Экзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр (1109831), страница 6
Текст из файла (страница 6)
ε произвольно, КС квадрируем. Из (3) => (2)11. Понятие кубируемости (объем тела). Кубируемость некоторыхклассов тел.Пусть Е ‒ некоторое конечное тело (тело ‒ часть пространства,ограниченная замкнутой непересекающейся поверхностью). Пусть{Vi } ‒ мн‒во объемов вписанных в Е многогранников, а {Vd } ‒мн‒во объемов описанных Е многогранников. {Vi } ограниченосверху (объемом ∀ описанного многогранника), {Vd } ограниченоснизу (например, 0).Пусть V ‒ ТВГ {Vi} , ‒ ТНГ {Vd }. Числа V и называются нижними верхним объемом тела Е.−V ≤ . Пусть V ≥ => полагая 2 = > 0 и учитывая определениеточных граней, Ǝ вписанный в Е многогранник, объем Vi которогобудет больше числа − =+2, т. е.+2< , и такой описанныйвокруг Е многогранник, объем Vd которого меньше числа + =++2, т. е.
< 2 => Vd < Vi ‒ противоречие, т.к. объем любого описанного многогранника не меньше объема любого вписанного.О. Тело Е называется кубируемым, если верхний объем этого теласовпадает с нижним объемом V. Число V = = V называетсяобъемом тела Е.Т1. Чтобы тело Е было кубируемым, необходимо и достаточно,чтобы для тела Е для ∀ ε < 0 Ǝ описанный и вписанныймногогранники, разность объемов которых Vd ‒ Vi < ε.Док‒во. 1) Необходимость. Пусть тело Е кубируемо, т. е.
V = = V.Т.к. V и ‒ ТВГ и ТНГ {Vi } и { Vd }, то для ∀ ε > 0Ǝ вписанный в Е многогранник, объем Vi которого: V ‒ Vi < ε/2; и Ǝописанный многогранник, объем Vd которого: Vd ‒ V< ε/2.Складывая, получим Vd ‒ Vi < ε.2) Дост‒сть. Пусть Vd и Vi ‒ объемы многогранников, для которыхVd ‒ Vi < ε. Т.к. Vi ≤ V ≤ ≤ Vd, то ‒ V < ε. Т.к. ε произвольно => V= => тело кубируемо.Цилиндр ‒ это тело, ограниченное цилиндрической поверхностью собразующими, параллельными некоторой оси, и двумя плоскостями,перпендикулярными этой оси. Эти плоскости в пересечении сцилиндрической поверхностью образуют плоские фигуры, называемые основаниями цилиндра, а расстояние h между основаниямицилиндра называется высотой цилиндра.У1. Если основанием цилиндра Е является квадрируемая фигура Q,то цилиндр является кубируемым телом, и его объем: V = Рh, где Р ‒площадь основания Q, h ‒ высота цилиндра.Док‒во.
Так как Q квадрируема, то для ∀ ε > 0 можно указать такиеописанный и вписанный в эту фигуру многоугольники, разность ихплощадей Sd ‒ Si < ε/h. Объемы Vd и Vi призм с высотой h,основаниями которых служат эти многоугольники, равны Sd h иSi h => Vd ‒ Vi = (Sd ‒ Si )h <( ε/h)h = ε. Т.к. эти призмы являютсясоответственно описанным и вписанным в Е многогранниками, то поТ1 тело Е кубируемо. Т.к.
Vi ≤ Ph ≤ Vd, то объем цилиндра V=Рh.Из У1 => кубируемость ступенчатых тел (ступенчатым теломназывается объединение конечного числа цилиндров,расположен‒ных так, что верхнее основание каждого предыдущегоцилиндра находится в одной плоскости с нижним основаниемследующего).Замечание. Если для ∀ ε > 0 можно указать такое описанное вокругтела Е ступенчатое тело и такое вписанное в Е ступенчатое тело,разность объемов которых Vd ‒ Vi < ε, то тело Е кубируемо.Криволинейной трапецией (КТ) называется фигура, ограниченнаяграфиком заданной на сегменте [а, b] непрерывной и неотрицательной функции f (х), ординатами, проведенными в точках a и b, иотрезком оси Ox между точками а и b.Утверждение 2. Пусть функция у = f (х) непрерывна на [а, b].
