Экзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр, страница 9

Число и, соответствующее данной М из {М} ‒частное значение функции в М. Совокупность {и} всех частныхзначений и = f (М) ‒ множество значений этой функции.О1. Число b называется предельным значением функции и = f (М) вточке А ( пределом функции при М → A), если для ∀ сходящейся к Апоследовательности М1, М2, ..., Mn ... точек мн‒ва {М}, элементы Мпкоторой отличны от А (Мn ≠ A), соответствующая послед‒сть f (М1), ..., f (Мп), ...

значений функции сходится к b.О2. Число b называется предельным значением функции и = f (М) вточке А, если для ∀ ε > 0 Ǝ δ: для всех точек М из области заданияфункции, удовлетворяющих условию 0 < ρ (М, А) < δ, выполняется | f(М) ‒ b | < ε.lim () = или lim(1 , … , ) = →→1… 1 →З. О1 и O2 эквивалентны.Док‒во. 1. Пусть b ‒ предел по О1, но не предел по О2 => Ǝ ε > 0 : длясколь угодно малого δ Ǝ М из области задания f (М) :0 < ρ (М, А) < δ, но | f (М) ‒ b | ≥ ε => для ∀ δn =1/nƎ Мп : 0 < ρ (Мn, А) < δ, но | f (Мn) ‒ b| ≥ ε.Из 0 < ρ (Мn, А) < δ => {Мn}→A => по О1 { f (Мn )}→b =>противоречит | f (Мn) ‒ b | ≥ ε2. Пусть b ‒ предел по О2 и {Мn}→A.

Фиксируем ∀ ε > 0, по О2Ǝ δ > 0: ∀ М из области задания f (М) : 0 < ρ (М, А) < δ выполня-ется |f (М) ‒ b | < ε. Т.к. {Мn}→A, то для этого δ найдется N:0 < ρ (Мn , А) < δ при n ≥ N => | f (Мn ) ‒ b | < ε при n ≥ N => { f (Мn )}→b.О3. Число b называется предельным значением функции и=f (М)при М → ∞, если для ∀ ε > 0 Ǝ а > 0: для всех М из области заданияфункции, удовлетворяющих условию ρ (O, М ) > а, выполняетсянеравенство | f (М) ‒ b | < ε.У. Пусть функции f (М) и g (М) имеют в А пределы b и с. Тогдафункции f (М) + g (М), f (М) ‒ g (М), f (М) · g (М),f (М) / g (М) имеют в А пределы (частное при с ≠ 0), равныесоответственно b + с, b ‒ с, b·с, b/c.Для док‒ва взять ∀ {Мn}→A, по условию { f (Мn ) }→b,g(Мn ) }→c => по св‒вам сходящихся послед‒стей:{ f (Мn ) ± g(Мn ) }→b ± c, { f (Мn ) · g(Мn ) }→b · c,{ f (Мn ) / g(Мn ) }→b / c. В силу произвольности {Мn}:lim→ �() + ()� = + и др.

утверждения.Функция и = f (М) называется бесконечно малой в точке А (приМ→A), если lim→ () = 0Функция f (М) = (х1 ‒ а1)n1 +… + (хт ‒ ат)nm, где п1>0, ..., пm>0,является бесконечно малой в A (а1, ..., ат), т.к. каждая f (xk) = (хk ‒аk)nk является бесконечно малой в хk = аk .Если и = f (М) имеет предельное значение b в точке А, то функцияα(М) = f (М) ‒ b является бесконечно малой в точке А, т.к.lim→ () = lim→ (() − ) = lim→ () − lim→ = 0Специальное представление для функции, имеющей равное b предельное значение в точке A:() = − (), где lim () = 0→Функция f (М) удовлетворяет в точке М = А условию Коши, еслидля ∀ ε > 0 Ǝ δ : для ∀ М' и М" из области задания функции f (М ),удовлетворяющих 0 < ρ (М', А) < δ, 0 < ρ (М'', А) < δ, длясоответствующих значений функций:| f (М' ) ‒ f (М'' ) | < εТ(критерий Коши).

