В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу, страница 7

Ïî óñëîâèþlim f (x) = f (a),x→a+0lim f (x) = f (a).x→a−0Ñîãëàñíî òåîðåìå 1 ãëàâû 2 îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåòlim f (x) = f (a),x→aà ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî f (x) íåïðåðûâíà â òî÷êå a. Òåîðåìà äîêàçàíà.Òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèèÎïðåäåëåíèå. Ïðåäåëüíàÿ òî÷êà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíê-öèè, â êîòîðîé ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé, íàçûâàåòñÿòî÷êîé ðàçðûâà ôóíêöèè.Ïðèìåðû.1) Ôóíêöèÿ f (x) = [x] ðàçðûâíà â òî÷êàõ x = n, n ∈ Z.2) Ôóíêöèÿ ÄèðèõëåD(x) =1,0,åñëè x ∈ Q,åñëè x ∈/ Q,ãäå Q ìíîæåñòâî âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, ðàçðûâíà âî âñåõòî÷êàõ, òàê êàê ∀a ∈ Rlim D(x)x→aíå ñóùåñòâóåò (äîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíî).3) Ôóíêöèÿ f (x) = x · D(x) íåïðåðûâíà â òî÷êå x = 0, ïîñêîëüêólim f (x) = f (0) = 0,x→0è ðàçðûâíà âî âñåõ îñòàëüíûõ òî÷êàõ (äîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíî).Ãë.

3. Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè40Êëàññèôèêàöèÿ òî÷åê ðàçðûâà1) Óñòðàíèìûé ðàçðûâ. Òî÷êà a íàçûâàåòñÿ òî÷êîé óñòðà-íèìîãî ðàçðûâà ôóíêöèè f (x), åñëè∃ lim f (x) = b,x→aíî â òî÷êå a ôóíêöèÿ f (x) ëèáî íå îïðåäåëåíà, ëèáî f (a) 6= b.Åñëè ïîëîæèòü f (a) = b, òî ðàçðûâ áóäåò óñòðàíåí, ò.å. ôóíêöèÿ ñòàíåò íåïðåðûâíîé â òî÷êå a.Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = sin x/x, x 6= 0.sin x=x→0 xlim1(ýòî áóäåò âñêîðå äîêàçàíî), îäíàêî â òî÷êå x = 0 ýòà ôóíêöèÿíå îïðåäåëåíà.

Åñëè ïîëîæèòü(f (x) =sin x,x1,åñëè x 6= 0,åñëè x = 0,òî ôóíêöèÿ f (x) áóäåò íåïðåðûâíîé â òî÷êå x = 0.2) Ðàçðûâ 1-îãî ðîäà. Òî÷êà a íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà1-îãî ðîäà ôóíêöèè f (x), åñëè ñóùåñòâóþòlim f (x) èx→a+0lim f (x),x→a−0íî îíè íå ðàâíû (ò.å. f (a − 0) 6= f (a + 0)).Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = [x]. Òî÷êè x = n, n ∈ Zÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè ðàçðûâà 1-îãî ðîäà äàííîé ôóíêöèè, òàê êàêf (n − 0) = n − 1, à f (n + 0) = n 6= f (n − 0).3) Ðàçðûâ 2-îãî ðîäà. Òî÷êà a íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà2-îãî ðîäà ôóíêöèè f (x), åñëè â ýòîé òî÷êå íå ñóùåñòâóåò ïîêðàéíåé ìåðå îäèí èç îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ f (x).Ïðèìåðû.1) Òî÷êà x = 0 ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà 2-îãî ðîäà ôóíêöèè111sin , òàê êàê îáà îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëà lim sin è lim sinxx x→+xx→−íå ñóùåñòâóþò.2) Òî÷êà x = 1 ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà 2-îãî ðîäà ôóíêöèè2 /(x− ) , ïîñêîëüêó01011lim 2 x−1 = 0,x→1−01íî lim 2 x−1 = ∞ (ò.å. íå ñóùåñòâóåò).x→1+02.

Ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé41Ÿ 2. Ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèéÒåîðåìà 2. Åñëè ôóíêöèè f (x) è g(x) íåïðåðûâíû â òî÷êå a, òîôóíêöèè f (x) ± g(x), f (x)g(x), f (x)/g(x) (ïðè óñëîâèè g(a) 6= 0)òàêæå íåïðåðûâíû â òî÷êå a.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî óñëîâèþlim f (x) = f (a),x→alim g(x) = g(a).x→aÎòñþäà ñëåäóåò (ñîãëàñíî òåîðåìå 4 ãëàâû 2), ÷òîlim (f (x) ± g(x)) = f (a) ± g(a),x→alim f (x)g(x) = f (a)g(a),x→aè, åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå g(a) 6= 0, òî limx→af (x)f (a)=,g(x)g(a)à ýòî è îçíà÷àåò ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû.Ïîíÿòèå ñëîæíîé ôóíêöèèÏóñòü àðãóìåíò t ôóíêöèè y = f (t) ÿâëÿåòñÿ íå íåçàâèñèìîéïåðåìåííîé, à ôóíêöèåé íåêîòîðîé ïåðåìåííîé x: t = ϕ(x). Òîãäàãîâîðÿò, ÷òî ïåðåìåííàÿ y ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé ôóíêöèåé ïåðåìåííîé x (èëè ñóïåðïîçèöèåé ôóíêöèé f è ϕ) è ïèøóò y = f (ϕ(x)).Ïðèìåð.

y = sin(x ) ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ: y = sin t, ãäå t = x .Òåîðåìà 3. Ïóñòü ôóíêöèÿ t = ϕ(x) íåïðåðûâíà â òî÷êå x = a,ϕ(a) = b, à ôóíêöèÿ y = f (t) íåïðåðûâíà â òî÷êå b. Òîãäà ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ y = f (ϕ(x)) íåïðåðûâíà â òî÷êå x = a.Äîêàçàòåëüñòâî. Íóæíî äîêàçàòü, ÷òî22lim f (ϕ(x)) = f (ϕ(a)),x→aò.å. ∀ε > 0 ∃δ > 0, òàêîå, ÷òî|f (ϕ(x)) − f (ϕ(a))| < ε ïðè |x − a| < δ.Çàäàäèì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Òàê êàê ôóíêöèÿ f (t) íåïðåðûâíàâ òî÷êå b, òî ∃γ > 0, òàêîå, ÷òî |f (t) − f (b)| < ε ïðè |t − b| < γ ,îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî|f (ϕ(x)) − f (ϕ(a))| < ε ïðè|ϕ(x) − ϕ(a)| < γ.(3.1) ñâîþ î÷åðåäü, â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè ϕ(x) â òî÷êåa äëÿ óêàçàííîãî γ ñóùåñòâóåò δ > 0, òàêîå, ÷òî|ϕ(x) − ϕ(a)| < γïðè |x − a| < δ.(3.2)Ãë.

3. Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè42Èç (3.1) è (3.2) ñëåäóåò, ÷òî åñëè|x − a| < δ , òî |f (ϕ(x)) − f (ϕ(a))| < ε,÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé íàìíîæåñòâå X , åñëè îíà íåïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êå ýòîãî ìíîæåñòâà.Ïðèìåð: ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ Pn (x)/Qm (x) íåïðåðûâíà íàëþáîì èíòåðâàëå, íà êîòîðîì Qm (x) 6= 0. ÷àñòíîñòè, f (x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé íà ñåãìåíòå [a, b](a < b), åñëè îíà íåïðåðûâíà â êàæäîé âíóòðåííåé òî÷êå ñåãìåíòà [a, b], íåïðåðûâíà â òî÷êå a ñïðàâà è â òî÷êå b ñëåâà.Òåîðåìà 4.

Åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a, b]è f (a)f (b) < 0, òî ñóùåñòâóåò òî÷êà c ∈ (a, b), òàêàÿ, ÷òî f (c) = 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè f (a) < 0, f (b) >> 0. Òîãäà â ñèëó óñòîé÷èâîñòè çíàêà íåïðåðûâíîé ôóíêöèèf (x) < 0 â íåêîòîðîé ïðàâîé ïîëóîêðåñòíîñòè òî÷êè a. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî X òàêèõ ÷èñåë xe ñåãìåíòà [a, b], äëÿ êîòîðûõf (x) < 0 íà [a, xe), òî åñòü X = {ex : f (x) < 0 ïðè a 6 x < xe}.Ýòî ìíîæåñòâî îãðàíè÷åíî ñâåðõó è, ñëåäîâàòåëüíî, èìååò òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü.

