В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу, страница 3

∃M , ∀x ∈ X : x 6 M .Ìîãóò ïðåäñòàâèòüñÿ 2 ñëó÷àÿ:1) ñðåäè ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà X èìååòñÿ õîòÿ áû îäíî ÷èñëîx > 0;2) ∀x ∈ X : x < 0. ñëó÷àå 1) áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî íåîòðèöàòåëüíûåx ∈ X : X+ = {x ∈ X : x = x , x x ... xn ... > 0}. Ò.ê.

x 6 M ,òî ñðåäè âñåõ öåëûõ ÷àñòåé ÷èñåë èç ìíîæåñòâà X+ èìååòñÿíàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî. Ïóñòü1020max{x0 } = x0 .X+Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî X = {x ∈ X : x = x , x x ... xn ...}.Ïóñòü0012max{x1 } = x1 .X0Äàëåå ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî X = {x ∈ X: x = x , x x ... xn ...}.Ïóñòü101max{x2 } = x2 .X1È òàê äàëåå. Íà k-îì øàãå ðàññìîòðèì ìíîæåñòâîXk−1 = {x ∈ X : x = x0 , x1 ... xk−1 xk ...}.24.

Òî÷íûå ãðàíè îãðàíè÷åííîãî ÷èñëîâîãî ìíîæåñòâà13Ïóñòümax{xk } = xk .Xk−1Ïðîäîëæàÿ (ìûñëåííî) ýòîò ïðîöåññ, ìû îïðåäåëèì ÷èñëà xk äëÿâñåõ k.Ðàññìîòðèì ÷èñëîx = x0 , x1 ... xn ...è äîêàæåì, ÷òî x = sup X . Äëÿ ýòîãî íóæíî äîêàçàòü, ÷òî:à) ∀x ∈ X : x 6 x;á) ∀ex < x ∃x ∈ X : x > xe.Äîêàæåì óòâåðæäåíèå à).

Òàê êàê x > 0, òî äëÿ ëþáîãî îòðèöàòåëüíîãî x ∈ X : x 6 x. Åñëè æå ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ñóùåñòâóåò íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî x = x , x ... xn ... ∈ X , òàêîå, ÷òî x > x, òî ïî ïðàâèëó ñðàâíåíèÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë∃k : x = x , ... , xk− = xk− , xk > xk .

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ñèëó íàïèñàííûõ ðàâåíñòâ, x ∈ Xk− , è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíîîïðåäåëåíèþ xk , âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî1001011xk 6 xk = max{xk }.Xk−1Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå ïîêàçûâàåò, ÷òî íàøå ïðåäïîëîæåíèåíåâåðíî. Èòàê, ∀x ∈ X : x 6 x.Äîêàæåì óòâåðæäåíèå á). Ïóñòü0 6 xe = xe , xe ... xfn ... < x = x , x ... xn ... .0110fk < xk . ÂîçüìåìÒîãäà ∃k, òàêîå, ÷òî xe = x , ... , x]k− = xk− , xëþáîå x ∈ Xk .

Îíî èìååò âèä0101x = x0 , x1 ... xk xk+1 ... ,è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî ïðàâèëó ñðàâíåíèÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî x > xe. Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè, ÷òî ∀ex < x ∃x ∈ X : x > xe.Èòàê, äëÿ ñëó÷àÿ 1) ìû äîêàçàëè, ÷òî x = sup X . Îáðàòèìñÿê ñëó÷àþ 2). Åñëè âñå x < 0, ò.å. x = −x , x ... xn ..., òî ïîñòðîåíèå ÷èñëà x = −x , x ...