Чтобы функция f (М) имела конечноепредельное значение в точке М = А, необходимо и достаточно,чтобы функция f (М) удовлетворяла в этой точке условию Коши.Док‒во. Необх‒сть. Пусть lim→ () = . Возьмем ∀ ε > 0, по О2для ε / 2 Ǝ δ > 0 : для ∀ М' и М" из области задания f (М ):0 < ρ (М', А) < δ, 0 < ρ (М'', А) < δ для соответ-щих значений функций:| f (М' ) ‒ b | < ε / 2, | f (М'') ‒ b | < ε / 2 =>| f (М' ) ‒ f (М'' ) |= | [f (М' ) ‒b] ‒ [ f (М'') ‒ b] | ≤≤ | f (М' ) ‒ b |+| f (М'') ‒ b |< ε => f (М) удовлетворяет в точке М = Аусловию Коши.Дост‒сть.

Пусть f (М) удовлетворяет в точке М = А условию Коши и{Мn} ‒ ∀ последовательность: {Мn}→A , Мn ≠ A. Возьмем ∀ ε > 0 исоответствующее δ > 0, чтобы выполнялось условие Коши, для этогоδ выберем номер N : 0 < ρ (Мn, А) < δ при n ≥ N (это можно сделать,т.к. {Мn}→A) => для ∀ р (=1, 2, …)0 < ρ (Мn+р, А) < δ при n ≥ N => в силу условия Коши| f (Мn+р ) ‒ f (Мn ) | < ε при n ≥ N => фундаментальность послед‒сти {f (Мn ) } => сходимость { f (Мn ) } к некоторому b.Возьмем ∀ {Мn}→A, {Мn'}→A , пусть { f (Мn ) }→ b,{ f (Мn' ) }→ b'. Тогда посл‒сть М1, М1', ..., Mn, Mn' сходится к А => f(М1), f (М1'), ..., f (Мn), f (Мn' ) сходится, а т.к. все ееподпоследовательности сходятся к одному и тому же пределу, тоb = b'.19. Непрерывность функции п переменных.

Основные теоремы онепрерывных функциях.Пусть А ∈ области задания и = f (М) нескольких переменных и∀ ε‒окрестность А содержит ≠ А точки области задания f (М).О1. Ф‒я и = f (М) называется непрерывной в А, если предел этойфункции в точке А Ǝ и равен f (A). = lim => lim () = � lim �→→→О2. Ф‒я и = f (М) называется непрерывной в А, если для ∀ ε > 0Ǝ δ > 0: для всех М из области задания функции: ρ (М, А) < δ,выполняется | f (М) ‒ f (A) | < ε.О3. Ф‒я и = f (М) называется непрерывной на мн‒ве {М}, если онанепрерывна в ∀ точке {М}.Пусть для ∀ М (х1, ..., хт) из области задания ф-ции и А(а1, ..., аm) : x1 ‒a1 = Δx1, …, xm ‒ am = Δxm . Полное приращение и = f (М) в А:Δu = f (М) ‒ f (A) = f (a1 + Δx1, … , am + Δxm) ‒ f (a1, … , am)Для непрерывности и = f (М) в А необходимо и достаточно, чтобы ееприращение Δu являлось бесконечно малой в А функцией:∆ = 0lim ∆ = lim �() − ()� = 0 или lim→→→1… 1 →Это разностная форма условия непрерывности и = f (М) в А .Зафиксируем все xi , кроме k‒го, xk придадим ∀ приращение Δхk,чтобы (x1, …, xk‒1, xk + Δxk, xk+1… , xm) ∈ области задания f (М).Частное приращение в М (х1, …, хт), соответствующее Δхk :Δxk u = f (x1,…, xk‒1, xk + Δxk, xk+1… , xm) ‒ f (x1, x2… , xm)Ф‒я и = f (х1, ..., хт ) называется непрерывной в М (х1, …, хт) попеременной хk , если частное приращение Δxk u этой ф‒и в точке Мявляется бесконечно малой функцией от Δхk :lim ∆ = 0∆ →0Из непрерывности и = f (х1, ..., хт ) в М => ее непрерывность в М по ∀переменной х1, ..., хт.

