В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу, страница 8

Íåïðåðûâíîñòü ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé451) y = sin x (îïðåäåëåíèå ýòîé ôóíêöèè áûëî äàíî â øêîëüíîìêóðñå ìàòåìàòèêè). Ðàíåå áûëî äîêàçàíî, ÷òîlim sin x = sin 0 = 0,x→0îòêóäà ñëåäóåò íåïðåðûâíîñòü sin x â òî÷êå x = 0.Äîêàæåì íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè y = sin x â ïðîèçâîëüíîéòî÷êå x = a ∈ R.Íóæíî äîêàçàòü, ÷òî sin x → sin a ïðè x → a, èëè, ÷òî òî æåñàìîå, sin x − sin a → 0 ïðè x → a.

Èìååì:sin x − sin a = 2 sinx−a2cosx+a2→ 0 ïðè x → a,ïîñêîëüêó ïåðâûé ñîìíîæèòåëü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áåñêîíå÷íîìàëóþ ôóíêöèþ ïðè x → a, à âòîðîé îãðàíè÷åííóþ ôóíêöèþ.Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = sin x íà îòðåçêå [−π/2, π/2]. Îíàíåïðåðûâíà è âîçðàñòàåò íà ýòîì îòðåçêå (âîçðàñòàíèå ñëåäóåòèç ôîðìóëûsin x2 − sin x1 = 2 sinx2 − x12cosx2 + x12.Ïî òåîðåìå 5 ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ñåãìåíòh π π iY = sin −, sin −= [−1, 1],22íà ñåãìåíòå Y ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ (îíà îáîçíà÷àåòñÿx = arcsin y ) è ýòà ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò è íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [−1, 1].2) Âîïðîñ î íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè y = cos x è îáðàòíîéïî îòíîøåíèþ ê íåé ôóíêöèè x = arccos y ðàññìîòðèòå ñàìîñòîÿòåëüíî.3) y = tg x. Ïîñêîëüêó tg x = sin x/ cos x (ãäå x 6= π/2 + πn,n ∈ Z), òî äàííàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà âî âñåõ òî÷êàõ åå îáëàñòèîïðåäåëåíèÿ êàê ÷àñòíîå äâóõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé.Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = tg x íà îòðåçêå [−π/2 + δ , π/2 − δ],ãäå δ > 0 ïðîèçâîëüíî ìàëîå ÷èñëî.

Âîçðàñòàíèå ôóíêöèè tg xíà ýòîì îòðåçêå âûòåêàåò èç ôîðìóëûtg x2 − tg x1 =sin(x2 − x1 ).cos x1 · cos x2Ïî òåîðåìå 5 ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé äàííîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿñåãìåíò Y = [tg(−π/2 + δ), tg(π/2 − δ)], íà ñåãìåíòå Y ñóùåñòâó-Ãë. 3. Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè46åò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ (îíà îáîçíà÷àåòñÿ x = arctg y ), âîçðàñòàþùàÿ è íåïðåðûâíàÿ.Ïîñêîëüêótg(−π/2 + δ) → −∞ è tg(π/2 − δ) → +∞ ïðè δ → +0,òî ∀y ∈ R ∃δ > 0, òàêîå, ÷òîy ∈ [tg(−π/2 + δ), tg(π/2 − δ)] .Ïîýòîìó ôóíêöèÿ x = arctg y îïðåäåëåíà, âîçðàñòàåò è íåïðåðûâíà íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé (−∞, +∞).4) Âîïðîñ î íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè y = ctg x è îáðàòíîéïî îòíîøåíèþ ê íåé ôóíêöèè x = arcctg y ðàññìîòðèòå ñàìîñòîÿòåëüíî.5) Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ y = xn , ãäå n íàòóðàëüíîå ÷èñëî.Îíà íåïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êå êàê ïðîèçâåäåíèå n íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, ðàâíûõ x.Ðàññìîòðèì äàííóþ ôóíêöèþ íà ñåãìåíòå [0, a], ãäå a > 0 ïðîèçâîëüíîå ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî.