xn ... âåäåòñÿ àíàëîãè÷íî, òîëüêî òåïåðüíóæíî ïîëîæèòüx = min{x },0010X0114Ãë. 1. Âåùåñòâåííûå ÷èñëàäàëåå íóæíî ðàññìîòðåòü ìíîæåñòâîX0 = {x ∈ X : x = −x0 , x1 ... xn ...}è ïîëîæèòüx1 = min{x1 }X0è ò.ä. Êàê è â ñëó÷àå 1) äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî x = sup X . Òåîðåìàäîêàçàíà.Çàäàíèå. Äîêàæèòå ñóùåñòâîâàíèå òî÷íîé íèæíåé ãðàíè óîãðàíè÷åííîãî ñíèçó ìíîæåñòâà.Îòìåòèì, ÷òî òî÷íàÿ âåðõíÿÿ (íèæíÿÿ) ãðàíü îãðàíè÷åííîãî ñâåðõó (ñíèçó) ìíîæåñòâà ìîæåò íå ïðèíàäëåæàòü ýòîìóìíîæåñòâó. Ïðèâåäåì ïðèìåð: ïóñòü X = {x : x < 2, 5}. Çäåñüx = 2, 4(9) = 2, 5 6∈ X . Åùå îäèí ïðèìåð: X = {x : 1 < x 6 2}.Çäåñü sup X = 2 ∈ X , â òî âðåìÿ êàê inf X = 1 6∈ X .

Òàêèì îáðàçîì, íóæíî ðàçëè÷àòü ñóùåñòâîâàíèå òî÷íûõ ãðàíåé ìíîæåñòâàX è ïðèíàäëåæíîñòü èõ ìíîæåñòâó X . Çàìåòèì òàêæå, ÷òîâ ïîñëåäíåì ïðèìåðå ìíîæåñòâî X èìååò íàèáîëüøåå (ìàêñèìàëüíîå) ÷èñëî: max X = 2 = sup X , íî íå èìååò ìèíèìàëüíîãî÷èñëà. Ïîíÿòèÿ sup è inf ÿâëÿþòñÿ îáîáùåíèÿìè ïîíÿòèé max èmin.  îòëè÷èå îò max è min ó îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà âñåãäàèìåþòñÿ sup è inf .Ÿ 5. Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä âåùåñòâåííûìè÷èñëàìèÑëîæåíèå âåùåñòâåííûõ ÷èñåëÏóñòü x è y ïðîèçâîëüíûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà, è ïóñòü xrè yr ëþáûå ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå íåðàâåíñòâàì:xr 6 x,yr 6 y.Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî {xr + yr } (çäåñü xr è yr ñêëàäûâàþòñÿ ïîïðàâèëó ñëîæåíèÿ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë).

Îíî îãðàíè÷åíî ñâåðõó.Äåéñòâèòåëüíî, åñëè x è y ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà, òàêèå, ÷òîx 6 x, y 6 y , òî â ñèëó òðàíçèòèâíîñòè çíàêà 6 èìååì: xr 6 x,yr 6 y , îòêóäà xr + yr 6 x + y . Èòàê, ìíîæåñòâî {xr + yr } îãðàíè÷åíî ñâåðõó. Ñëåäîâàòåëüíî, îíî èìååò òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü.5. Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä âåùåñòâåííûìè ÷èñëàìè15Îïðåäåëåíèå. Ñóììîé âåùåñòâåííûõ ÷èñåë x è y íàçîâåìòî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü ìíîæåñòâà {xr + yr }:x + y = sup {xr + yr }.xr ,yr ∈Qxr 6xyr 6yÇäåñü è äàëåå áóêâîé Q îáîçíà÷àåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë.Óìíîæåíèå âåùåñòâåííûõ ÷èñåë1) Ïóñòü x > 0 è y > 0 ïðîèçâîëüíûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà,è ïóñòü xr è yr ëþáûå ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèåíåðàâåíñòâàì0 < xr 6 x, 0 < yr 6 y.Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî {xr · yr }, ãäå óìíîæåíèå xr · yr ïðîèçâîäèòñÿ ïî ïðàâèëó äëÿ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë.

Îíî îãðàíè÷åíîñâåðõó.Îïðåäåëåíèå. Ïðîèçâåäåíèåì ïîëîæèòåëüíûõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë x è y íàçîâåì òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü ìíîæåñòâà{xr · yr }:x · y = sup {xr · yr }.xr ,yr ∈Q0<xr 6x0<yr 6y2) ∀x ïîëàãàåì: x · 0 = 0 · x = 0.3) Ïóñòü x 6= 0, y 6= 0.