Ïóñòü sup X = c. Îòìåòèì, ÷òî∀x0 < c : f (x0 ) < 0.(3.3)Äåéñòâèòåëüíî, åñëè x < c, òî x íå ÿâëÿåòñÿ âåðõíåé ãðàíüþìíîæåñòâà X è ïîýòîìó ñóùåñòâóåò ÷èñëî xe ∈ X , òàêîå, ÷òîxe > x . Òàê êàê f (x) < 0 íà [a, xe), òî f (x ) < 0.Äîêàæåì, ÷òî f (c) = 0. Áóäåì ðàññóæäàòü îò ïðîòèâíîãî.Äîïóñòèì, ÷òî f (c) < 0. Òîãäà f (x) < 0 â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè c è, ñëåäîâàòåëüíî, ∃ex > c, òàêîå, ÷òî f (x) < 0 íà[a, xe), à ýòî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî sup X = c.Äîïóñòèì òåïåðü, ÷òî f (c) > 0.

Òîãäà f (x) > 0 â íåêîòîðîéîêðåñòíîñòè òî÷êè c, è, ñëåäîâàòåëüíî, ∃x < c : f (x) > 0, ÷òîïðîòèâîðå÷èò íåðàâåíñòâó (3.3).Èòàê, ìû çàêëþ÷àåì, ÷òî f (c) = 0. Òåîðåìà äîêàçàíà.0000Ñëåäñòâèå. (Òåîðåìà î ïðîõîæäåíèè íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ÷åðåç ëþáîå ïðîìåæóòî÷íîå çíà÷åíèå.) Ïóñòü f (x) íåïðå-ðûâíà íà ñåãìåíòå [a, b], ïðè÷åì f (a) = A, f (b) = B . Òîãäà∀C ∈ (A, B) ∃c ∈ (a, b): f (c) = C .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè A < B , A << C < B . Ââåäåì ôóíêöèþ g(x) = f (x) − C .

Îíà íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a, b], ïðè÷åì g(a) = f (a) − C = A − C < 0,3. Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè è íåïðåðûâíîñòè îáðàòíîé ôóíêöèè43g(b) = f (b) − C = B − C > 0. Ïî òåîðåìå 4 ñóùåñòâóåò òàêàÿòî÷êà c ∈ (a, b), ÷òî g(c) = 0, ò.å. f (c) − C = 0, îòêóäà f (c) = C ,÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Ÿ 3. Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè è íåïðåðûâíîñòèîáðàòíîé ôóíêöèèÏóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) îïðåäåëåíà íà ìíîæåñòâå X è Y ìíîæåñòâî åå çíà÷åíèé. Ïóñòü êàæäîå y ∈ Y ñîîòâåòñòâóåò ðîâíîîäíîìó çíà÷åíèþ x èç ìíîæåñòâà X .  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò,÷òî ôóíêöèÿ y = f (x) óñòàíàâëèâàåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâ X è Y .Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó y èç Y òî ÷èñëî x èçX , äëÿ êîòîðîãî f (x) = y . Òåì ñàìûì íà ìíîæåñòâå Y áóäåòîïðåäåëåíà ôóíêöèÿ.

Îíà íàçûâàåòñÿ îáðàòíîé ïî îòíîøåíèþ êôóíêöèè y = f (x) è îáîçíà÷àåòñÿ x = f − (y).Î÷åâèäíî, îáðàòíîé ïî îòíîøåíèþ ê ôóíêöèè x = f − (y) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ y = f (x). Ïîýòîìó ýòè äâå ôóíêöèè íàçûâàþòñÿâçàèìíî îáðàòíûìè.11Ïðèìåðû.1) Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = x , X = [0, +∞). Ìíîæåñòâî ååçíà÷åíèé Y = [0, +∞)√ . Îáðàòíîé ïî îòíîøåíèþ ê ýòîé ôóíêöèèáóäåò ôóíêöèÿ x = y , îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâå Y .2) Ðàññìîòðèì òåïåðü ôóíêöèþ y = x , îïðåäåëåííóþ íàìíîæåñòâå X = (−∞, +∞).  ýòîì ñëó÷àå, êàê è â ïðèìåðå 1,Y ∈ [0, +∞), íî îáðàòíîé ôóíêöèè íå ñóùåñòâóåò, ïîñêîëüêóñîîòâåòñòâèå, óñòàíàâëèâàåìîå äàííîé ôóíêöèåé ìåæäó ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâ X è Y , íå ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì.Òåîðåìà 5. Ïóñòü ôóíêöèÿyy = f (x) îïðåäåëåíà, ñòðîãî ìîíîòîííà è íåïðåðûâíà íà ñåã- f (b)ìåíòå [a, b].

