойМ (х1, ..., хт) к соответствующему приращению Δxk аргумента xk∆ (1 , … , −1 , + ∆ , +1 , … , ) − (1 , … , )=()∆∆является ф-цией от Δxk, определенной для всех, ≠ 0, значений Δxk, длякоторых М (x1, …, xk‒1, xk + Δxk, xk+1… , xm) ∈ области задания и.О. Если Ǝ предел отношения (1) частного приращения Δxk u функциив М (х1, ..., хт) к соответствующему приращению Δxk аргумента xkпри Δxk → 0, то этот предел называется частной производнойфункции и = f (х1, ..., хт) точке М по аргументу хk :∆ = lim∆ →0 ∆Полное приращение и = f (х1, ..., хт) в М (х1, ..., хт), соответствующееприращениям Δx1 , …, Δxт :Δu = f (х1 + Δx1, … , хm + Δxm) ‒ f (х1, … , хm)О.

Ф‒я и = f (х1, ..., хт) называется дифференцируемой в М (х1, ..., хт),если ее полное приращение в М можно представить:∆ = 1 ∆1 + ⋯ + ∆ + 1 ∆1 + ⋯ + ∆ ()где А1, ..., Ат ‒ некоторые не зависящие от Δx1, … , Δxm числа, а α1,..., αт ‒ бесконечно малые при Δx1 →0, … , Δxm →0 функции, равные 0при Δx1 = … = Δxm =0.(2) ‒ условие дифференцируемости ф‒и в М. Другая форма:∆ = 1 ∆1 + ⋯ + ∆ + () ()где ρ ‒ бесконечно малая при Δx1 →0, … , Δxm →0 функция =2 , ρ = 0 при Δx = … = Δx =0. Условия (2) и (3)�∆12 + ⋯ + ∆1mэквивалентны, т.к. : 1) при ρ ≠ 0∆≤ 1 => |1 ∆1 + ⋯ + ∆ | ≤|∆1 ||∆ |≤ �|1 |+ ⋯ + | |� ≤ {|1 | + ⋯ + | |} = ()=> сумма 1 ∆1 + ⋯ + ∆ является бесконечно малой болеевысокого порядка по сравнению с ρ, о (ρ) =0 при ρ = 0.Т.о.(2) => (3)2) пусть не все Δx1 ,…, Δxm равны 0 =>2() 2 () ∆12 + ⋯ + ∆() === () ∆1() ∆() ∆=�� ∆1 + ⋯ + �� ∆ .

Пусть �� ∆ = и учитывая, что αi ‒ бесконечно малая при ρ → 0 ( и при Δx1 →0, … ,Δxm →0) функция, получим (2) =>(3) =>(2)Если хотя бы 1 из А1, ..., Ат отлично от 0, то А1 Δx1 + ...+ Ат Δxm ‒главная, линейная относительно приращений аргументов частьприращения дифференцируемой функции.Т1. Если и = f (х1, ..., хт) дифф-ма в М (х1, ..., хт), то в этой точке Ǝчастные производные по всем аргументам, причем = , где Аiопределяются из условия (2) или (3) дифф‒сти функции.Док‒во. Из (2) => частное приращение функции в этой точке:∆ ∆ = ∆ + ∆ => = + =>∆∆ т. к.

→ 0 при ∆ → 0, то lim== ∆ →0 ∆Сл1. Условие (3) диффе-сти функции в М можно записать в форме(все частные производные берутся в М)∆ =∆ + ⋯ +∆ + () ()1 1 Сл2. Если и = f (х1, ..., хт) дифференцируема в М (х1, ..., хт), топредставление ее приращения Δ u в форме (2) или (3) единственно.(т.к. коэффициенты Аi этих представлений = частным производным вданной М => определяются единственным образом).Если и = f (х1, ..., хт) дифф-а в М (х1, ..., хт), то она и непрерывна в М.(т.к.

из (2) => lim ∆ = 0 => функция непрерывна в М )∆1 →0…∆ →0Плоскость π, проходящая через точку N0 поверхности, называетсякасательной плоскостью в этой точке, если угол между этойплоскостью и секущей, проходящей через точку N0 и ∀ точку N1поверхности, стремится к 0, когда N1 → N0.Если в N0 Ǝ касательная плоскость, то касательная в N0 к ∀ кривой,расположенной на поверхности и проходящей через N0, лежит вуказанной плоскости.Убедимся, что из условия дифф‒сти функции и = f (х, у) в данной М0(х0, у0) => существование касательной плоскости к графику S этойф‒и в точке N0 (х0, у0, u0). Пусть Δx = х ‒ х0, Δy = y ‒ y0 , Δu = u ‒ u0 ,где и = f (х0, у0 ), и = f (х, у) => условие (2):u ‒ u0 = A(х ‒ х0) + B(y ‒ y0) + αΔx + βΔy= A(х ‒ х0) + +B(y ‒ y0) + o(ρ)где A = и В = ‒постоянные , α и β ‒ бесконечно малые приΔx→ 0, Δy→ 0, = �∆ 2 + ∆ 2Уравнение U ‒ u0 = A(х ‒ х0) + B(y ‒ y0) определяет в декар-товойсистеме (х, у, U) некоторую плоскость π, проходящую через N0 (х0, у0,u0) и имеющую нормальный вектор n = {A, В, ‒ 1}.Косинус угла φ между n и вектором N0 N1 секущей с координатами х ‒х0, y ‒ y0, и ‒ и0 :( − 0 ) + ( − 0 ) − ( − 0 )cos =2√ + 2 + 1�( − 0 )2 + ( − 0 )2 + ( − 0 )2Из условия дифференцируемости и = f (х, у) => A(х ‒ х0) ++B(y ‒ y0) ‒ (u ‒ u0) = o(ρ) =>|()||()||cos | ≤=22�( − 0 ) + ( − 0 )=> lim→0 cos = 0, т.