Тогдатело Е, образованное вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, кубируемо и его объем = � 2 () ()Док‒во. Пусть Т ‒ разбиение [а, b] точками а = х0 <х1 < ... < хп = b, Мiи mi ‒ ТВГ и ТНГ f (х) на [хi‒1, хi]. На каждом [хi‒1, хi] построим двапрямоугольника с высотами тi и Мi. Получим две ступенчатыефигуры, 1‒я содержится в КТ, 2‒я содержит ее.
При вращении КТ иэтих ступенчатых фигур мы получим тело Е и два ступенчатых тела,одно из которых содержится в Е, а другое содержит Е. Объемы этихступенчатых тел: = � 2 ∆=1и = � 2 ∆ =1Эти выражения являются верхней и нижней суммами для функции π f2(х). Т.к. эта функция интегрируема, то разность этих сумм длянекоторого Т сегмента [а, b] будет меньше данного ε > 0 => тело Екубируемо. Т.к. предел указанных сумм равен ∫ 2 () , то объемтела Е можно найти по (1).12.
Абсолютная сходимость несобственных интегралов. Формулызамены переменного и интегрирования по частям длянесобственных интегралов.Пусть f (х) определена на a≤ x<+∞ и для ∀А (A≥a) Ǝ определенныйинтеграл Римана() = � () О1. Предел lim→+∞ () =()lim ∫ () →+∞ ()в случае, если он Ǝ, называется несобственным интегралом 1‒города от f (х) по полупрямой [а, +∞) и обозначается�+∞()() +∞() = lim � () →+∞ Если предела (2) ∄, то НСИ (3) расходится.НСИ по ‒∞< x ≤ b и по всей прямой:� () = lim � () , �→−∞ −∞′′+∞−∞() = ′lim � () →−∞ ′′′ →+∞при независимом друг от друга стремлении А' →‒∞ и А" → +∞. Изэтих определений =>1)если для некоторого а сходится каждый из НСИ ∫−∞ () и+∞∫+∞() , то сходится и ∫−∞ () , причем:�+∞−∞() = � () + �2) если сходится НСИ+∞∫() , причем�+∞−∞+∞∫ () +∞() и b ‒ ∀ число, b > а, то сходится() = � () + �+∞() Для существования предельного значения функции F(А) при А → +∞необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши:для ∀ ε > 0 Ǝ В>а, для ∀ А1 и A2: А1 >B, A2 >В, выполняется2|(2 ) − (1 )| = �� () � < 1=> справедливо У1.У1(критерий Коши сходимости НСИ).
Для сходимости НСИ+∞∫ () необходимо и достаточно, чтобы для ∀ ε>0 Ǝ В>а, для∀ А1 и A2, : А1 >B, A2 >В: �∫ 2 () � < 1∫ () Пусть f (х) задана на a≤ x<+∞ и для ∀ А ≥ а Ǝ интегралУ2 (общий признак сравнения). Пусть на полупрямой a≤ x<+∞ |f(x)| ≤+∞g(x). Тогда из сходимости интеграла ∫ () вытекает+∞сходимость ∫() +∞Док‒во. Пусть ∫() сходится => по кр-рию Коши, для∀ ε>0 Ǝ В>а, что для ∀ А1>В и A2>В : �∫ 2 () � < ()1Согласно неравенствам для интегралов и |f (x)| ≤ g (x) :�∫ 2 () � ≤ ∫ 2 |()| ≤ ∫ 2 () => и из (3) => для ∀ А1>В и11+∞A2>В: �∫ 2 () � < => ∫11 ∫() сходится.