Òîãäà: 1) ìíîæåyñòâîì åå çíà÷åíèé ÿâëÿåòñÿ ñåãy +δìåíò Y = [f (a), f (b)]; 2) íà ñåãyy -δìåíòå Y ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿyôóíêöèÿ x = f − (y); 3) îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ òàêæå ñòðîãî ìî- f (a)íîòîííà; 4) îáðàòíàÿ ôóíêöèÿa x - ε x0 x + εíåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå Y .b xOÄîêàçàòåëüñòâî.

Ïóñòü (äëÿîïðåäåëåííîñòè)ôóíêöèÿy = f (x) âîçðàñòàåò íà [a, b]. Âñå222000110Ðèñ. 3.2.0Ãë. 3. Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè44óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû íàãëÿäíî î÷åâèäíû (ðèñ. 3.2). Ïðîâåäåìàêêóðàòíîå äîêàçàòåëüñòâî.1)  ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèÿ y = f (x) ïðèíèìàåò âñåçíà÷åíèÿ îò f (a) äî f (b), à â ñèëó âîçðàñòàíèÿ íå èìååò çíà÷åíèé, ìåíüøèõ f (a) è áîëüøèõ f (b). Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâîåå çíà÷åíèé åñòü ñåãìåíò Y = [f (a), f (b)].2) Êàæäîå ÷èñëî y ∈ Y ñîîòâåòñòâóåò ðîâíî îäíîìó ÷èñëóx ∈ [a, b]. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî íåêîòîðîå y èçY ñîîòâåòñòâóåò äâóì ÷èñëàì x è x èç [a, b] (ïóñòü ðàäè îïðåäåëåííîñòè x < x ), òî ïîëó÷èì f (x ) = f (x ) = y , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò âîçðàñòàíèþ ôóíêöèè f (x) íà îòðåçêå [a, b].

Ñëåäîâàòåëüíî,íà ñåãìåíòå Y ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ x = f − (y).3) Äîêàæåì, ÷òî îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ x = f − (y) âîçðàñòàåòíà Y . Ïóñòü y , y ∈ Y , y < y . Íóæíî äîêàçàòü, ÷òî f − (y ) << f − (y ). Ïîëîæèì f − (y ) = x , f − (y ) = x . Íóæíî äîêàçàòü,÷òî x < x . Äîïóñòèì, ÷òî x > x . Òîãäà f (x ) > f (x ) â ñèëóâîçðàñòàíèÿ ôóíêöèè y = f (x), ò.å. y > y , ÷òî ïðîòèâîðå÷èòóñëîâèþ y < y . Èòàê, ôóíêöèÿ x = f − (y) âîçðàñòàåò íà ñåãìåíòå Y .4) Îñòàåòñÿ äîêàçàòü íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè x = f − (y) íàñåãìåíòå Y . Äîêàæåì íåïðåðûâíîñòü â ïðîèçâîëüíîé âíóòðåííåéòî÷êå y ∈ Y . Ïóñòü f − (y ) = x .

Íóæíî äîêàçàòü, ÷òî ∀ε > 0∃δ > 0, òàêîå, ÷òî |f − (y) − f − (y )| < ε ïðè |y − y | < δ , èëè|f − (y) − x | < ε äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ y èç δ -îêðåñòíîñòè òî÷êèy .Âîçüìåì ε ñòîëü ìàëûì, ÷òî x − ε > a, x + ε < b.Ïóñòü f (x − ε) = y , f (x + ε) = y . Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿy = f (x) âîçðàñòàþùàÿ, òî y < y < y , à â ñèëó âîçðàñòàíèÿîáðàòíîé ôóíêöèè ∀y ∈ (y , y ): f − (y) ∈ (x − ε, x + ε). Âîçüìåì ëþáóþ δ -îêðåñòíîñòü òî÷êè y , êîòîðàÿ ëåæèò â èíòåðâàëå(y , y ).

Òîãäà äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ y èç ýòîé δ -îêðåñòíîñòèçíà÷åíèÿ îáðàòíîé ôóíêöèè áóäóò ïðèíàäëåæàòü ε-îêðåñòíîñòèòî÷êè x , ò.å. ∀y ∈ {|y − y | < δ} âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî|f − (y) − x | < ε, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Íåïðåðûâíîñòü îáðàòíîé ôóíêöèè â ãðàíè÷íûõ òî÷êàõ ñåãìåíòà Y äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.Òåîðåìà 5 ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.112122111121211121121211212122112110001100100001001120212000120010Ÿ 4. Íåïðåðûâíîñòü ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèéÈñïîëüçóÿ òåîðåìó 5, äîêàæåì íåïðåðûâíîñòü îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé.4.