е. lim→0 = /2 и π ‒ касательнаяплоскость к S в точке N0 .Т.о., дифф-сть и = f (х, у) в М0 (х0, у0) геометрически означаетналичие касательной плоскости к графику функции и = f (х, у) вточке N0 (х0, у0, u0). Т.к. А и В = производным, вычисленным вМ0 (х0, у0), то уравнение касательной плоскости :( − 0 ) +( − 0 ) − 0 = Нормальный вектор n = { , , ‒ 1} касательной плоскости называется нормалью к поверхности и = f (х, у) в N0 (х0, у0, u0).Т2 (достаточное условие дифф‒сти).

Если и = f (х1, ..., хт) имеетчастные производные по всем аргументам в некоторой окрестностиМ0 (х1°, ..., хт°), причем все эти частные производные непрерывны вМ0, то функция дифф‒ма в М0 .Док‒во. Для ф‒и 2 переменных и = f (х, у). Пусть fx' и fy' Ǝ в окрестности М0 (х0, у0) и непрерывны в ней. Дадим х и у столь малыеприращения Δх и Δу, чтобы М (х0 + Δх, у0 + Δу ) ∈ этой окрестностиМ0. Полное приращениеΔu = f (х0 + Δх, у0 + Δу) ‒ f (х0, у0 ) = [ f (х0 + Δх,у0 + Δу) ‒ f (х0, у0 + Δу)] +[f (х0, у0 + Δу ) ‒ f (х0, у0 )]Выражение [ f (х0 + Δх, у0 + Δу) ‒ f (х0, у0 + Δу)] ‒ прира-щение ф-цииf (х0, у0 + Δу) переменной х на [х0, х0 + Δх]. Т.к.

и = f (х, у) имеетчастные производные, то f (х0, у0 + Δу) дифф-ма и ее производная пох ‒ это fx'. По Т Лагранжа, Ǝ такое θ1 из0 < θ1 < 1: [ f (х0 + Δх, у0 + Δу) ‒ f (х0, у0 + Δу)] == fx' (х0 + θ1Δх, у0 + Δу) ΔхАн‒но, для некоторого θ2 из 0 < θ2 < 1:[f (х0, у0 + Δу ) ‒ f (х0, у0 )] = fy' (х0, у0 + θ2Δу ) Δуfx' и fy' непрерывны в М0 =>fx' (х0 + θ1Δх, у0 + Δу) = fx'(х0 , у0 ) + α,fy' (х0, у0 + θ2Δу ) = fy' (х0, у0 ) + β,где α и β ‒ бесконечные малые при Δx→ 0, Δy→ 0 =>Δu = fx' (х0 , у0 ) Δх + fy' (х0, у0 ) Δу + α Δх + β Δу=> и = f (х, у) дифф‒ма в М0.21. Дифференцирование сложной функции несколькихпеременных.

Инвариантность формы 1‒го дифференциала.О. Ф‒я и = f (х1, ..., хт) называется дифференцируемой в М (х1, ..., хт),если ее полное приращение в М можно представить в виде∆ = 1 ∆1 + ⋯ + ∆ + 1 ∆1 + ⋯ + ∆ ()где А1, ..., Ат ‒ некоторые не зависящие от Δx1, … , Δxm числа, а α1,..., αт ‒ бесконечно малые при Δx1 →0, … , Δxm →0 функции, равные 0при Δx1 = … = Δxm =0.А1 Δx1 + ...+ Ат Δxm ‒ главная, линейная относительно приращенийаргументов часть.О.

Дифференциалом dи дифф‒мой в М (х1, ..., хт) ф‒ии = f (х1, ..., хт) называется главная линейная относительноприращений аргументов часть приращения этой функции в М. Если впредставлении (1) все коэффициенты Аi = 0, то dи = 0 в М.dи = А1 Δx1 + ...+ Ат Δxm = ∆1 + ⋯ + ∆ ()1Дифференциал dхi независимой переменной хi ‒ ∀ (не зависящее от х1,..., хт) число. Пусть dхi = Δxi => = + ⋯ +1 1 Cложная функция вида и = f (х1, ..., хт), где x1 = φ1(t1, …, tk), …, xm =φ1(t1, …, tk) (3)Т1. Пусть функции (3) дифф‒мы в некоторой М (t1°, ..., tk°), аи = f (х1, ..., хт) дифф‒ма в соотв‒щей N (х1°, ..., хт°), гдехi° = φi(t1°, ..., tk°), i = 1, ..., т.