1− |1− =1−=1− −1−1−, при λ ≠ 1 => при λ>1 limА→+∞ () =+∞ 1−, а при λ≤1 предел ∄ => при λ > 1 сходится НСИ ∫ =, а1−при λ≤1 он расходится.Следствие (частный признак сравнения в предельной форме). 1)Еслипри λ > 1 Ǝ конечный предел lim→+∞ |()| = , то интеграл+∞∫ () сходится. 2) Если же при λ ≤ 1 Ǝ предел1−При этом говорят, что НСИ (3) сходится:�У3 (частный признак сравнения). Пусть f (х) на 0< a≤ x<+∞удовлетворяет соотношению |f(х) | ≤ с/хλ, с и λ ‒ постоянные,+∞λ >1. Тогда интеграл ∫ () сходится. Если Ǝ такаяпостоянная с > 0, что на 0< a≤ x<+∞ справедливо f (х) ≥ с/хλ, в+∞котором λ ≤ 1, то ∫ () расходится.Док‒во => из У2 и следующего примера (положить g(х) = с/хλ).+∞ Пример.
Рассмотрим НСИ ∫ где а > 0 и λ ‒ ∀ вещественныечисла. f (х) = 1/хλ при ∀ A>0 интегрируема на [а, А], причем () =+∞lim→+∞ |()| = > 0, то ∫ () расходится.Док‒во. 1)Из существования предела при x→+∞ => ограничен-ность|f(x)|хλ => с некоторой постоянной c0 > 0 выполняется неравенство|f(х) | ≤ с0/хλ => применяется 1‒я часть У3.2) с > 0 => Ǝ столь малое ε>0, что с ‒ ε > 0. Этому ε отвечает такое В> 0, что при х ≥ В выполняется с ‒ ε < f (x)хλ (это => из опреде-ленияпредела) => f (x) >(с ‒ ε) / хλ => действует 2‒я часть У3.Пусть f (х) интегрируема по ∀ [а, А] (=> |f (х)| тоже).+∞О2. НСИ ∫ () называется абсолютно сходящимся,если+∞сходится ∫ |()| .+∞О2. НСИ ∫() называется условно сходящимся, если он+∞∫ |()| сходится, арасходится.Замечание. Положив в У2 g(х)= |f (х)| => из абсолютной сходимостиНСИ вытекает его сходимость.У4.
Пусть выполнены условия:1) f (х) непрерывна на a ≤ x < +∞;2) полуось a ≤ x < +∞ является мн-вом значений некоторой строгомонотонной функции х = g (t), заданной на α ≤ t <+∞ (или‒ ∞ < t ≤ α) и имеющей на этой полуоси непрерывн. производную;3) g(α)=а.Тогда из сходимости одного из следующих НСИ�+∞() и �+∞�()� ′ () � − � (()) ′ () �−∞вытекает сходимость другого и равенство этих интегралов.Док‒во. ∀ сегменту [а, А] отвечает, из‒за строгой монотонностифункции g (t), сегмент [α, ρ] (или [ρ, α]) оси t такой, что приизменении на [α, ρ] значения х = g (t) заполняют сегмент [а, А],причем g (ρ) = А => выполнены все условия, при которых действуетформула замены переменной под знаком определенного интеграла =>()∫ () = ∫ (()) ′ ()В силу строгой монотонности функции х = g (t), А→+∞ при ρ→+∞ и,обратно ρ→+∞ при А→+∞ (или А→+∞ при ρ→‒∞ и ρ→‒∞ приА→+∞) => из (4) => справедливость У4.У5.
