Экзаменационные билеты с ответами по математическому анализу II семестр, страница 3

Для нижних сумм ан‒но.6°.Лемма Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу и от f (х)по [а, b] являются с пределами верхних и нижних сумм при Δ→0.Докажем: lim∆→0 = 1)М = m, т. е. f (х) = const => лемма очевидна, т.к. S = = = s.2)М > т. Т.к. ‒ ТНГ {S} => для ∀ ε > 0 Ǝ Т* [а, b]:S* ‒ < ε/2.

(1)Пусть р ‒ число точек Т*, лежащих строго внутри [а, b]. Пусть Т ‒ ∀разбиение [а, b]: ∆< = 2(−)(2) и S ‒ верхняя сумма Т.Добавим к Т внутренние точки Т* => получим разбиение Т', верхняясумма S' которого по св‒ву 5° и условию (2):0 ≤ S ‒ S ' ≤ (M ‒ m)pΔ< ε/2 (3)Но Т' можно рассматривать как разбиение, полученное в результатедобавления к Т* внутренних точек Т = > по св‒ву 2°: ≤ S ' ≤ S* => 0 ≤ S '‒ ≤ S*‒ => из (1): 0 ≤ S '‒ ≤ ε/2Складывая это неравенство с (3), получим 0 ≤ S ‒ ≤ ε . (4)Т.о., для ∀ ε > 0 Ǝ δ > 0 (см (2)): верхние суммы S разбиений Тсегмента [а, b], для которых Δ < δ (см.

(2)), удовлетворяютнеравенству (4)=> верхний интеграл Дарбу является пределомверхних сумм. Для нижних сумм док‒во ан‒но.5. Необходимое и достаточное условие интегрируемости.Пусть f (х) задана на [а, b], а < b, Т ‒ разбиение [а, b]: а = х0 <х1 < ...< хп = b на п частичных сегментов [х0, х1], ..., [хп‒1, хп]. Пусть ξi ‒ ∀точка [хi‒1, хi], Δхi = хi ‒ хi‒1 ‒ длина сегмента. Δ=max ΔхiО1. Число I{ хi, ξi }, где{ , } = (1 )Δ1 + (2 )Δ2 + ⋯ + ( )Δ = � ( )Δ=1называется интегральной суммой функции f (х), соответствую‒щейданному разбиению Т сегмента [а, b] и данному выборупромежуточных точек ξi на частичных сегментах [хi‒1, хi].О2.

Число I называется пределом интегральных сумм I{ хi, ξi } приΔ→0, если для ∀ε >0 Ǝ δ=δ(ε): для ∀ разбиения Т сегмента [а, b],для которого Δ=max Δхi < δ, независимо от выбора точек ξi на [хi‒1,хi] выполняется неравенство | I{ хi, ξi } ‒ I |< ε. = lim { , }Δ→0О3. Ф‒я f (х) называется интегрируемой (по Риману) на [а, b], если Ǝконечный предел I интегральных сумм f (х) при Δ→0. Предел I ‒определенный интеграл от f (х) по [а, b]: = ∫ ()Пусть f (х) ограничена на [а, b], Т ‒ разбиение [а, b] точками а = х0<х1 < ... < хп = b, Мi и mi ‒ ТВГ и ТНГ f (х) на [хi‒1, хi].Суммы = ∑=1 ∆ и = ∑=1 ∆ называются верхней инижней суммами f (х) для данного Т сегмента [а, b].Для ∀ I{ хi, ξi } разбиения Т сегмента [а, b]: s ≤ I{ хi, ξi } ≤ S.Пусть ‒ ТНГ мн‒ва {S} верхних сумм, I ‒ ТВГ множества {s} нижних сумм: = inf {} , = sup {} . Числа и − верхний и нижнийинтегралы Дарбу от f (х).

≥ . Пусть ≤ => − = > 0 . Т.к и ‒ точные грани => ƎS' и s" ‒ верхняя и нижняя суммы некоторых разбиений Т' и Т"сегмента [а, b]: + 2 > ′ и − 2 < ′′ . Вычитая 2‒е неравенство из1‒ого и учитывая − = => s" > S' => противоречит св‒ву ( ПустьТ' и Т" ‒ ∀ разбиения [а, b]. Тогда:s' ≤ S", s" ≤ S'.)Лемма Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу и от f (х) по[а, b] являются с пределами верхних и нижних сумм при Δ→0.Т. Чтобы ограниченная на [а, b] функция f (х) была интегрируемой на[а, b], необходимо и достаточно, чтобы для ∀ ε > 0 нашлось такоеразбиение Т сегмента [а, b], для которого S ‒ s ≤ ε.1) Необходимость.