Тогда сложная ф‒я и = f (х1, ..., хт) , гдех1, ..., хт определяются формулами (3), дифф‒ма в М. При этомчастные производные этой сложной функции в М : 1 =+ ⋯+ 11 1 1…..(4) 1 =+ ⋯+ 1 в которых всеберутся в точке N, а все - в точке М.Док‒во. Придадим аргументам t1, …, tk в точке М (t1°, ..., tk°) ∀приращения Δt1 ,…, Δtk, одновременно ≠ 0. Им соответствуютприращения Δx1 , ..., Δxm функций (3) в М. Им соответствуетприращение Δu в N. Т.к. и = f (х1, ..., хт) дифференцируема в N =>∆ =∆ + ⋯ +∆ + 1 ∆1 + ⋯ + ∆ ()1 1 гдеберутся в N, α1, ..., αт ‒ бесконечно малые при Δx1 →0, … ,Δxm →0 функции, равные 0 при Δx1 = … = Δxm =0.Т.к.

ф‒и (3) дифф‒мы в М (t1°, ..., tk°), приращения Δx1 , ..., Δxm :∆ =∆ + ⋯ +∆ + () = 1,2, … , ()1 1 2где берутся в М, а = �∆1 + ⋯ + ∆2Надо убедиться, что после подстановки в правую часть (5)выражений (6) приращение Δu будет∆ = 1 ∆1 + ⋯ + ∆ + ()()где 1 =+ ⋯+ = 1, … , ()1 Тогда теорема будет доказана, т.к (7) означает дифф‒ть сложнойфункции, а (8) ‒ это ее частная производная. При подстановке вправую часть (5) выражений (6), кроме группы слагаемых 1 ∆1 +⋯ + ∆ получаются и другие группы слагаемых. Но они являютсявеличиной о (ρ), т.к.1°.

Всев (5) берутся в N, т. е. являются постоянными числами,которые при умножении на о (ρ) дают о (ρ).2°. Из (6) => все Δxi (i = 1, ..., т) удовлетворяют | Δxi | ≤ const ρ.3°. Все αi в (5) ‒ бесконечно малые при ρ →0 функции, т.к. все αi ‒бесконечно малые при Δx1 →0, … , Δxm →0 . Но все ф‒и (3) дифф‒мы=> непрерывны в М => Δx1 →0, … , Δxm →0 при ρ → 0.4°. Из пп. 2° и 3° => каждое αi Δxi является величиной о (ρ).З. Если ф‒и (3) зависят от 1 аргумента t, то u ‒ сложная ф‒я 1переменной t : и = f (х1, ..., хт), где xi = φi (t).

Ее производная : 1=+ ⋯+() 1 Ф‒я и = f (х1, ..., хт), заданная на мн‒ве {М}, называется однород-нойфункцией степени р на {М}, если для ∀ М (х1, ..., хт) ∈ {М} и для ∀t: N(t х1, ..., t хт) ∈{М} выполняетсяf (t х1, ..., t хт) = t p f (х1, ..., хт) (10)Т2 (Эйлера об однородных функциях). Если и = f (х1, ..., хт) является в некоторой области {М} дифф‒ой однородной функциейстепени р, то в ∀ М (х1, ..., хт) ∈ {М} справедливо равенство + ⋯+ = () 1 1Док‒во.

Пусть М0 (х1°, ..., хт°) ‒ ∀ точка области {М}. Рассмот-римсложную ф‒ю и = f (х1, ..., хт), где xi = t хi° (i = 1, ..., т), т. е.и = f (t х1°, ..., t хт°). Т.к. при t = 1 ф‒и xi = t хi° дифф‒мы ии = f (х1, ..., хт) диф‒ма в соответствующей М0, то, по Т1 и замечанию, можно вычислитьв точке t = 1 по (9). ∘ ∘= ∘ =>|= + ⋯+ () =1 1 1 где берутся в М0. С другой стороны, в силу (10):и = f (t х1°, ..., t хт°) = t p f (х1°, ..., хт°) (13)Из (13) => = p t p‒1 f (х1°, ..., хт°), т. е.∘ )= ()|= (1∘ , … , =1Из (12) и (14) => (11) для произвольной М0 => теорема доказана.Инвариантность формы 1‒го дифференциала: формула = + ⋯ + ()1 1 универсальна и справедлива, когда х1, ..., хт ‒ дифф‒мые функцииновых переменных t1, …, tk .Пусть аргументы х1, ..., хт ф‒и и = f (х1, ..., хт) являютсядифф‒мыми в А (t1°, ..., tk°) функциями xi = φi (t1, …, tk), и и = f (х1,..., хт) дифф‒ма в В (х1°, ..., хт°), где хi° = φi (t1°, ..., tk°) =>и ‒ сложная функция аргументов t1, …, tk, по Т1 дифф‒ма в А => еедифференциал : = + ⋯ + ()1 1 где определяются из (4).

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее