В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу, страница 5

|1/x − 0| < ε, à ýòî îçíà÷àåò, ÷òîlimx→+∞1x= 0.Çàäàíèå. Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) = 1/x èìååò ðàâíûéíóëþ ïðåäåë è ïðè x → −∞.×àñòíûé ñëó÷àé ïðåäåëà ôóíêöèè ïðè x → +∞ ïðåäåë÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.3. Áåñêîíå÷íî ìàëûå è áåñêîíå÷íî áîëüøèå ôóíêöèè25×èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýòî ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë: f (n), n ∈ N. Îáû÷íî÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îáîçíà÷àþò òàê:{xn } = x1 , x2 , ... , xn , ...

.Èíäåêñ n íàçûâàåòñÿ íîìåðîì ÷ëåíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn .Îïðåäåëåíèå. ×èñëî a íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }, åñëè ∀ε > 0 ∃N ∈ N, òàêîé, ÷òî ∀n > Nâûïîëíåíî íåðàâåíñòâî |xn − a| < ε.Îáîçíà÷åíèå:lim xn = a.n→+∞Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } èìååò ïðåäåë, òî ãîâîðÿò, ÷òîîíà ñõîäèòñÿ, à åñëè íå èìååò ïðåäåëà, òî ãîâîðÿò, ÷òî îíàðàñõîäèòñÿ.1Çàäàíèå.

Ïóñòü xn = n +. Äîêàæèòå, ïîëüçóÿñü îïðåäåëåníèåì ïðåäåëà ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ÷òîlim xn = 1.n→+∞Ÿ 3. Áåñêîíå÷íî ìàëûå è áåñêîíå÷íî áîëüøèåôóíêöèèÎïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîéâ òî÷êå a (ïðè x → a), åñëèlim f (x) = 0.x→aÈíà÷å ãîâîðÿ, ôóíêöèÿ f (x) áåñêîíå÷íî ìàëàÿ â òî÷êå a,åñëè ∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x ∈ {0 < |x − a| < δ} : |f (x)| < ε. Ðàçóìååòñÿ, íåðàâåíñòâî |f (x)| < ε äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ äëÿ òåõ x èçïðîêîëîòîé δ−îêðåñòíîñòè òî÷êè a, êîòîðûå âõîäÿò â îáëàñòüîïðåäåëåíèÿ X ôóíêöèè f (x), íî äëÿ êðàòêîñòè çàïèñè óñëîâèåx ∈ X áóäåì ÷àñòî îïóñêàòü.Ïðèìåðû.1) Ôóíêöèÿ f (x) = sin x ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé â òî÷êåx = 0, òàê êàê (ýòî áûëî äîêàçàíî)lim sin x = 0.x→0Ãë. 2.

Ïðåäåë ôóíêöèè262) Ôóíêöèÿf (x) =sin x,1,åñëè x 6= 0åñëè x = 0òàêæå ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé â òî÷êå x = 0 (çàìåòèì, ÷òîïðè ýòîì f (0) = 1 6= 0).3) Ôóíêöèÿ f (x) = sgn x íå ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé âòî÷êå x = 0, õîòÿ f (0) = 0.Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïðè x → +∞(èëè −∞) ôóíêöèÿ, â ÷àñòíîñòè, áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn }:lim xn = 0.n→∞Ïðèìåðû.1) Ôóíêöèÿ f (x) = 1/x ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé ïðè x → ∞.2) Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {1/n} ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé.Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøîé â òî÷êå a (ïðè x → a), åñëè∀A > 0∃δ > 0, ∀x ∈ {0 < |x − a| < δ} : |f (x)| > A.Îáîçíà÷åíèå:lim f (x) = ∞.x→aÅñëè ïðè ýòîì âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî f (x) > A (f (x) < −A), òîïèøóòlim f (x) = +∞(−∞).x→aÏðèìåð.

Ôóíêöèÿf (x) = 1/x ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøîé âòî÷êå x = 0 (äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî óòâåðæäåíèÿ äîñòàòî÷íî∀A > 0 âçÿòü δ = 1/A).Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ ôóíêöèÿ ïðèx → +∞ (−∞) , à òàêæå ïðè x → a + 0 (x → a − 0).Ïðèìåðû:limx→+01x= +∞; limx→−01x= −∞.Çàäàíèå.

