Экзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр (1109831)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1. Отыскание точек локального экстремума функции.Достаточные условия экстремума.1°.Чтобы дифф‒мая на (а, b) f (х) не убывала (не возрастала) на (а,b), необходимо и достаточно, чтобы f ' (x) ≥ 0 (≤ 0) на (а, b).2°. Чтобы дифференцируемая f (х) возрастала (убывала) на (а, b), достаточно, чтобы f ' (x) > 0 (< 0) всюду на (а, b).Пусть f (х) определена всюду в некоторой окрестности точки с.f(х) имеет в точке c локальный максимум (минимум), если Ǝ такаяокрестность точки с, в пределах которой f (с) является наибольшим(наименьшим) среди всех других значений функции.Необходимое условие экстремума: если f (х) дифференцируема вточке с и имеет в этой точке экстремум, то f ' (с) = 0.1‒е ДУЭ.

Т1. Пусть с ‒ точка возможного экстремума f (х), и пустьf (х) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки с.Тогда, если в пределах этой окрестности f ' (x) > 0 (< 0) слева отточки с и f ' (x) < 0 (> 0) справа от с, то f (х) имеет в точке слокальный максимум (минимум). Если f ' (x) имеет один и тот жезнак слева и справа от с, то экстремума в точке с нет.Док‒во.

1) Пусть в пределах рассматриваемой окрестности f ' (x) >0 (f' (x) < 0) слева от с и f ' (x) < 0 ( f ' (x) > 0) справа от с. Пусть х0 ‒∀ значение аргумента из этой окрестности: х0≠с. f (х) диф‒ма (=>непрерывна) на [с, х0]. Применяя к f (х) по [с, х0] Т. Лагранжа:f (с) ‒ f (х0)= f '(ξ)(с ‒ х0) (1)где с < ξ < х0.

Т.к. f ' (ξ)>0 (<0) при х0 < с и f ' (ξ)<0 ( > 0 прих0 >с), правая часть (1) >0 (<0) => левая тоже => значение f (с) ‒наибольшее (наименьшее) среди всех значений f (х) в окрестности.2) Если f ' (x) имеет один и тот же знак слева и справа от с, то праваячасть (1) имеет разные знаки при x0 < с и при х0 > с => отсутствиеэкстремума в точке с.Т1.1. Пусть f (x) дифференцируема в некоторой окрестности точкис, за исключением, быть может, самой точки с, и непрерывна вточке с.

Тогда, если в пределах этой окрестностиf ' (x) > 0 ( < 0) слева от с и f ' (x) < 0 ( > 0) справа от с, то f (х)имеет в точке с локальный максимум (минимум). Если f ' (x) имеетодин и тот же знак слева и справа от с, то экстремума в точке снет.Док‒во ан‒но, но применимость Т. Лагранжа устанавливается так: поусловию функция диф‒ма (=> непрерывна) всюду на (с, х0] инепрерывна в точке с => f (х) непрерывна всюду на [с, х0] и диф‒маво всех внутренних точках [с, х0].2‒е ДУЭ.

Т2. Пусть f (х) имеет в данной точке с возможногоэкстремума конечную 2‒ую производную. Тогда f (х) имеет в точке смаксимум, если f (2) (c) < 0, и минимум, если f (2) (c) > 0.Док‒во. Из f (2) (c) < 0 (f (2) (c) > 0) и Т2° => f ' (x) убывает(возрастает) в точке с. По условию f ' (c) = 0 => Ǝ такая окрестностьточки с, в пределах которой f ' (x) >0 (<0) слева от с и f ' (x) <0 (>0)справа от с => по Т1 f (х) имеет в точке с максимум (минимум).3‒е ДУЭ. Т3. Пусть п ≥ 1‒ целое число и пусть функция у = f (x)имеет производную порядка п в некоторой окрестности точки с ипроизводную порядка п+1 в самой точке с.

Пусть справедливы: f(1)(c) = f (2)(c) = …= f (n)(c) = 0, f (n+1)(c) ≠ 0 (2)Если п ‒ нечетное, то у = f (х) имеет локальный экстремум вточке с: локальный минимум при f (n+1)(c) > 0 и локальный максимумпри f (n+1)(c) < 0.Док‒во.

При п = 1 это Т2.Пусть п ≥ 3 и f (n+1)(c) > 0 (для f (n+1)(c) < 0 ан‒но) => по Т2,примененной к f (n) (x), функция f (n) (x) возрастает в точке с.Поскольку f (n)(с) = 0 => найдется достаточно малая окрестностьточки с, в пределах которой f (n) (x) < 0 слева от с и f (n) (x) > 0справа от с. Разложим f ' (x) в окрестности точки с по формулеТейлора с остаточным членом в форме Лагранжа => для ∀ х издостаточно малой окрестности точки с между с и х Ǝ ξ : (2) ()( − ) + ⋯ ′ () = ′ () +1!(−1) ()() ()( − )−2 +( − )−1+( − 2)!( − 1)!Из (2) и доп. условия f ' (с) = 0 => () ()( − )−1 ′ () =()( − 1)!ξ лежит между с и х => для всех х из малой окрестности точки с:f (n)(c) < 0 при х < с и f (n)(c) > 0 при х> с.