Ýòà ôóíêöèÿ íåïðåðûâíàè âîçðàñòàåò íà ýòîì ñåãìåíòå. Ïî òåîðåìå 5 ìíîæåñòâîì ååçíà÷åíèé ÿâëÿåòñÿ ñåãìåíò Y = [0, an ], íà ñåãìåíòåY ñóùåñòâóåò√îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ (îíà îáîçíà÷àåòñÿ x = n y èëè x = y /n ),âîçðàñòàþùàÿ è íåïðåðûâíàÿ.Ïîñêîëüêó∀y > 0 ∃a, òàêîå, ÷òî y ∈ [0, an ], òî ôóíêöèÿ√nx = y îïðåäåëåíà, âîçðàñòàåò è íåïðåðûâíà íà ïîëóïðÿìîé[0, +∞).Èòàê, ∀x > 0 îïðåäåëåíà äðîáíàÿ ñòåïåíü x /n . Äàëåå, ïîîïðåäåëåíèþ ïîëîæèì xm/n = (x /n )m , ãäå m ëþáîå öåëîå÷èñëî.6) Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ y = ax (a > 0, a 6= 1). Äëÿ ðàöèîíàëüíûõ x = m/n ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà âûøåâ ï.

5). Èç øêîëüíîãî êóðñà àëãåáðû èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ðàöèîíàëüíûõ ïîêàçàòåëåé ñòåïåíè r = m/n ôóíêöèÿ ar îáëàäàåòñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:à) åñëè r > r , òî ar1 > ar2 ïðè a > 1 è ar1 < ar2 ïðè 0 < a < 1;á) ar1 · ar2 = ar1 +r2 ;â) (ar1 )r2 = ar1 r2 ;ã) a = 1 (ïî îïðåäåëåíèþ);ä) a−r = 1/ar (ïî îïðåäåëåíèþ);å) ar br = (ab)r ;æ) ∀r: ar > 0.Îïðåäåëèì òåïåðü ax äëÿ ëþáîãî âåùåñòâåííîãî ÷èñëà x.1111024.

Íåïðåðûâíîñòü ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé47Ïóñòü a > 1, x ïðîèçâîëüíîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî {ar }, ãäå r ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî, íåïðåâîñõîäÿùåå x. Ýòî ìíîæåñòâî îãðàíè÷åíî ñâåðõó, íàïðèìåð,÷èñëîì ar , ãäå r ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå x.Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò sup{ar }. Ïîëîæèì ïî îïðåäåëåíèþax = sup{ar }.r∈Qr6xÌîæíî îïðåäåëèòü ax èíà÷å:ax = inf {aR }.R∈QR>xÇàäàíèå. Äîêàæèòå, ÷òî îáà îïðåäåëåíèÿ äàþò îäèí è òîòæå ðåçóëüòàò.Åñëè 0 < a < 1, òî 1/a > 1, è äëÿ ëþáîãî x ïîëîæèì ax == (1/a)−x .Èòàê, ôóíêöèÿ ax îïðåäåëåíà äëÿ ëþáîãî x.

Ìîæíî äîêàçàòü,÷òî ax îáëàäàåò ñâîéñòâàìè à)-æ) äëÿ ëþáûõ âåùåñòâåííûõ÷èñåë x, â ÷àñòíîñòè, ôóíêöèÿ ax ñòðîãî ìîíîòîííà.Äîêàæåì íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè ax â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå c.Ïóñòü a > 1. Äîêàæåì ñíà÷àëà íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè ax âòî÷êå c ñëåâà. Äëÿ ýòîãî íóæíî äîêàçàòü, ÷òî ∀ε > 0 ñóùåñòâóåòëåâàÿ ïîëóîêðåñòíîñòü òî÷êè c, â êîòîðîé ac − ax < ε.

Ïî îïðåäåëåíèþac = sup{ar }.r∈Qr6cÂîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0 è ðàññìîòðèì ÷èñëî ac − ε. Òàê êàêîíî ìåíüøå ac , òî ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè∃er < c, òàêîå, ÷òî are > ac − ε.  ñèëó âîçðàñòàíèÿ ax ñïðàâåäëèâîíåðàâåíñòâî ax > are ïðè re < x 6 c. Ïîýòîìó ax > ac − ε ïðère < x 6 c, èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ac − ax < ε ïðè re < x 6 c, ÷òî èäîêàçûâàåò íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè ax â òî÷êå c ñëåâà.Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè ax â òî÷êåc ñïðàâà.

Èç íåïðåðûâíîñòè ñëåâà è ñïðàâà ñëåäóåò íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè ax â òî÷êå c.Ðàññìîòðèì òåïåðü ôóíêöèþ y = ax íà ïðîèçâîëüíîì ñåãìåíòå [b, c]. Ïî òåîðåìå 5 ìíîæåñòâîì åå çíà÷åíèé ÿâëÿåòñÿ ñåãìåíòY = [ab , ac ], íà ñåãìåíòå Y ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ (îíàîáîçíà÷àåòñÿ x = loga y ), ñòðîãî ìîíîòîííàÿ è íåïðåðûâíàÿ.Ãë. 3. Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè48Ïîñêîëüêó ∀y > 0 ∃b è c, òàêèå, ÷òî y ∈ [ab , ac ], òî ôóíêöèÿx = loga y îïðåäåëåíà, ñòðîãî ìîíîòîííà è íåïðåðûâíà íà ïîëóïðÿìîé (0, +∞).Åñëè a = e, òî loge y := ln y íàçûâàåòñÿ íàòóðàëüíûì ëîãàðèôìîì, à ôóíêöèÿ ex íàçûâàåòñÿ ýêñïîíåíòîé.7) Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ ñ ïðîèçâîëüíûì âåùåñòâåííûìïîêàçàòåëåì: y = xα , ãäå x > 0, α ∈ R. Ïîñêîëüêó xα = eα ln x ,òî äàííàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà êàê ñóïåðïîçèöèÿ íåïðåðûâíûõôóíêöèé y = et è t = α ln x.Ðàññìîòðåííûå ôóíêöèè 1)-7) íàçûâàþòñÿ îñíîâíûìè ýëåìåíòàðíûìè ôóíêöèÿìè.

Ëþáàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ èç îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ êîíå÷íîãî÷èñëà àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé è ñóïåðïîçèöèé, íàçûâàåòñÿïðîñòî ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèåé, à ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé íàçûâàåòñÿ êëàññîì ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé. Èçíåïðåðûâíîñòè îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé ñëåäóåò, ÷òîëþáàÿ ýëåìåíòàðíàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êå, âîêðåñòíîñòè êîòîðîé îíà îïðåäåëåíà.Ÿ 5.

Çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëûÏåðâûé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåëÏåðâûé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë:limx→0sin x= 1.x0(Ýòîò ïðåäåë ÿâëÿåòñÿ íåîïðåäåëåííîñòüþ òèïà ).0Äîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâàìè (îíè áûëè äîêàçàíû ðàíåå)sin x < x < tg x ïðèèç êîòîðûõ ñëåäóåò:1<èëècos x <π0<x< ,2x1<,sin xcos xsin x<xπ1 ïðè 0 < x < .2 ñèëó ÷åòíîñòè ôóíêöèé cos x è sin x/x âûïèñàííûå íåðàâåíñòâà âåðíû òàêæå ïðè −π/2 < x < 0. Ïåðåéäåì ê ïðåäåëó ïðè5. Çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû49x → 0. Ïîñêîëüêó cos x → 1 (â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèècos x) è 1 → 1 ïðè x → 0, òî, ñîãëàñíî òåîðåìå òåîðåìå 6 ãëàâû2, sin x/x → 1 ïðè x → 0, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Ñëåäñòâèÿ.1) Òàê êàê sin x ∼ x ïðè x → 0, òî sin x − x = o(x), îòêóäàïîëó÷àåì ïðîñòåéøóþ àñèìïòîòè÷åñêóþ ôîðìóëó äëÿ ôóíêöèèsin x ïðè x → 0:sin x = x + o(x).Ïîçäíåå ìû ïîêàæåì, ÷òî çäåñü o(x) = −x /6 + o x .2)cos x = 1 − x /2 + o xïðè x → 0.Äåéñòâèòåëüíî,32lim1 − cos xx2x→032 sin x 2= limxx→02= 1,22îòêóäà ïîëó÷àåì 1 − cos x∼ x /2 ⇒ 1 − cos x − x /2 = o x ⇒⇒ cos x = 1 − x /2 + o xïðè x → 0.3)tg x = x + o(x) ïðè x → 0.(ýòó ôîðìóëó âûâåäèòå ñàìîñòîÿòåëüíî).Ïîçäíåå ìû óçíàåì, ÷òîçäåñü o(x) = x /3 + o x .2222233Ïðèìåðû.1)lim1 − cos 3x + 2 sin2 xxx→09= limx→02x221− 1−= limx292+ o x2+ o(x2 ) + 2x2 + o(x2 )= limx→02)limx→02+ 2 (x + o(x))=x2x→0x213 o(x2 )+ 22x=13.2sin x − tg x.x3Ïåðâàÿ ïîïûòêà (èñïîëüçîâàíèå ïðîñòåéøèõ àñèìïòîòè÷åñêèõôîðìóë):limx→0x + o(x) − (x + o(x))o(x)sin x − tg x= lim= lim 3 =33x→0x→0xxx?Ãë.

3. Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè50Âòîðàÿ ïîïûòêà (ñ ïîìîùüþ ïåðâîãî çàìå÷àòåëüíîãî ïðåäåëà):limx→0= limx→0sin x(cos x − 1)sin x − tg x= lim=3x→0xcos x · x31cos x·sin x cos x − 1·=xx2 11·1· −212=− .Âòîðîé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåëÂòîðîé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë:lim (1 + x)1/x = e.x→0(Ýòîò ïðåäåë ÿâëÿåòñÿ íåîïðåäåëåííîñòüþ òèïà 1∞ )Ïî îïðåäåëåíèþe = limn→+∞1+1 nn.Ïîëîæèì 1/n = x, òîãäà n = 1/x, x → 0 ïðè n → +∞ è ìûïîëó÷àåì:e = limn→+∞1+1 nn= lim (1 + x)1/x .x→0Îäíàêî, ýòî åùå íå äîêàçûâàåò, ÷òî âòîðîé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë èìååò ìåñòî, ò.ê. ïðè òàêîì ïîäõîäå x → 0, ïðèíèìàÿ ëèøüçíà÷åíèÿ 1/n, ãäå n ∈ N, à íóæíî äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü ïðåäåëüíîãî ðàâåíñòâà ïðè ëþáîì ñïîñîáå ñòðåìëåíèÿ x ê íóëþ, âòîì ÷èñëå è êîãäà x ïðèíèìàåò îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ.Ââåäåì ôóíêöèþf (x) =1+1[x][x], x > 1.Òàê êàê f (x) = (1 + 1/n)n ïðè n 6 x < n + 1, òîlim f (x) = limx→+∞n→+∞Äîêàæåì, ÷òîlimx→+∞1+1+1 xx1 nn= e.= e.5.

Çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû51Âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâàìè (ïðè x > 1):[x] 6 x 6 [x] + 1 = [x + 1] ⇒⇒1+161+[x + 1]1+⇒⇒61+[x]11x[x + 1]11+[x + 1]16 1+6[x + 1]1x61⇒[x]⇒[x]11 xx[x+1] · 1+1+6−11[x + 1]1[x]+1⇒[x]1 x6 1+6x[x] 11· 1+.1+6[x][x]Ïåðåéäåì ê ïðåäåëó ïðè x → +∞. Ëåâàÿ è ïðàâàÿ ÷àñòè ïîñëåäíåãî äâîéíîãî íåðàâåíñòâà, î÷åâèäíî, ñòðåìÿòñÿ ê e.