Наоборот нет.1°. У1.Пусть f (М) и g (М) непрерывны в А. Тогда f (М) + g (М),f (М) ‒ g (М), f (М) · g (М), f (М) / g (М) непрерывны в А (частное приg (A) ≠ 0).Док‒во. f (М) и g (М) непрерывны в А => по О1 они имеют в Апределы f (А) и g (А) => предельные значения f (М) + g (М),f (М) ‒ g (М), f (М) · g (М), f (М) / g (М) существуют и равнысоответственно f (А) + g (А), f (А) ‒ g (А), f (А) · g (А), f (А) / g (А) =>по О1 они непрерывны в А.2°. Пусть ф-ции x1 = φ1(t1, …, tk), …, xm = φ1(t1, …, tk) (1)заданы на мн‒ве {N} евклидова пр‒ва Еk , t1, …, tk ‒ координатыточек в Еk => ∀ N (t1, …, tk) из {N} ставится в соответствие с помощью (1) точка М (х1, ..., хт) евклидова пр‒ва Ет.

Пусть {М} мн‒во всех этих точек, и = f (х1, ..., хт) ‒ функция m переменных,заданная на {М} => на мн‒ве {N} пр‒ва Еk определена сложнаяфункция и = f (х1, ..., хт), где х1, ..., хт ‒ функции определяютсяформулами (1).У2. Пусть ф‒и x1 = φ1(t1, …, tk), …, xm = φ1(t1, …, tk) непрерывны в А(а1, ..., аk), а ф‒я и = f (х1, ..., хт) непрерывна в В (х1, ..., хт), где bi = φi(а1, ..., аk), i = 1, ..., т. Тогда сложная ф‒я и = f (х1, ..., хт), где х1, ...,хт ‒ определенные выше ф‒и аргументов t1, …, tk , непрерывна в А(а1,..., аk).Док‒во. Пусть {Nn}, Nn ≠ A ‒ ∀ сходящаяся к А посл‒сть точек изобласти {N} задания функций φi (t1, …, tk), а {Мn } ‒ соответ-щаяпослед‒сть точек: хi(n) = φi (t1(n), …, tk(n)). Ф‒и φi непрерывны в A =>{Мп} → В (b1 ..., bт).

Ф‒я и = f (х1, ..., хт) непрерывна в В => {f (Мn )}→ f (B). Но {f (Мn )} ‒ это послед‒сть значений слож-ной функции,отвечающая сходящейся к А последовательности {Nп} точек областиее задания => непрерывность сложной ф-ции.3°. Т1. Если и = f (М) непрерывна в А ∈ Е т и f (А) ≠ 0, то Ǝ такаяε‒окрестность точки А, в пределах которой во всех точках областисвоего задания f (М) не обращается в 0 и имеет знак, совпадающийсо знаком f (А) .Док‒во. и = f (М) непрерывна в А => по О1 Ǝ lim→ () = , где b= f (A) ≠ 0 и по О2 для ∀ ε > 0 Ǝ δ > 0, что для всех М из областизадания ф‒и : ρ (М, А) < δ, выполняется | f (М) ‒ f (A) | < ε =>b ‒ ε < f (М) < b + ε при ρ (М, А) < δ.

Если взять ε < |b|, то b ‒ ε,b + ε и b будут одного знака => всюду в ε‒окрестности f (М)сохраняет знак числа b = f (A).4°. Т2. Пусть и = f (М) непрерывна во всех точках связного мн‒ва{М} евклидова пр‒ва Ет, причем f (А) и f (В) ‒ значения этой функциив точках А и В этого мн‒ва. Пусть С ‒ ∀ число междуf (А) и f (В). Тогда на ∀ непрерывной кривой L, соединяющей А и В ицеликом расположенной в {М}, Ǝ N : f (N) = С.Док‒во.