Пусть и (х) и v (х) имеют непрерывные производные наа ≤ x<+∞ и Ǝ lim→+∞ ()() = . Тогда из сходимости одного из+∞+∞интегралов ∫ () ′ () и ∫ ′ ()() ()вытекает сходимость другого и справедливость формулы�+∞() ′ () = − ()() − �+∞′ ()()Док‒во. На ∀ сегменте [а, А] действует обычная формулаинтегрирования по частям =>� () ′ () = [()()] | − � ′ ()()()Т.к. при А→+∞ выражение [()()]| → − ()(), то изпоследнего равенства следует одновременная сходимость илирасходимость интегралов (5) и справедливость (6) в случаесходимости одного из интегралов (5).13.
Признак Абеля‒Дирихле. Главное значение несобственногоинтеграла.Пусть f (х) определена на a≤ x<+∞ и для ∀А (A≥a) Ǝ определенныйинтеграл Римана() = � () О1. Предел lim→+∞ () =()lim ∫ () →+∞ ()в случае, если он Ǝ, называется несобственным интегралом 1‒города от f (х) по полупрямой [а, +∞) и обозначается�+∞+∞() = lim � () →+∞ Если предела (2) ∄, то НСИ (3) расходится.НСИ по ‒∞< x ≤ b и по всей прямой:� () = lim � () , �→−∞ −∞′′+∞−∞() = ′lim � () →−∞ ′′′ →+∞при независимом друг от друга стремлении А' →‒∞ и А" → +∞. Изэтих определений =>1) если для некоторого а сходится каждый из НСИ ∫−∞ () и+∞∫+∞() , то сходится и ∫−∞ () , причем:�+∞−∞() = � () + �+∞2) если сходится НСИ ∫+∞∫ () ,причем�+∞−∞+∞() () и b ‒ ∀ число, b > а, то сходится() = � () + �+∞() Для существования предельного значения функции F(А) приА → +∞ необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворялаусловию Коши: для ∀ ε > 0 Ǝ В>а, для ∀ А1 и A2: А1 >B, A2 >Ввыполняется2|(2 ) − (1 )| = �� () � < => справедливо У1.1+∞сходится ∫ |()| .+∞При этом говорят, что НСИ (3) сходится:�∀ А1 и A2, : А1 >B, A2 >В: �∫ 2 () � < 1Пусть f (х) задана на полупрямой a≤ x<+∞ и для ∀ А ≥ а Ǝ обычныйинтеграл ∫ () Пусть f(х) интегрируема по ∀ [а, А] (=> |f(х)| тоже).+∞О2.
НСИ ∫ () называется абсолютно сходящимся, еслиО2. НСИ ∫()() У1(критерий Коши сходимости НСИ). Для сходимости НСИ+∞∫ () необходимо и достаточно, чтобы для ∀ ε>0 Ǝ В>а, для() называется условно сходящимся, если он+∞сходится, а ∫ |()| расходится.У2 (признак Дирихле ‒ Абеля).
Пусть выполнены условия:1) f (х) непрерывна на a≤ x<+∞ и имеет на этой полупрямойограниченную первообразную F (х) (() = ∫ () для всех x ≥ a:|F (х) | ≤ K=const);2) g(х) определена и монотонно не возрастает на a ≤ x < +∞ иимеет равный 0 предел при x→+∞;3) производная g ' (х) Ǝ и непрерывна в ∀ точке a≤ x<+∞.+∞Тогда сходится НСИ ∫ () () ()Док‒во. Пусть [А1, А2] ‒ ∀ сегмент полупрямой a ≤ x < +∞,А2 >А1. Проведем на нем интегрирование по частям22� () () = ()() |12 − � () ′()11|F(x)| ≤ K и g (х) не возрастает и g (х) → 0 при x→+∞(т.е. g (х) ≥ 0, g ' (х) ≤ 0) =>22�� () ()� ≤ [(1 ) + (2 )] + � (− ′())112� (− ′()) = (1 ) − (2 ) =>12�� () ()� ≤ 2(1 ) ()1Пусть ε > 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