Ñëåäîâàòåëüíî,1 xlim 1 += e.xx→+∞Ïîëîæèì y = 1/x. Òîãäà y → +0 ïðè x → +∞ è ìû ïîëó÷àåì:limx→+∞1+1 xx1= lim (1 + y) y = e.y→+0Ðàäè óäîáñòâà ïåðåïèøåì ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî â âèäå1(3.4)1(3.5)lim (1 + x) x = e.x→+0Äîêàæåì òåïåðü, ÷òîlim (1 + x) x = e.x→−0Ïîëîæèì y = −x. Òîãäà y → +0 ïðè x → −0 è(1 +1x) x= (1 − y)− y1=11y1−y=y1+1−y1y.Ïóñòü z = y/(1 − y). Òîãäà åñëè y → +0, òî z → +0. Êðîìå òîãî,y = z/(1 + z) è 1/y = 1/z + 1. Ïîýòîìó11lim (1 + x) x = lim (1 + z) z · (1 + z) = e · 1 = e,x→−0z→+0Ãë.

3. Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè52òî åñòü âûïîëíåíî ðàâåíñòâî (3.5).Èç (3.4) è (3.5) ñëåäóåò:1lim (1 + x) x = e,x→0÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Ïðèìåðû.1)1loga (1 + x)lim= lim loga (1 + x) xxx→0x→0= loga e =1ln a.Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî loga (1 + x) ∼ x/ ln a ïðè x → 0, ïîýòîìóèìååò ìåñòî àñèìïòîòè÷åñêàÿ ôîðìóëàloga (1 + x) =x+ o(x)ln aïðè x → 0.(3.6) ÷àñòíîñòè, äëÿ a = e ïîëó÷àåì ôîðìóëóln(1 + x) = x + o(x) ïðè x → 0.2)ax − 1y= lim= ln a.xx→0y→0 loga (1 + y)limÇäåñü áûëà ñäåëàíà çàìåíà ax − 1 = y , ïðè ýòîì y → 0, åñëèx → 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ax − 1 ∼ x ln a ïðè x → 0, ïîýòîìó èìååòìåñòî àñèìïòîòè÷åñêàÿ ôîðìóëàax = 1 + x ln a + o(x) ïðè x → 0. ÷àñòíîñòè, äëÿ a = e ïîëó÷àåì ôîðìóëóex = 1 + x + o(x) ïðè x → 0.(3.7)Ãëàâà 4ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÛÅ È ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀË۟ 1. Îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé.

Ïðîèçâîäíûåíåêîòîðûõ îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèéÏóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) îïðåäåëåíà íà èíòåðâàëå (a, b). Çàôèêñèðóåì êàêóþ-íèáóäü òî÷êó x èç (a, b) è ðàññìîòðèì äðóãóþòî÷êó x + ∆x ýòîãî èíòåðâàëà. Âåëè÷èíó ∆x íàçîâåì ïðèðàùåíèåì àðãóìåíòà ôóíêöèè â òî÷êå x. Ñîñòàâèì ðàçíîñòü∆y = f (x + ∆x) − f (x).Ïðè ôèêñèðîâàííîé òî÷êå x ýòà ðàçíîñòü ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåéàðãóìåíòà ∆x. Îíà íàçûâàåòñÿ ïðèðàùåíèåì ôóíêöèè y = f (x)â òî÷êå x.Ðàññìîòðèì îòíîøåíèå∆yf (x + ∆x) − f (x)=.∆x∆xÎíî òàêæå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé àðãóìåíòà ∆x.Îïðåäåëåíèå.