Пусть x1 = φ1(t), …, xm = φm(t), α ≤ t ≤ β ‒ уравнениянепрерывной кривой L, соединяющей А и В ∈ {М} и целикомрасположенной в {М}. На [α, β] определена сложная ф‒я и = f (х1, ...,хт), где xi = φi(t), i = 1, …, m, α ≤ t ≤ β, ее значения на[α, β] совпадают со значениями и = f (М) на кривой L. Эта слож-наяф‒я 1 переменной t по У2 непрерывна на [α, β] и по теореме опрохождении непрерывной функции от 1 переменной через ∀ промежуточное значение в некоторой точке ξ ∈ [α, β] принимает значение С => в N ∈ L с координатами φ1 (ξ), ..., φm (ξ): f (N) = С.5°. Т3 (1‒я Вейерштрасса).

Если и = f (М) непрерывна на замкнутом ограниченном мн‒ве {М}, то она ограничена на этом мн‒ве.Док‒во. Пусть и = f (М) не ограничена сверху на {М}. Выделимпослед‒сть {Мn} точек мн‒ва {М} : f (Мn ) > п. По Т Больцано ‒Вейерштрасса из {Мn } можно выделить сходящуюся подпослед‒сть{ Мkn } → М, M ∈ {М}. Послед‒сть { f (Мkn) } бесконечно большая. Ноиз непрерывности f (М) в М = > { f (Мkn) } должна сходиться к f (М).Противоречие.6°.

Т4 (2‒я Вейерштрасса). Если и = f (М) непрерывна на замкнутомограниченном мн‒ве {М}, то она достигает на этом множествесвоих ТВГ и ТНГ.Док‒во. Пусть f (М) на замкнутом ограниченном мн‒ве {М} недостигает своей ТВГ N => для всех точек мн‒ва {М} : f (М) < N ифункция F(M) = 1/ (N ‒ f (M)) > 0, не обращается в 0 и по У1непрерывна на {М} => по Т3 F(M) ограничена на {М}, т.е. Ǝ В, чтодля всех М ∈ {М}: F(M) = 1/ (N ‒ f (M)) ≤ В =>т.к. N ‒ f (M) > 0, то f (M) ≤ N ‒ 1/В для всех М ∈ {М} =>противоречит тому, что N ‒ наименьшая из всех верхних граней.7°. Функция и = f (М) называется равномерно непрерывной на мн‒ве{М} евклидова пр‒ва Е т, если для ∀ ε > 0 Ǝ δ = δ (ε) > 0, что для ∀ М'и М" ∈ {М}: ρ (М', М") < δ, выполняется | f (М") ‒ f (М') | < ε.Т5 (о равномерной непрерывности).

Непрерывная на замкнутомограниченном мн‒ве {М} функция равномерно непрерывна на {М}.Док‒во. Пусть непрерывная на замкнутом ограниченном мн‒ве {М}функция и = f (М) не является равномерно непрерывной на {М}, т.е.Ǝ ε > 0: ∀ δ > 0 Ǝ М' и М" ∈ {М}, удовлетворяющих условию ρ (М',М") < δ, но | f (М") — f (М') | ≥ ε =>для ∀ δn = 1/n Ǝ Мn' и Мn" ∈ {М}: ρ (Мn', Мn") < 1/n, но| f (Мn") — f (Мn') | ≥ ε.

Т.к. {Мn'} ‒ послед‒сть точек замкнутогоограниченного мн‒ва {М}, то по Т Больцано ‒ Вейерштрасса из нееможно выделить сходящуюся к некоторой А подпослед‒сть {Мkn'}.Подпослед‒сть {Мkn''} послед‒сти { Мn"} также сходится к А. f (М)непрерывна в А => {f (Мkn' )} → f (А) и {f (Мkn'')} → f (А) => {f (Мkn' ) ‒f (Мkn'')} ‒ бесконечно малая послед‒сть, это противоречит | f (Мn") —f (Мn') | ≥ ε => и = f (М) равномерно непрерывна на {М}.20. Понятие дифф-сти функции нескольких переменных.Достаточное условие дифф-сти.