В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу, страница 6

Âîçüìåìcε = . Ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ôóíêöèè2∃δ > 0, ∀x ∈ {0 < |x − a| < δ} : |g(x) − c| < ε,c3còî åñòü c − ε < g(x) < c + ε, èëè < g(x) < , ïîñêîëüêó22cε = . Èç ëåâîãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî g(x) 6= 0 â ïðîêîëîòîé2δ−îêðåñòíîñòè òî÷êè a, è, ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîé ïðîêîëîòîéf (x)îêðåñòíîñòè îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ.g(x)Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâà (2.1), ïîëó÷àåì:f (x)bb + α(x)bcα(x) − bβ(x)− =− =:= γ(x).g(x)cc + β(x)cc · g(x)(2.3)(Ñèìâîë := îçíà÷àåò, ÷òî äðîáü, ñòîÿùàÿ ñëåâà îò ýòîãî ñèìâîëà,îáîçíà÷åíà ÷åðåç γ(x)).1Ôóíêöèÿîãðàíè÷åíà â ïðîêîëîòîé δ−îêðåñòíîñòè òî÷cg(x)1c2êè a, òàê êàê g(x) > è, ñëåäîâàòåëüíî, 0 << 2, à2cg(x)côóíêöèÿ cα(x) − bβ(x) áåñêîíå÷íî ìàëàÿ â òî÷êå a â ñèëóòåîðåì 2 è 3. Ïîýòîìó γ(x) áåñêîíå÷íî ìàëàÿ â òî÷êå aôóíêöèÿ (ïî òåîðåìå 3).f (x)bÈç ðàâåíñòâà (2.3) ñëåäóåò, ÷òî= + γ(x), à ýòî â ñèëóg(x)cëåììû 2 îçíà÷àåò, ÷òîf (x)b= .x→a g(x)climÒåîðåìà 4 äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå 1.

Òåîðåìà 4 ñïðàâåäëèâà â îòíîøåíèè ïðåäåëîâôóíêöèé ïðè x → ∞.4. Ñâîéñòâà ïðåäåëîâ ôóíêöèé33Ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìû 4:1)lim cf (x) = c lim f (x),x→ax→aãäåc = const.2) Ïóñòü Pn (x) è Qm (x) ìíîãî÷ëåíû ñòåïåíè n è m, òîãäàôóíêöèÿ f (x) = Pn (x)/Qm (x) íàçûâàåòñÿ ðàöèîíàëüíîé ôóíê-öèåé èëè ðàöèîíàëüíîé äðîáüþ.Èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: åñëè Qm (a) 6= 0, òîlimx→aPn (x)P (a)= n.Qm (x)Qm (a)Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïóñòü Qm (x) = Cm xm + Cm− xm− + ... + C ,ãäå Ci êàêèå-òî ÷èñëà (êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà Qm (x)).Ðàíåå áûëî äîêàçàíî, ÷òî110lim x = a.x→aÎòñþäà, â ñèëó òåîðåìû 4, ñëåäóåò, ÷òîlim xi = ai (i = 1, 2, ..., m), lim ci xi = ci ai ,x→ax→alim Qm (x) = cm am + cm−1 am−1 + ... + c0 = Qm (a).x→aÀíàëîãè÷íî,lim Pn (x) = Pn (a),x→aà òàê êàê Qm (a) 6= 0, òîlim Pn (x)Pn (x)P (a)= x→a= n.x→a Qm (x)lim Qm (x)Qm (a)limx→aÏðèìåð.x2x2 − 2xx(x − 2)= lim= lim== −2.2−1x→2 x − 5x + 6x→2 (x − 2)(x − 3)x→2 x − 3limÒåîðåìà 5. Åñëè â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè òî÷êèa âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f (x) > c(f (x) 6 c) è ñóùåñòâóåòlim f (x) = b,x→a2 Â.Ô. ÁóòóçîâÃë.

2. Ïðåäåë ôóíêöèè34òî b > c (b 6 c).Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà f (x) > c, è äîêàæåì,÷òî b > c. Äîïóñòèì, ÷òî b < c, è âîçüìåì ε > 0 ñòîëü ìàëûì, ÷òîb + ε < c. Ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ôóíêöèè ñóùåñòâóåò δ > 0òàêîå, ÷òî â ïðîêîëîòîé δ−îêðåñòíîñòè òî÷êè a âûïîëíÿåòñÿíåðàâåíñòâî |f (x) − b| < ε èëè b − ε < f (x) < b + ε.

