Экзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр

1. Отыскание точек локального экстремума функции.Достаточные условия экстремума.1°.Чтобы дифф‒мая на (а, b) f (х) не убывала (не возрастала) на (а,b), необходимо и достаточно, чтобы f ' (x) ≥ 0 (≤ 0) на (а, b).2°. Чтобы дифференцируемая f (х) возрастала (убывала) на (а, b), достаточно, чтобы f ' (x) > 0 (< 0) всюду на (а, b).Пусть f (х) определена всюду в некоторой окрестности точки с.f(х) имеет в точке c локальный максимум (минимум), если Ǝ такаяокрестность точки с, в пределах которой f (с) является наибольшим(наименьшим) среди всех других значений функции.Необходимое условие экстремума: если f (х) дифференцируема вточке с и имеет в этой точке экстремум, то f ' (с) = 0.1‒е ДУЭ.

Т1. Пусть с ‒ точка возможного экстремума f (х), и пустьf (х) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки с.Тогда, если в пределах этой окрестности f ' (x) > 0 (< 0) слева отточки с и f ' (x) < 0 (> 0) справа от с, то f (х) имеет в точке слокальный максимум (минимум). Если f ' (x) имеет один и тот жезнак слева и справа от с, то экстремума в точке с нет.Док‒во.

1) Пусть в пределах рассматриваемой окрестности f ' (x) >0 (f' (x) < 0) слева от с и f ' (x) < 0 ( f ' (x) > 0) справа от с. Пусть х0 ‒∀ значение аргумента из этой окрестности: х0≠с. f (х) диф‒ма (=>непрерывна) на [с, х0]. Применяя к f (х) по [с, х0] Т. Лагранжа:f (с) ‒ f (х0)= f '(ξ)(с ‒ х0) (1)где с < ξ < х0.

Т.к. f ' (ξ)>0 (<0) при х0 < с и f ' (ξ)<0 ( > 0 прих0 >с), правая часть (1) >0 (<0) => левая тоже => значение f (с) ‒наибольшее (наименьшее) среди всех значений f (х) в окрестности.2) Если f ' (x) имеет один и тот же знак слева и справа от с, то праваячасть (1) имеет разные знаки при x0 < с и при х0 > с => отсутствиеэкстремума в точке с.Т1.1. Пусть f (x) дифференцируема в некоторой окрестности точкис, за исключением, быть может, самой точки с, и непрерывна вточке с.

Тогда, если в пределах этой окрестностиf ' (x) > 0 ( < 0) слева от с и f ' (x) < 0 ( > 0) справа от с, то f (х)имеет в точке с локальный максимум (минимум). Если f ' (x) имеетодин и тот же знак слева и справа от с, то экстремума в точке снет.Док‒во ан‒но, но применимость Т. Лагранжа устанавливается так: поусловию функция диф‒ма (=> непрерывна) всюду на (с, х0] инепрерывна в точке с => f (х) непрерывна всюду на [с, х0] и диф‒маво всех внутренних точках [с, х0].2‒е ДУЭ.

Т2. Пусть f (х) имеет в данной точке с возможногоэкстремума конечную 2‒ую производную. Тогда f (х) имеет в точке смаксимум, если f (2) (c) < 0, и минимум, если f (2) (c) > 0.Док‒во. Из f (2) (c) < 0 (f (2) (c) > 0) и Т2° => f ' (x) убывает(возрастает) в точке с. По условию f ' (c) = 0 => Ǝ такая окрестностьточки с, в пределах которой f ' (x) >0 (<0) слева от с и f ' (x) <0 (>0)справа от с => по Т1 f (х) имеет в точке с максимум (минимум).3‒е ДУЭ. Т3. Пусть п ≥ 1‒ целое число и пусть функция у = f (x)имеет производную порядка п в некоторой окрестности точки с ипроизводную порядка п+1 в самой точке с.

Пусть справедливы: f(1)(c) = f (2)(c) = …= f (n)(c) = 0, f (n+1)(c) ≠ 0 (2)Если п ‒ нечетное, то у = f (х) имеет локальный экстремум вточке с: локальный минимум при f (n+1)(c) > 0 и локальный максимумпри f (n+1)(c) < 0.Док‒во.

При п = 1 это Т2.Пусть п ≥ 3 и f (n+1)(c) > 0 (для f (n+1)(c) < 0 ан‒но) => по Т2,примененной к f (n) (x), функция f (n) (x) возрастает в точке с.Поскольку f (n)(с) = 0 => найдется достаточно малая окрестностьточки с, в пределах которой f (n) (x) < 0 слева от с и f (n) (x) > 0справа от с. Разложим f ' (x) в окрестности точки с по формулеТейлора с остаточным членом в форме Лагранжа => для ∀ х издостаточно малой окрестности точки с между с и х Ǝ ξ : (2) ()( − ) + ⋯ ′ () = ′ () +1!(−1) ()() ()( − )−2 +( − )−1+( − 2)!( − 1)!Из (2) и доп. условия f ' (с) = 0 => () ()( − )−1 ′ () =()( − 1)!ξ лежит между с и х => для всех х из малой окрестности точки с:f (n)(c) < 0 при х < с и f (n)(c) > 0 при х> с.

