В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу, страница 28
Описание файла
PDF-файл из архива "В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 28 страницы из PDF
Òàê êàê f 0 (x) > 0, òî ôóíêöèÿ y = f (x)âîçðàñòàåò íà [a, b], â ÷àñòíîñòè, f (a) < 0 è f (b) > 0, à ïîñêîëüêóf 00 (x) > 0, òî ãðàôèê ôóíêöèè íàïðàâëåí âûïóêëîñòüþ âíèçè, ñëåäîâàòåëüíî, ëåæèò íå íèæå ëþáîé êàñàòåëüíîé. Îòñþäàñëåäóåò, ÷òî x > c, à èç ôîðìóëû (8.6) ïîëó÷àåì:01001x1 = b −f (b)< b = x0 .f 0 (b)Èòàê, c < x < x .Äàëåå àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî íîìåðà n10c < xn < ... < x1 < x0 ,5. Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå êîðíåé óðàâíåíèé197ò.å. {xn } ìîíîòîííàÿ îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
Ñëåäîâàòåëüíî, {xn } ñõîäèòñÿ, à òàê êàê ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòüÿâëÿåòñÿ èòåðàöèîííîé, òîlim xn = c.n→+∞Òåîðåìà 10 äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå 1.  ñëó÷àÿõ f 0 (x) > 0, f 00 (x) < 0 è f 0 (x) < 0,00f (x) > 0 íóæíî áðàòü x = a, à â ñëó÷àå f 0 (x) < 0, f 00 (x) < 0íóæíî áðàòü x = b.Çàìå÷àíèå 2. Ìåòîä êàñàòåëüíûõ íàèáîëåå ýôôåêòèâíûéìåòîä èç ðàññìîòðåííûõ íàìè.Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå00x2 − a = 0,ãäå a > 0.√√Îíî èìååò√ 2 èçîëèðîâàííûõ êîðíÿ: a è − a . Äëÿ îòûñêàíèÿêîðíÿ a ïðèìåíèì ìåòîä êàñàòåëüíûõ.
Òàê êàê f 0 (x) = 2x, òîïî ôîðìóëå (8.6) ïîëó÷àåì:xn+1 = xn −xn − a1a=xn +2xn2xn,x0 > 0.√Ïóñòü a = 25. Òîãäà a = 5.Âîçüìåì x = 10. Òîãäà0x1 =x2 =125 10 += 6, 25;210125 6, 25 += 5, 125.26, 25√Òàêèì îáðàçîì, íà÷àâ ñ âåñüìà äàëåêîãî îò a = 5 çíà÷åíèÿ x == 10,√ìû óæå íà âòîðîé èòåðàöèè ïîëó÷àåì õîðîøóþ òî÷íîñòü:x − a = 0, 125.
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî02x3 ≈ 5, 002, à x4 ≈ 5 + 2 · 10−7 .Ñïèñîê ëèòåðàòóðû1.Â.À. Èëüèí, Ý.Ã. Ïîçíÿê. Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2009.2.Ë.Ä. Êóäðÿâöåâ. Êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ì.: Äðîôà, 2006.3.Ñ.Ì. Íèêîëüñêèé. Êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2001.4.Â.Ô. Áóòóçîâ, Í.×. Êðóòèöêàÿ, Ã.Í. Ìåäâåäåâ, À.À. Øèøêèí Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç â âîïðîñàõ è çàäà÷àõ. ÑÏá.: Ëàíü, 2008.5.Á.Ï. Äåìèäîâè÷. Ñáîðíèê çàäà÷ è óïðàæíåíèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó.
Ì.: Àñòðåëü, 2009..