Экзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр, страница 15
Описание файла
PDF-файл из архива "Экзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 15 страницы из PDF
Необходимое условие безусловногоэкстремума функции и = Ф (x1, ..., хn ) в М '0 :ФФ = + ⋯ + = 0 ()1 1 тождественное отн‒но dх1, ...., dхп . В силу инвариантности формы1‒го дифференциала и равенства (5) формулу (6) будет : = + ⋯ + + + ⋯ + = 0 ()1 1 1 1 (все частные производные берутся в М0.) В (7) dy1, ...., dут ‒ этодифференциалы функций (4) => (7) не является тождеством отн‒ноdy1, ...., dут .
Если в уравнения связи (2) подставить (4), являющиесярешением системы (2) => уравнения (2) обратятся в тождества,дифференцируя их:1111 + ⋯ + + + ⋯ + = 01 1 1 1 …() + ⋯ + + + ⋯ + = 01 1 1 1 Т.к. якобиан (3 ≠ 0 в М0, то из линейной системы (8) dy1, ...., dутможно выразить как линейные функции dх1, ...., dхп . Если найти этивыражения и подставить в (7), то, собирая члены, содержащие dх1,...., dхп :1 1 + ⋯ + = 0()где А1, ..., Аn ‒ некоторые рациональные функции частныхпроизводных f, F1, ..., Fт в М0. Т.к. в (9) фигурируют лишьдифференциалы независимых переменных, то из (9) => А1 = 0, ..., Ап=0 => Необходимые условия существования условного экстремумафункции (1) при наличии связей (2) :А1 = 0, ..., Ап =0, F1 = 0, ..., Fт = 0 (10)(10) ‒ это система т + п уравнений для определения т + п координатточки возможного экстремума.Метод неопределенных множителей Лагранжа.
Симметризируетроль переменных. Умножим (8) на произвольные постоянныемножители λ1, ..., λm и сложим с (7):ΨΨΨΨ + ⋯ + + + ⋯ + = 0 () 1 1 1 1Ψ(1 , … , , 1 , … , ) == + 1 1 + ⋯ + − функция Лагранжа ()Выберем множители λ1, ..., λm так, чтобы выполнялись равенстваΨΨ= 0, … ,= 0 () =>11+ 1+ ⋯ + = 0,111………………………………1+ 1+ ⋯ + =0здесь определитель ((3)) ≠0.
В силу (13) равенство (11) примет видΨΨ + ⋯ + = 0 () 1 1Т.к. переменные х1, ..., хп ‒ независимые, то из (14) =>ΨΨ= 0, … ,= 0 ()1(13) + (15) + (2) => получим систему п + 2т уравненийΨΨΨΨ= 0, … ,= 0,= 0, … ,= 0,111 = 0, … , = 0 ()для определения п + т координат точек возможного условногоэкстремума и т множителей λ1, ..., λm .Достаточные условия. Пусть в М0 выполнены необходимые условияэкстремума (16). Еще потребуем 2‒кратной дифф‒сти функций (1) и(2) в окрестности М0 и непрерывности всех частных производных2‒го порядка в самой М0.
Из конструкции функции Лагранжа (12) =>при наличии связей (2) экстремумы функции (1) и функции Лагранжасовпадают (т.к. f (M) ‒ f (M0 ) = Ψ(M) ‒ Ψ (M0 ) ) => для получениядостаточного условия экстремума в М0 у функции (1) при наличиисвязей (2) надо потребовать знако‒определенности в М0 d 2 Ψ: в М0‒ минимум, если d 2 Ψ| M0 > 0, и максимум, если d 2 Ψ| M0 < 0. 2‒йдифференциал d 2 Ψ можно в данной М0 возможного экстремумавычислять так, как если бы все х1, ..., хп , y1, ..., yт были независимыми.Но в общем случае 2‒й дифференциал d 2 Ψ не обладает свойствоминвариантности формы и должен с учетом зависимости y1, ..., yт отх1, ..., хп определяться равенством 2 2 Ψ = �1+ ⋯ + + 1+ ⋯ + � Ψ+11Ψ 2Ψ 2+ 1 + ⋯ 1ΨΨНо в точке возможного экстремума М0 : = 0, … , = 01 2=> Ψ = �1+ ⋯ + + 1+ ⋯ + � Ψ11что и в случае, когда все х1, ..., хп , y1, ..., yт независимы.
Надо в (17)подставить вместо dy1, ..., dyт их значения из системы (8). Потомизучить знакоопределенность d 2 Ψ в данной М0.2.