Òàêèì îáðàçîì, â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé δ−îêðåñòíîñòè òî÷êè a äîëæíû îäíîâðåìåííî âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâà f (x) > c è f (x) < b + ε < c,÷åãî íå ìîæåò áûòü. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò, ÷òîb > c.Çàìå÷àíèå 2. Òåîðåìà 5 ñïðàâåäëèâà â îòíîøåíèè ïðåäåëàôóíêöèè ïðè x → ∞.Çàìå÷àíèå 3 (î ïðåäåëå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè).

Åñëè äëÿ ëþáîãî íîìåðà n âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî c 6 xn 6 b è ñóùåñòâóåòlim xn = a, òî c 6 a 6 b.n→∞Çàìå÷àíèå 4. Èç óñëîâèÿ f (x) > c íå ñëåäóåò, ÷òî è ïðåäåëôóíêöèè áóäåò áîëüøå c. Ïðèâåäåì ïðèìåð: 1/x > 0 ïðè x > 0 ,òîãäà êàê1lim = 0.x→∞xÒåîðåìà 6. Åñëè â ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà f (x) 6 g(x) 6 h(x), è ñóùåñòâóþò ïðåäåëûôóíêöèé f (x) è h(x) ïðè x → a, ïðè÷åìlim f (x) = lim h(x) = b,x→ax→aòî ñóùåñòâóåòlim g(x) = b.x→aÄîêàçàòåëüñòâî. Çàäàäèì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ôóíêöèè íàéäåòñÿ ïðîêîëîòàÿ δ−îêðåñòíîñòüòî÷êè a, â êîòîðîé |f (x) − b| < ε, |h(x) − b| < ε è, êðîìå òîãî,âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà f (x) − b 6 g(x) − b 6 h(x) − b.

Îòñþäàñëåäóåò, ÷òî |g(x) − b| < ε ïðè x ∈ {0 < |x − a| < δ}, à ýòî èîçíà÷àåò, ÷òî lim g(x) = b.x→aŸ 5. Òåîðåìà î ïðåäåëå ìîíîòîííîé ôóíêöèèÎïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ: à) âîçðàñòàþùåé,á) óáûâàþùåé, â) íåâîçðàñòàþùåé, ã) íåóáûâàþùåé íà ìíîæåñòâå X , åñëè äëÿ ëþáûõ x , x ∈ X , òàêèõ, ÷òî x < x ,12125. Òåîðåìà î ïðåäåëå ìîíîòîííîé ôóíêöèè35âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî: à) f (x ) < f (x ), á) f (x ) > f (x ), â)f (x ) > f (x ), ã) f (x ) 6 f (x ).Ôóíêöèè à)-ã) íàçûâàþòñÿ ìîíîòîííûìè, à ôóíêöèè à) èá) ñòðîãî ìîíîòîííûìè íà ìíîæåñòâå X .11212122Ïðèìåðû.1) Ôóíêöèÿ f (x) = x ÿâëÿåòñÿ âîçðàñòàþùåé íà ïîëóïðÿìîé(0; +∞).2) Ôóíêöèÿ f (x) = [x] (öåëàÿ ÷àñòü x) íå óáûâàåò íà ÷èñëîâîéïðÿìîé (−∞; +∞).Òåîðåìà 7. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) ìîíîòîííà è îãðàíè÷åíà íàïîëóïðÿìîé x > a, òî ñóùåñòâóåò2lim f (x).x→+∞Äîêàçàòåëüñòâî.

Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ôóíêöèÿ f (x) íåóáûâàåò íà ïîëóïðÿìîé x > a è îãðàíè÷åíà ñâåðõó íà ýòîììíîæåñòâå (ñëó÷àé íåâîçðàñòàþùåé ôóíêöèè ðàññìàòðèâàåòñÿàíàëîãè÷íî). Òîãäà ñóùåñòâóåò òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü ôóíêöèè(îáîçíà÷èì åå áóêâîé b):supf (x) = b.x∈[a;+∞)Äîêàæåì, ÷òîlim f (x) = b.x→+∞Çàäàäèì ïðîèçâîëüíîå ε > 0 è ðàññìîòðèì ÷èñëî b − ε. Ïîîïðåäåëåíèþ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè ôóíêöèè ∃A ∈ [a; +∞) :f (A) > b − ε. Ïîñêîëüêó f (x) íå óáûâàåò, òî f (x) > f (A) ïðèx > A, è, ñëåäîâàòåëüíî, f (x) > b − ε ïðè x > A.