Пусть f (х) интегрируема на [а, b], I ‒ пределинтегральных сумм f (х) => для ∀ε > 0 Ǝ δ=δ(ε), что для ∀ разбие-нияТ, где Δ < δ, независимо от выбора точек ξi на частичных сегментахвыполняется: | I{ хi, ξi } ‒ I |< ε/4. (1)Зафиксируем одно такое разбиение Т. По св‒ву 1° (Для ∀фиксиро‒ванного Т и для ∀ ε>0 точки ξi (ξi*) на [хi‒1, хi] можновыбрать так, что 0 ≤ S ‒ I{ хi, ξi } < ε (0 ≤ I{ хi, ξi* } ‒ s < ε) дляданного Т можно указать такие 2 интегральные суммы, чтоS ‒ I{ хi, ξi' } < ε/4, I{ хi, ξi'' } ‒ s < ε/4 (2)Обе I{ хi, ξi' } и I{ хi, ξi'' } удовлетворяют (1).S ‒ s = (S ‒ I{ хi, ξi' }) + (I{ хi, ξi' } ‒ I) + (I ‒ I{ хi, ξi'' })+ + (I{ хi, ξi'' } ‒s) => учитывая (1) и (2): S ‒ s < ε2) Достаточность.

Для ∀ Т: ≤ ≤ ≤ и для ∀ ε > 0, по условиютеоремы, Ǝ T: S ‒ s ≤ ε => 0 ≤ − ≤ => в силу произвольности ε: = = . Докажем, что число I является пределом интегральныхсумм f (х). По лемме Дарбу это число I ‒ общий предел при Δ→0верхних и нижних сумм => для ∀ ε >0 Ǝ δ: при Δ < δ: I ‒ s < ε/2 и S ‒I < ε/2, т. е.

при Δ< δ, S ‒ s < ε, и s ≤ I ≤ S. Для ∀ I{ хi, ξi } данного Т: s≤ I{ хi, ξi } ≤ S.Т. о., при Δ < δ обе величины I и I{ хi, ξi } заключены между числами sи S, разность между которыми меньше ε => при Δ < δ:| I{ хi, ξi } ‒ I |< ε => число I есть предел интегральных сумм.Иная форма необх. и достаточного условия интегрируемости.Пусть Мi и mi ‒ точные грани функции f (х) на сегменте [хi‒1, хi].Число ωi = Мi ‒ mi ≥ 0 ‒ колебание функции f (х) на [хi‒1, хi].=1=1=1=1 − = � ∆ − � ∆ = �( − )∆ = � ∆ Каждое слагаемое в последней сумме неотрицательно.Чтобы f (х) была интегрируемой на [а, b], необходимо и достаточно,чтобы для ∀ ε > 0 нашлось такое разбиение Т сегмента [а, b], длякоторого ∑=1 ∆ ≤ 6.

Классы интегрируемых функцийО. Ф‒я f (х) называется равномерно непрерывной на {х}, если для ∀ε> 0 Ǝ δ= δ(ε) >0: для ∀ х', х" ∈ {х}: | х" ‒ х' | < δ, выполняется |f (х") ‒f(х') | < ε.Т1. Непрерывная на [а, b] f (х) равномерно непрерывна на [а, b] .Сл.

Пусть f (х) непрерывна на [а, b] .Тогда для ∀ε > 0 Ǝ δ > 0:на ∀ [c, d] ∈ [а, b]: d ‒ с < δ, колебание f (х) ω = М ‒ m < ε (М и m ‒точные грани f (х) на сегменте [c, d]).Т2. Чтобы ограниченная на [а, b] функция f (х) была интегри‒руемойна [а, b], необходимо и достаточно, чтобы для ∀ ε > 0Ǝразбиение Т сегмента [а, b], для которого S ‒ s ≤ ε.Т3.

Непрерывная на [а, b] функция f (х) интегрируема на [а, b] .Док‒во. Пусть дано ∀ ε > 0. В силу равномерной непрерывностиf (х) на [а, b] для ε /(b ‒ а)>0 Ǝ δ > 0, что при разбиении Т[а, b] на частичные сегменты [хi‒1, хi], длины которых Δхi < δ,колебание f (х) на ∀[хi‒1, хi] ωi = Мi ‒ mi < ε /(b ‒ а) (по следствию изТ1) => для таких разбиений Т − = � ∆ <� ∆ = −=1=1=> по Т2 f (х) интегрируема.Т4.

Если функция f (х) определена и ограничена на [а, b] и если для ∀ε>0 можно указать конечное число интервалов, покрывающих всеточки разрыва этой функции и имеющих общую сумму длин меньшеε, то f (х) интегрируема на [а, b].Док‒во. Пусть дано ∀ ε > 0. Покроем точки разрыва f (х) конечнымчислом интервалов, сумма длин которых меньше ε /2(М ‒ т),M и m ‒ ТВГ и ТНГ f (х) на [а, b]. Точки сегмента, не принадлежащиеуказанным интервалам, образуют множество, состоящее из конечногочисла непересекающихся сегментов. На каждом из них f (х)непрерывна => равномерно непрерывна. Разобьем каждый такойсегмент так, чтобы колебание f (х) на ∀ частичном сегментеразбиения ωi < ε /2(b ‒ а).