Äîêàæèòå ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ (ñ÷èòàÿ, ÷òîf (x)îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a):1) åñëè f (x) áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ â òî÷êå a ôóíêöèÿ, òî âíåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a îïðåäåëåíà ôóíêöèÿg(x) = 1/f (x) è îíà ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé â òî÷êå a.2) åñëè f (x) áåñêîíå÷íî ìàëàÿ â òî÷êå a ôóíêöèÿ è f (x) 6= 0 âíåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a, òî g(x) = 1/f (x) 3. Áåñêîíå÷íî ìàëûå è áåñêîíå÷íî áîëüøèå ôóíêöèè27áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ ôóíêöèÿ â òî÷êå a.3) åñëè f (x) = c = const èlim f (x) = 0,x→aòî c = 0.Òåîðåìà 2. Ñóììà è ðàçíîñòü äâóõ áåñêîíå÷íî ìàëûõ â òî÷êåa ôóíêöèé ÿâëÿþòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëûìè â òî÷êå a ôóíêöèÿìè.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f (x) è g(x) áåñêîíå÷íî ìàëûå â òî÷êåa ôóíêöèè. Òîãäàε∀ε > 0 ∃δ1 > 0, ∀x ∈ {0 < |x − a| < δ1 } : |f (x)| < ,2è òàêæåε∃δ2 > 0, ∀x ∈ {0 < |x − a| < δ2 } : |g(x)| < .2Âîçüìåì δ = min(δ , δ ).

Òîãäà ∀x ∈ {0 < |x − a| < δ} âûïîëíåíûíåðàâåíñòâàεε|f (x)| <è |g(x)| < ,22ñëåäîâàòåëüíî,12∀x ∈ {0 < |x − a| < δ} : |f (x) ± g(x)| 6 |f (x)| + |g(x)| < ε,à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèè f (x) + g(x) è f (x) − g(x) ÿâëÿþòñÿáåñêîíå÷íî ìàëûìè â òî÷êå a.Ñëåäñòâèå. Àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà êîíå÷íîãî ÷èñëà áåñêîíå÷íîìàëûõ â òî÷êå a ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé â òî÷êå aôóíêöèåé.Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì ïî èíäóêöèè. Äëÿ äâóõ ñëàãàåìûõóòâåðæäåíèå âåðíî â ñèëó òåîðåìû 2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ n ñëàãàåìûõ (n > 2), è äîêàæåì, ÷òî òîãäà îíîâåðíî è äëÿ n + 1 ñëàãàåìûõ.Ïóñòü f (x), f (x), ..., fn (x), fn+ (x) áåñêîíå÷íî ìàëûå âòî÷êå a ôóíêöèè.

Èõ ñóììó ïðåäñòàâèì â âèäå1n+X1i=112fi (x) =nXfi (x) + fn+1 (x) = g(x) + fn+1 (x)i=1Ôóíêöèÿ g(x) ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé â òî÷êå a â ñèëóèíäóêòèâíîãî ïðåäïîëîæåíèÿ. Ïîýòîìón+X1i=1fi (x) ïðåäñòàâëÿåòÃë. 2. Ïðåäåë ôóíêöèè28ñîáîé ñóììó äâóõ áåñêîíå÷íî ìàëûõ â òî÷êå a ôóíêöèé g(x)è fn+ (x), à òàêàÿ ñóììà ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé â òî÷êå aôóíêöèåé â ñèëó òåîðåìû 2. Ñëåäñòâèå äîêàçàíî.Òåîðåìà 3. Ïðîèçâåäåíèå áåñêîíå÷íî ìàëîé â òî÷êå a ôóíêöèè íà îãðàíè÷åííóþ â îêðåñòíîñòè òî÷êè a ôóíêöèþ åñòüáåñêîíå÷íî ìàëàÿ ôóíêöèÿ â òî÷êå a.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f (x) áåñêîíå÷íî ìàëàÿ â òî÷êå a ôóíêöèÿ, à g(x) îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòèòî÷êè a (îáîçíà÷èì ýòó îêðåñòíîñòü ω ).

Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîå÷èñëî M > 0, ÷òî ∀x ∈ ω : |g(x)| 6 M .Çàäàäèì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Òàê êàê f (x) áåñêîíå÷íîìàëàÿ â òî÷êå a ôóíêöèÿ, òî1∃δ > 0, ∀x ∈ {0 < |x − a| < δ} : |f (x)| <ε.MÂîçüìåì δ 6 δ ñòîëü ìàëûì, ÷òî δ -îêðåñòíîñòü òî÷êè a ïðèíàäëåæèò ω . Òîãäà11∀x ∈ {0 < |x − a| < δ1 } : |f (x) · g(x)| = |f (x)| · |g(x)| <ε= ε,Mà ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî f (x) · g(x) áåñêîíå÷íî ìàëàÿ â òî÷êå aôóíêöèÿ.Ñëåäñòâèå.

Ïðîèçâåäåíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà îãðàíè÷åííûõôóíêöèé, èç êîòîðûõ õîòÿ áû îäíà áåñêîíå÷íî ìàëàÿ â òî÷êåa, åñòü áåñêîíå÷íî ìàëàÿ â òî÷êå a ôóíêöèÿ.Ñðàâíåíèå áåñêîíå÷íî ìàëûõ è áåñêîíå÷íî áîëüøèõôóíêöèé1) Ïóñòü f (x) è g(x) áåñêîíå÷íî ìàëûå â òî÷êå a ôóíêöèè.Òîãäàlimx→af (x)g(x)00íàçûâàåòñÿ íåîïðåäåëåííîñòüþ òèïà .Ïðèìåð. lim sinx x ÿâëÿåòñÿ íåîïðåäåëåííîñòüþ òèïà 00 .x→Îïðåäåëåíèå.

Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé0áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà (èìååò áîëåå âûñîêèé ïîðÿäîê ìàëîñòè), ÷åì g(x) ïðè x → a, åñëèlimx→af (x)= 0.g(x)3. Áåñêîíå÷íî ìàëûå è áåñêîíå÷íî áîëüøèå ôóíêöèè29Îáîçíà÷åíèå: f = o(g) ïðè x → a (ñèìâîë o(g) ÷èòàåòñÿ òàê:î-ìàëîå îò g ).Ïðèìåð. x = o(x) ïðè x → 0.Îïðåäåëåíèå.

Ôóíêöèè f (x) è g(x) íàçûâàþòñÿ áåñêîíå÷íîìàëûìè îäíîãî ïîðÿäêà (èìåþò îäèíàêîâûé ïîðÿäîê ìàëîñòè)ïðè x → a, åñëèf (x)lim= b 6= 0.2x→ag(x)Îáîçíà÷åíèå: f = O(g) ïðè x → a (ñèìâîë O(g) ÷èòàåòñÿ òàê:O-áîëüøîå îò g ).Ïðèìåð. 2x2+ x3 = O(x2 ) ïðè x → 0.Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèè f (x) è g(x) íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè áåñêîíå÷íî ìàëûìè ïðè x → a, åñëèlimx→af (x)= 1.g(x)Îáîçíà÷åíèå: f ∼ g ïðè x → a.Ïðèìåðû.1) x + x ∼ x ïðè x → 0.2) sin x ∼ x ïðè x → 0 (ýòî áóäåò äîêàçàíî íèæå).0Çàìå÷àíèå. Äëÿ íåîïðåäåëåííîñòåé òèïà ïðè x → a + 0,0x → a − 0 è x → ∞ ìîæíî äàòü àíàëîãè÷íûå îïðåäåëåíèÿ.232Ñâîéñòâà ñèìâîëà ¾o-ìàëîå¿:à) o(g) ± o(g) = o(g).á) Åñëè f = o(g), òî o(f ) ± o(g) = o(g).Ïðèìåð: o(x ) ± o(x) = o(x).â) Åñëè f è g áåñêîíå÷íî ìàëûå, òî f · g = o(f ), f · g = o(g).ã) Åñëè f ∼ g , òî f − g = o(f ) è f − g = o(g).ä) o(c · g) = o(g), åñëè c = const 6= 0.å) o(g + o(g)) = o(g).

Ïðèìåð: o(x + 2x ) = o(x).Ñïðàâåäëèâîñòü ýòèõ óòâåðæäåíèé íåòðóäíî äîêàçàòü, èñïîëüçóÿîïðåäåëåíèå ñèìâîëà ¾o-ìàëîå¿.Çàìå÷àíèå. Ðàâåíñòâà ñ ñèìâîëîì ¾o-ìàëîå¿, êàê ïðàâèëî, âåðíû òîëüêî â îäíó ñòîðîíó (ñëåâà íàïðàâî). Íàïðèìåð,x = o(x) ïðè x → 0, íî, âîîáùå ãîâîðÿ, o(x) 6= x .2) Ïóñòü f (x) è g(x) áåñêîíå÷íî áîëüøèå â òî÷êå a ôóíêöèè. Òîãäà2222limx→af (x)g(x)Ãë. 2. Ïðåäåë ôóíêöèè30∞íàçûâàåòñÿ íåîïðåäåëåííîñòüþ òèïà .∞Îïðåäåëåíèå.

Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) èìååò ïðè x → aáîëåå âûñîêèé ïîðÿäîê ðîñòà, ÷åì ôóíêöèÿ g(x), åñëèf (x)= ∞.x→a g(x)limÏðèìåð. Ôóíêöèÿ f (x) = 1/x èìååò ïðè x → 0 áîëåå âûñî2êèé ïîðÿäîê ðîñòà, ÷åì ôóíêöèÿ g(x) = 1/x, òàê êàê1f (x)= lim = ∞.g(x)xx→0x→0limÎïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèèx → a îäèíàêîâûé ïîðÿäîê ðîñòà, åñëèf (x) è g(x) èìåþò ïðèf (x)= b 6= 0.x→a g(x)limÏðèìåð.

Ôóíêöèè f (x) = 1/x + 1 è g(x) = 1/x èìåþò ïðèx → 0 îäèíàêîâûé ïîðÿäîê ðîñòà.3) Ñóùåñòâóþò äðóãèå òèïû íåîïðåäåëåííîñòåé:∞ − ∞, 0 · ∞, 1∞ , 00 , ∞0 .Ïðèâåäåì ïðèìåðû.à)plim ( x2 + x − x)x→+∞ÿâëÿåòñÿ íåîïðåäåëåííîñòüþ òèïà ∞ − ∞.á)lim x · ctg xx→0ÿâëÿåòñÿ íåîïðåäåëåííîñòüþ òèïà 0 · ∞.â)lim (1 + x) /x1x→0ÿâëÿåòñÿ íåîïðåäåëåííîñòüþ òèïà 1∞ .ã)lim xxx→0+0ÿâëÿåòñÿ íåîïðåäåëåííîñòüþ òèïà 0 .ä)0lim x1/xx→+∞ÿâëÿåòñÿ íåîïðåäåëåííîñòüþ òèïà ∞ .04. Ñâîéñòâà ïðåäåëîâ ôóíêöèé31Ÿ 4. Ñâîéñòâà ïðåäåëîâ ôóíêöèéËåììà 1. Åñëèlim f (x) = b,x→aòî f (x) = b + α(x), ãäå α(x) áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ôóíêöèÿ â òî÷êåa.Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà∀ε > 0∃δ > 0, ∀x ∈ {0 < |x − a| < δ} : |f (x) − b| < ε.Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ α(x) = f (x) − b áåñêîíå÷íî ìàëàÿ âòî÷êå a.

Ïðåäñòàâèì f (x) â âèäå f (x) = b + [f (x) − b] = b + α(x).Òåì ñàìûì ëåììà 1 äîêàçàíà.Ëåììà 2 (îáðàòíàÿ). Åñëè f (x) = b + α(x), ãäå b ÷èñëî, àα(x) áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ôóíêöèÿ â òî÷êå a, òîlim f (x) = b.x→aÄîêàæèòå ëåììó 2 ñàìîñòîÿòåëüíî.Òåîðåìà 4. Ïóñòü ôóíêöèè f (x) è g(x) îïðåäåëåíû â ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a, è ïóñòülim f (x) = b,x→aÒîãäà:1)lim g(x) = c.x→alim [f (x) ± g(x)] = b ± c.x→a2)lim f (x)g(x) = bc.x→a3) åñëè c 6= 0, òî â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè òî÷êèa îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ f (x)/g(x) èlimx→af (x)b= .g(x)cÄîêàçàòåëüñòâî.

1)  ñèëó ëåììû 1f (x) = b + α(x), g(x) = c + β(x),(2.1)ãäå α(x) è β(x) áåñêîíå÷íî ìàëûå ôóíêöèè â òî÷êå a. Ïîýòîìóf (x) ± g(x) = (b ± c) + α(x) ± β(x) = (b ± c) + γ(x),(2.2)Ãë. 2. Ïðåäåë ôóíêöèè32ãäå γ(x) = α(x) ± β(x) áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ôóíêöèÿ â òî÷êå aâ ñèëó òåîðåìû 2. Ñîãëàñíî ëåììå 2 èç ðàâåíñòâà (2.2) ñëåäóåò,÷òîlim [f (x) ± g(x)] = b ± c.x→a2) Äîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíî.3) Ïóñòü c > 0 (äëÿ c < 0 äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íîå).