Òîãäà ïîëàãàåì (ïî îïðåäåëåíèþ)x·y =|x| · |y|,åñëè x è y îäíîãî çíàêà,−|x| · |y|, åñëè x è y ðàçíûõ çíàêîâ.Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ñôîðìóëèðîâàííûå ïðàâèëà ñëîæåíèÿ èóìíîæåíèÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë îáëàäàþò òàêèìè æå ñâîéñòâàìè, êàê è ïðàâèëà ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë,è ÷òî â ïðèìåíåíèè ê ðàöèîíàëüíûì ÷èñëàì îíè äàþò òîò æåðåçóëüòàò, ÷òî è ïðàâèëà ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ðàöèîíàëüíûõ÷èñåë.Âû÷èòàíèå îïðåäåëÿåòñÿ êàê äåéñòâèå, îáðàòíîå ñëîæåíèþ:ðàçíîñòü ÷èñåë x è y ýòî òàêîå ÷èñëî z , ÷òî y + z = x.

Ìîæíîäîêàçàòü, ÷òî ∀x, y ∃! z : y + z = x (Çäåñü çíàê ! îçíà÷àåò, ÷òîòàêîå ÷èñëî z åäèíñòâåííî).Äåëåíèå îïðåäåëÿåòñÿ êàê äåéñòâèå, îáðàòíîå óìíîæåíèþ:÷àñòíîå îò äåëåíèÿ x íà y 6= 0 ýòî òàêîå ÷èñëî z , ÷òî y · z = x.Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ∀x, ∀y 6= 0 ∃!z : y · z = x.Ãë. 1. Âåùåñòâåííûå ÷èñëà16Ÿ 6. Íåêîòîðûå ÷èñëîâûå íåðàâåíñòâàà) ∀a : −|a| 6 a 6 |a|.

Äàííîå íåðàâåíñòâî íåïîñðåäñòâåííîñëåäóåò èç ïðàâèëà ñðàâíåíèÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë.á) ∀a, b : |a ± b| 6 |a| + |b| (äîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíî).â) ∀a, b : |a − b| > |a| − |b|.Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê |a| = |(a − b) + b| 6 |a − b| + |b| âñèëó óòâåðæäåíèÿ á), òî |a − b| > |a| − |b|.Ÿ 7. Ãåîìåòðè÷åñêîå èçîáðàæåíèå âåùåñòâåííûõ ÷èñåëÂâåäåì â ðàññìîòðåíèå êîîðäèíàòíóþ ïðÿìóþ (èëè îñü êîîðäèíàò), ò.å. ïðÿìóþ, íà êîòîðîé âûáðàíî íàïðàâëåíèå, íà÷àëîîòñ÷åòà (òî÷êà 0) è ìàñøòàáíûé îòðåçîê OE , äëèíó êîòîðîãîïîëàãàåì ðàâíîé 1 (ðèñ.

1.1).M ( x)O(0) E (1)x = -OM < 0M ( x)xx = OM > 0Ðèñ. 1.1.Êàæäîé òî÷êå M êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå îïðåäåëåííîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî äëèíó îòðåçêà OM ,åñëè òî÷êà M ëåæèò íà ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè, è âçÿòóþ ñîçíàêîì ìèíóñ äëèíó îòðåçêà OM , åñëè òî÷êà M ëåæèò íàîòðèöàòåëüíîé ïîëóîñè.Òî÷êå O ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëîíóëü.Èòàê, êàæäîé òî÷êå M êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî. Èìååò ìåñòî è îáðàòíîå ñîîòâåòñòâèå, ò.å. êàæäîìó âåùåñòâåííîìó ÷èñëó ñîîòâåòñòâóåòíåêîòîðàÿ òî÷êà íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãîóòâåðæäåíèÿ îñíîâûâàåòñÿ íà àêñèîìàõ ãåîìåòðèè, à èìåííî, íààêñèîìå íåïðåðûâíîñòè ïðÿìîé. Ìû íå áóäåì çàíèìàòüñÿ ýòèìïîäðîáíî.Äëÿ íàãëÿäíîñòè ìû áóäåì ÷àñòî ïîëüçîâàòüñÿ ãåîìåòðè÷åñêèì èçîáðàæåíèåì âåùåñòâåííûõ ÷èñåë â âèäå òî÷åê íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé.