При нечетном п число n‒ 1 ‒ четное => вся правая (и левая) часть (3) для всех х из малойокрестности с отрицательна слева от с и положительна справа от с.По Т1 f (x) имеет локальный минимум в точке с.3. Асимптоты графика функции. Общая схема исследованияграфика функции.О1. Прямая х = а является вертикальной асимптотой графикафункции у = f (х), если хотя бы одно из предельных значенийlim→+0 () или lim→−0 () равно +∞ или ‒∞.Пусть функция у = f (х) определена для сколь угодно большихзначений аргумента, ради определенности положительного знака.О2. Прямая Y = kх + b является наклонной асимптотой графикафункции у = f (х) при х→+∞, если f (х) представима в виде f (х) = kx+ b + α(х), где lim→+∞ () = 0.Т1.

Для того чтобы график функции у = f (х) имел при х→+∞наклонную асимптоту Y = kх + b необходимо и достаточно, чтобыƎ два предельных значения()()lim= и lim [() − ] = →+∞ →+∞Док‒во. 1) Необходимость. Пусть график функцииу = f (х) имеет при х→+∞ асимптоту Y = kх + b,т. е. f (х) = kx+b+α(х) => + + ()()=lim= lim→+∞ →+∞lim [() − ] = lim [ + ()] = →+∞→+∞2) Достаточность. Пусть Ǝ предельные значения (1). Из 2‒го =>разность f (х) ‒ kх ‒ b является бесконечно малой при х→+∞.Обозначив эту бесконечно малую α(х), получим для f (х)представлениеf (х) = kx + b +α (x).Замечание.

Для х→‒∞ все аналогично.Схема исследования графика функции1°. Уточнить область задания функции.2°. Выяснить вопрос о существовании асимптот (вертикальных инаклонных).3°. Найти области возрастания и убывания функции и точкиэкстремума.4°. Найти области сохранения направления выпуклости и точкиперегиба.5°. Найти точки пересечения графика функции с осью Ох.2. Направление выпуклости графика функции и точки перегиба.Достаточные условия перегиба.f (x) дифф‒ма в ∀ точке (а, b) => Ǝ касательная к графику у = f (х),проходящая через ∀ М (х, f (х)) (а < х <b), и она не параллельна ОуО1.

График у = f (х) имеет на (а, b) выпуклость, направленную вниз(вверх), если этот график в пределах (а, b) лежит не ниже (не выше)любой своей касательной.Т1. Если у = f (х) имеет на (а,b) конечную 2‒ю производную и если f(2)(х) ≥ 0 (f (2) (х) ≤ 0) всюду на (а,b), то график функции у = f (х)имеет на (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх).Док‒во. Пусть f (2) (х) ≥ 0 на (а, b) (для f (2) (х) ≤ 0 ан‒но), с ‒ ∀точка из (а, b). Уравнение касательной, проходящей черезМ (с, f (с)) (текущая ордината ‒Y): Y ‒ f (с) = f '(с)(x‒c) (1)Разложим f (х) в окрестности с по формуле Тейлора при п = 1: (2) () ′ () = () = () + 1! ( − ) + 2! ( − )2 ()где остаточный член в форме Лагранжа, ξ ‒ между с и х. По условию f(х) имеет 2‒ю производную на (а, b)=> (2) справедливо для ∀ х ∈ (а, (2) ()( − )2b).

Из (1) и (2): − =(3)2(2)Т.к. f(х) ≥ 0 на (а, b), то правая часть (3) неотрицательна=> для∀х ∈ (а, b): у ‒ Y ≥ 0 => у ≥ Y => график у = f (х) на (а, b) лежит нениже касательной (1).Т2. Пусть 2‒я производная у = f (х) непрерывна и положительна(отрицательна) в точке с. Тогда Ǝ такая окрестность точки с, впределах которой график функции у = f (х) имеет выпуклость,направленную вниз (вверх).Док‒во. По теореме об устойчивости знака непрерывной функции Ǝокрестность точки с: в ее пределах f (2) (х) >0 (< 0). По Т1 графикf (х) имеет в этой окрестности выпуклость вниз (вверх).

•О2. Точка М (с, f (с)) графика функции у = f (х) называется точкойперегиба этого графика, если Ǝ такая окрестность точки с осиабсцисс, в пределах которой график f (х) слева и справа от с имеетразные направления выпуклости.Л1. Пусть функция у = f (х) имеет f ' (x) всюду в δ ‒окрестноститочки с, причем f ' (x) непрерывна в точке с. Тогда, если графикf (х) имеет на интервале (с, с + δ) выпуклость, направленную вниз(вверх), то всюду в пределах (с, с+ δ) этот график лежит не ниже(не выше) касательной к графику, проведенной в точке М (с, f (с)).Док‒во.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)