Объединяя эти разбиения и интервалы,покрывающие точки разрыва функции f (х), мы получим разбиение Твсего [а, b]. Для этого разбиения слагаемые суммы − =∑=1 ∆ разделяются на две группы: 1)все слагаемые,отвечающие частям разбиения Т, образованным из интервалов,покрывающих точки разрыва, их колебанияωi = Мi ‒ mi ≤ M ‒ m =>� ∆ ≤ ( − ) � ∆ < ( − )=2( − ) 2112) остальные слагаемые: ωi < ε/2(b ‒ а) =>� ∆ ≤� ∆ <( − ) =2( − ) 2 2( − )22 − = � ∆ = � ∆ + � ∆ < 1=12=> по Т1 f (х) интегрируема.Сл.

Ограниченная на [а, b] функция f (х), имеющая лишь конечноечисло точек разрыва, интегрируема на этом сегменте. Вчастности, кусочно непрерывная на данном сегменте функцияинтегрируема на этом сегменте.Если р ‒ число точек разрыва, то достаточно покрыть каждую точкуразрыва интервалом длины ε/2рТ5. Монотонная на [а, b] функция f (х) интегрируема на этомсегменте.Док‒во.

Если функция монотонна на [а, b], то ее значения заключенымежду f (a) и f (b) =>функция ограничена на этом сегменте. Докажемтеорему для неубывающей на [а, b] функции f (х) . Зададим ∀ε > 0 иразобьем [а, b] на равные части, длины которых меньше ε /(f (b) ‒ f(a)) и т.к. для неубывающей f (x):� = () − () =>=1 − = � ∆ <=1� = () − ()=17. Основные свойства определенного интеграла.

Оценкиинтегралов. Формулы среднего значения.1°. ∫ () = 0()2°. ∫ () = − ∫ ()()3°. Пусть f (х) и g(х) интегрируемы на [а, b]. Тогда f (х) + g (х),f (х) ‒ g (х) и f (х) g (х) также интегрируемы на [а, b], причем� [() ± ()] = � () ± � () Док‒во. При ∀ разбиении [а, b] и ∀ выборе точек ξi для:()�[( ) ± ( )]Δ = � ( )Δ ± � ( )Δ=1=1=1= > т.к. Ǝ предел правой части, то Ǝ предел левой части =>f (х) ± g (х) интегрируема и верна (3).f (х) и g (х) интегрируемы на [а, b] => они ограничены на [а, b]:| f(х)|≤ А и | g(х)|≤ В.

Пусть Т ‒ ∀ заданное разбиение [а, b], х' и х" ‒произвольные точки [хi‒1, хi] => f (х") g(х") ‒ f (х') g(х') == [ f (х") ‒ f(х')] g(х")+[ g(х") ‒ g(х')] f (х')Т. к. | f (х") g(х") ‒ f (х') g(х') | ≤ ωi, | f (х") ‒ f(х') |≤ ωi1,| g(х") ‒ g(х')| ≤ ωi2, где ωi, ωi1, ωi2 ‒ колебания f (х) g (х), f (х), g (х) на[хi‒1, хi] => ωi ≤ Bωi1 + Aωi2 => ∑=1 ∆ ≤ ∑=1 1 ∆ + ∑=1 2 ∆ f (х) и g (х) интегрируемы на [а, b] => для ∀ε > 0 Ǝ разбиение Т :1� ∆ <и � 2 ∆ <22=1=1=> для этого Т: − = ∑=1 ∆ < 2 + 2 = =>f (х) g(х) ‒ интегрируемая функция4°.

Если f (х) интегрируема на [а, b], то с f (х) (с = const) тоже:� с() = с � ()()Т.к. интегральные суммы f (х) и с f (х) отличаются на const с5°. Пусть f (х) интегрируема на [а, b].Тогда f (х) интегрируема на ∀[c, d] ∈ [а, b].Док‒во. f (х) интегрируема на [а, b] => для ∀ ε > 0 Ǝ разбиение Т [а,b], что S ‒ s ≤ ε.

Добавим к точкам Т точки с и d. В силу св‒ва 2°верхних и нижних сумм (Если разбиение Т ' [а, b] получено путемдобавления новых точек к точкам Т, то s ≤ s', S ' ≤ S ) дляполученного разбиения Т* тем более справедливо неравенство S ‒ s <ε. Разбиение Т* сегмента [а, b] порождает разбиение Т1 сегмента [c,d].

Если S1 и s1 ‒ верхняя и нижняя суммы разбиения Т1, то S1 ‒ s1 ≤ S‒ s, т.к. каждое слагаемое ωiΔхi >0 в выражении S1 ‒ s1 = Σ ωiΔхi будеттакже слагаемым в выра-жении для S ‒ s=> S1 ‒ s1 < ε => f (х)интегрируема на [c, d].6°. Пусть f (х) интегрируема на сегментах [а, c]и [c, b]. Тогда f (х)интегрируема на [а, b], причем� () = � () + � () ()1)а < с < b. f (х) интегрируема на [а, c] и [c, b] => Ǝ такие разбиенияэтих сегментов, что S ‒ s < ε/2 для каждого из них. Объединяя этиразбиения, мы получим разбиение [а, b], для которого S ‒ s < ε => f(х) интегрируема на [а, b].