При нечетном п число n‒ 1 ‒ четное => вся правая (и левая) часть (3) для всех х из малойокрестности с отрицательна слева от с и положительна справа от с.По Т1 f (x) имеет локальный минимум в точке с.3. Асимптоты графика функции. Общая схема исследованияграфика функции.О1. Прямая х = а является вертикальной асимптотой графикафункции у = f (х), если хотя бы одно из предельных значенийlim→+0 () или lim→−0 () равно +∞ или ‒∞.Пусть функция у = f (х) определена для сколь угодно большихзначений аргумента, ради определенности положительного знака.О2. Прямая Y = kх + b является наклонной асимптотой графикафункции у = f (х) при х→+∞, если f (х) представима в виде f (х) = kx+ b + α(х), где lim→+∞ () = 0.Т1.

Для того чтобы график функции у = f (х) имел при х→+∞наклонную асимптоту Y = kх + b необходимо и достаточно, чтобыƎ два предельных значения()()lim= и lim [() − ] = →+∞ →+∞Док‒во. 1) Необходимость. Пусть график функцииу = f (х) имеет при х→+∞ асимптоту Y = kх + b,т. е. f (х) = kx+b+α(х) => + + ()()=lim= lim→+∞ →+∞lim [() − ] = lim [ + ()] = →+∞→+∞2) Достаточность. Пусть Ǝ предельные значения (1). Из 2‒го =>разность f (х) ‒ kх ‒ b является бесконечно малой при х→+∞.Обозначив эту бесконечно малую α(х), получим для f (х)представлениеf (х) = kx + b +α (x).Замечание.

Для х→‒∞ все аналогично.Схема исследования графика функции1°. Уточнить область задания функции.2°. Выяснить вопрос о существовании асимптот (вертикальных инаклонных).3°. Найти области возрастания и убывания функции и точкиэкстремума.4°. Найти области сохранения направления выпуклости и точкиперегиба.5°. Найти точки пересечения графика функции с осью Ох.2. Направление выпуклости графика функции и точки перегиба.Достаточные условия перегиба.f (x) дифф‒ма в ∀ точке (а, b) => Ǝ касательная к графику у = f (х),проходящая через ∀ М (х, f (х)) (а < х <b), и она не параллельна ОуО1.

График у = f (х) имеет на (а, b) выпуклость, направленную вниз(вверх), если этот график в пределах (а, b) лежит не ниже (не выше)любой своей касательной.Т1. Если у = f (х) имеет на (а,b) конечную 2‒ю производную и если f(2)(х) ≥ 0 (f (2) (х) ≤ 0) всюду на (а,b), то график функции у = f (х)имеет на (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх).Док‒во. Пусть f (2) (х) ≥ 0 на (а, b) (для f (2) (х) ≤ 0 ан‒но), с ‒ ∀точка из (а, b). Уравнение касательной, проходящей черезМ (с, f (с)) (текущая ордината ‒Y): Y ‒ f (с) = f '(с)(x‒c) (1)Разложим f (х) в окрестности с по формуле Тейлора при п = 1: (2) () ′ () = () = () + 1! ( − ) + 2! ( − )2 ()где остаточный член в форме Лагранжа, ξ ‒ между с и х. По условию f(х) имеет 2‒ю производную на (а, b)=> (2) справедливо для ∀ х ∈ (а, (2) ()( − )2b).

Из (1) и (2): − =(3)2(2)Т.к. f(х) ≥ 0 на (а, b), то правая часть (3) неотрицательна=> для∀х ∈ (а, b): у ‒ Y ≥ 0 => у ≥ Y => график у = f (х) на (а, b) лежит нениже касательной (1).Т2. Пусть 2‒я производная у = f (х) непрерывна и положительна(отрицательна) в точке с. Тогда Ǝ такая окрестность точки с, впределах которой график функции у = f (х) имеет выпуклость,направленную вниз (вверх).Док‒во. По теореме об устойчивости знака непрерывной функции Ǝокрестность точки с: в ее пределах f (2) (х) >0 (< 0). По Т1 графикf (х) имеет в этой окрестности выпуклость вниз (вверх).

•О2. Точка М (с, f (с)) графика функции у = f (х) называется точкойперегиба этого графика, если Ǝ такая окрестность точки с осиабсцисс, в пределах которой график f (х) слева и справа от с имеетразные направления выпуклости.Л1. Пусть функция у = f (х) имеет f ' (x) всюду в δ ‒окрестноститочки с, причем f ' (x) непрерывна в точке с. Тогда, если графикf (х) имеет на интервале (с, с + δ) выпуклость, направленную вниз(вверх), то всюду в пределах (с, с+ δ) этот график лежит не ниже(не выше) касательной к графику, проведенной в точке М (с, f (с)).Док‒во.