Îòñþäà ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî b − f (x) < ε ïðè x > A, èëè |f (x) − b| < ε ïðèx > A, à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî lim f (x) = b. Òåîðåìà 7 äîêàçàíà.x→∞Çàìå÷àíèå. Àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìà èìååò ìåñòî äëÿ ïðàâîãî èëåâîãî ïðåäåëîâ ôóíêöèè â òî÷êå a: åñëè ôóíêöèÿ f (x) ìîíîòîííà è îãðàíè÷åíà â ïðàâîé (ëåâîé) ïîëóîêðåñòíîñòè òî÷êè a, òîñóùåñòâóåòlim f (x)x→a+0lim f (x) .x→a−0Ñëåäñòâèå. Ìîíîòîííàÿ îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüñõîäèòñÿ.Ïðèìåð.

Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn = 1 + n1 . Äînêàæåì, ÷òî {xn } ìîíîòîííàÿ îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëü2*Ãë. 2. Ïðåäåë ôóíêöèè36íîñòü (òåì ñàìûì áóäåò äîêàçàíî, ÷òî ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòüñõîäèòñÿ).Íàì ïîòðåáóåòñÿ íåðàâåíñòâî Áåðíóëëè:∀n ∈ N è ∀x ∈ [−1, +∞) : (1 + x)n > 1 + nx,ïðè÷åì ïðè n > 1 çíàê ðàâåíñòâà èìååò ìåñòî òîëüêî äëÿ ñëó÷àÿx = 0 (ïðåäëàãàåòñÿ äîêàçàòü ýòî íåðàâåíñòâî ñàìîñòîÿòåëüíî,èñïîëüçóÿ ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè).Ïîêàæåì, èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî Áåðíóëëè, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ìîíîòîííî âîçðàñòàåò:xn+1=xn1+n+11n+11+1=n1+nn+11n+11+1n+11· 1+=nnn+1n2 + 2n + 1 − 1n+1=n+1 · n =2n + 2n + 1=1−n+11(n + 1)2n+1>·nn+11−(n + 1)2·n+1=n1,îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî xn+ > xn äëÿ ëþáûõ n, òî åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } âîçðàñòàþùàÿ.Ðàññìîòðèì òåïåðü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {yn }, ãäå1yn = xn · (1 + 1/n).Î÷åâèäíî, ÷òî ∀n ∈ N : yn > xn . Âíîâü èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâîÁåðíóëëè, íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî yn < yn− , ò.å.

ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {yn } óáûâàþùàÿ.Òàêèì îáðàçîì,12 = x < x < ... < xn < yn < yn− < ... < y = 4,1121òî åñòü {xn } è {yn } ìîíîòîííûå îãðàíè÷åííûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Çíà÷èò, îíè ñõîäÿòñÿ, ïðè÷åìlim xn = lim yn .n→+∞n→+∞Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } ýòî è åñòü çíàìåíèòîå ÷èñëî e:lim xn = limn→+∞n→+∞1+1nn= e ≈ 2, 718281828 ... .Ãëàâà 3ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÎÑÒÜ ÔÓÍÊÖÈȟ 1. Îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîñòè. Òî÷êè ðàçðûâàôóíêöèèÍàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå î íåïðåðûâíîé è ðàçðûâíîé ôóíêöèÿõ äàþò íåïðåðûâíàÿ è ðàçðûâíàÿ êðèâûå ãðàôèêè ýòèõôóíêöèé (ðèñ. 3.1). Êàê ñôîðìóëèðîâàòü ìàòåìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîñòè?yyнепрерывная функцияy = f ( x)O aby = g ( x)xOcaразрывнаяв точке aфункцияdxÐèñ. 3.1.Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòèòî÷êè a.Îïðåäåëåíèå 1.

Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé âòî÷êå a, åñëèlim f (x) = f (a).Ïðèìåðû.x→a1) Ôóíêöèÿ sin x íåïðåðûâíà â òî÷êå x = 0, ïîñêîëüêó sin 0 = 0è áûëî äîêàçàíî, ÷òîlim sin x = 0.x→0Òàêèì îáðàçîì, âûïîëíåíî óñëîâèå íåïðåðûâíîñòèlim sin x = sin 0.x→0Ãë. 3. Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè382) Ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ Pn (x)/Qm (x) íåïðåðûâíà â ëþáîéòî÷êå a, â êîòîðîé Qm (a) 6= 0, òàê êàê áûëî äîêàçàíî, ÷òîlimx→aP (a)Pn (x)= n.Qm (x)Qm (a)Îïðåäåëåíèå 2 (ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèþ 1). Ôóíêöèÿf (x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå a, åñëè ∀ε > 0 ∃δ > 0,òàêîå, ÷òî ∀x ∈ {|x − a| < δ} : |f (x) − f (a)| < ε.Îòìåòèì, ÷òî â ýòîì îïðåäåëåíèè îòñóòñòâóåò óñëîâèå 0 << |x − a| (òî åñòü x 6= a), ôèãóðèðóþùåå â îïðåäåëåíèè ïðåäåëàôóíêöèè, ïîñêîëüêó îíî çäåñü ÿâëÿåòñÿ èçëèøíèì â òî÷êå x == a íåðàâåíñòâî |f (x) − f (a)| < ε âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ëþáîãî ε > 0.Ñ ïîìîùüþ îïðåäåëåíèÿ 2 óñòàíîâèì îäíî âàæíîå ñâîéñòâî íåïðåðûâíîé ôóíêöèè.

Ïóñòü f (x) íåïðåðûâíà â òî÷êåa è f (a) > 0. Âîçüìåì ε = f (a). Òîãäà, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 2, ñóùåñòâóåò δ > 0, òàêîå, ÷òî |f (x) − f (a)| < ε = f (a)â δ -îêðåñòíîñòè òî÷êè a, ò.å. −f (a) < f (x) − f (a) < f (a). Èçëåâîãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî f (x) > 0 â δ -îêðåñòíîñòè òî÷êèa. Òåì ñàìûì ìû äîêàçàëè, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíàâ òî÷êå a è ïîëîæèòåëüíà â ýòîé òî÷êå, òî îíà áóäåò ïîëîæèòåëüíîé è â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a (àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî è â ñëó÷àå, êîãäà f (x) îòðèöàòåëüíà â òî÷êåa). Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâîñòüþ çíàêà íåïðåðûâíîéôóíêöèè.Çàäàíèå.Óñòàíîâèòå, âåðíû ëè óòâåðæäåíèÿ:1) åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà â òî÷êå a, òî ôóíêöèÿ|f (x)| òàêæå íåïðåðûâíà â òî÷êå a?2) åñëè ôóíêöèÿ |f (x)| íåïðåðûâíà â òî÷êå a, òî è ôóíêöèÿf (x) íåïðåðûâíà â òî÷êå a?Åñëè óòâåðæäåíèå âåðíî, òî åãî íåîáõîäèìî äîêàçàòü, åñëèæå íåâåðíî ïðèâåñòè êîíòðïðèìåð.Îäíîñòîðîííÿÿ íåïðåðûâíîñòüÏóñòü ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà â ïðàâîé ïîëóîêðåñòíîñòè òî÷êèa, ò.å.

ïðè a 6 x < a + δ .Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé ñïðàâà â òî÷êå a, åñëèlim f (x) = f (a)x→a+0(äðóãàÿ ôîðìà çàïèñè : f (a + 0) = f (a)).1. Îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîñòè. Òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè39Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îïðåäåëÿåòñÿ íåïðåðûâíîñòü ñëåâà â òî÷êå a:lim f (x) = f (a) (èëè f (a − 0) = f (a)).x→a−0Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = [x] (öåëàÿ ÷àñòü x).Äëÿ ëþáîãî n ∈ Z èìååì: f (n + 0) = n, f (n − 0) = n − 1 è f (n) == n, ïîýòîìó ôóíêöèÿ [x] íåïðåðûâíà â òî÷êàõ x = n òîëüêîñïðàâà, à â îñòàëüíûõ òî÷êàõ è ñïðàâà, è ñëåâà.Òåîðåìà 1. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà â òî÷êå a ñëåâàè ñïðàâà, òî îíà íåïðåðûâíà â òî÷êå a.Äîêàçàòåëüñòâî.