Ïîýòîìó ñàìè ÷èñëà ÷àñòî áóäåì íàçûâàòüòî÷êàìè.Çàìåòèì, ÷òî åñëè x = sup X , òî êàæäàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà Xëåæèò ëåâåå x èëè ñîâïàäàåò ñ x, ïðè÷åì ñêîëü óãîäíî áëèçêî îòx èìåþòñÿ òî÷êè ìíîæåñòâà X .8. Íåêîòîðûå ÷èñëîâûå ìíîæåñòâà17Ÿ 8. Íåêîòîðûå ÷èñëîâûå ìíîæåñòâà1) Èíòåðâàë (a, b) = {x : a < x < b}.2) Ñåãìåíò (èëè îòðåçîê) [a, b] = {x : a 6 x 6 b}; òî÷êè aè b íàçûâàþòñÿ ãðàíè÷íûìè òî÷êàìè ñåãìåíòà, îñòàëüíûå åãîòî÷êè âíóòðåííèìè òî÷êàìè.3) Îêðåñòíîñòü òî÷êè c ëþáîé èíòåðâàë, ñîäåðæàùèé òî÷êóc.4) ε-îêðåñòíîñòü òî÷êè c èíòåðâàë (c − ε, c + ε), òî åñòü{x : |x − c| < ε}.5) Ïðîêîëîòàÿ ε-îêðåñòíîñòü òî÷êè c ìíîæåñòâî {x : 0 << |x − c| < ε}.6) ×èñëîâàÿ ïðÿìàÿ R = (−∞, +∞).7) Ïîëóïðÿìàÿ [a, +∞) = {x : x > a} èëè (−∞, a] èëè (a, +∞)èëè (−∞, a).Êàæäîå èç ìíîæåñòâ 1)-4) è 6), 7) íàçûâàåòñÿ òàêæå ÷èñëîâûì ïðîìåæóòêîì, ïðîêîëîòàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè ñîñòîèò èçäâóõ ïðîìåæóòêîâ.Ãëàâà 2ÏÐÅÄÅË ÔÓÍÊÖÈȟ 1.

Ïîíÿòèå ôóíêöèèÏóñòü X íåêîòîðîå ÷èñëîâîå ìíîæåñòâî.Åñëè êàæäîìó ÷èñëó x ∈ X ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðîå (åäèíñòâåííîå) ÷èñëî y , òî ãîâîðÿò, ÷òî íà ìíîæåñòâå Xîïðåäåëåíà (çàäàíà) ôóíêöèÿ è ïèøóò y = f (x) (èëè y = y(x)).Ïðè ýòîì ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿôóíêöèè; ïåðåìåííàÿ ÷èñëîâàÿ âåëè÷èíà x, ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ èç X (ïðîáåãàþùàÿ ìíîæåñòâî X ) íàçûâàåòñÿ íåçàâèñèìîéïåðåìåííîé èëè àðãóìåíòîì ôóíêöèè. ×èñëî y , ñîîòâåòñòâóþùåå äàííîìó çíà÷åíèþ x, íàçûâàåòñÿ ÷àñòíûì çíà÷åíèåì ôóíêöèè â òî÷êå x; {y} ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè.Ãåîìåòðè÷åñêèôóíêöèÿyy = f (x) èçîáðàæàåòñÿ ñâîèìM ( x, f ( x ) )ãðàôèêîì.Ãðàôèêôóíêf ( x)öèè ýòî ìíîæåñòâî òî÷åê{M (x, f (x)), x ∈ X} â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàòOxy (ðèñ.