В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу, страница 4

2.1).xÎïðåäåëåíèå.Ôóíêöèÿ14243 xOf(x)íàçûâàåòñÿîãðàíè÷åííîéXñâåðõó (ñíèçó) íà ìíîæåñòâåX , åñëè ñóùåñòâóåò ÷èñëîM (÷èñëî m), òàêîå, ÷òî∀x ∈ X : f (x) 6 M (f (x) > m). Ïðè ýòîì ÷èñëî M (m) íàçûâàåòñÿâåðõíåé (íèæíåé) ãðàíüþ ôóíêöèè f (x) íà ìíîæåñòâå X .Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé íà ìíîæåñòâå X ,åñëè îíà îãðàíè÷åíà íà ýòîì ìíîæåñòâå ñâåðõó è ñíèçó, ò.å. ∃Mè m òàêèå, ÷òî ∀x ∈ X : m 6 f (x) 6 M .Äðóãîå (ýêâèâàëåíòíîå) îïðåäåëåíèå: ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé íà ìíîæåñòâå X , åñëè ∃A > 0, ∀x ∈∈ X : |f (x)| 6 A.Îïðåäåëåíèå. Íàèìåíüøàÿ (íàèáîëüøàÿ) èç âåðõíèõ (íèæíèõ) ãðàíåé îãðàíè÷åííîé ñâåðõó (ñíèçó) ôóíêöèè f (x) íà ìíîÐèñ.

2.1.2. Îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè19æåñòâå X íàçûâàåòñÿ åå òî÷íîé âåðõíåé (íèæíåé) ãðàíüþ íàýòîì ìíîæåñòâå è îáîçíà÷àåòñÿsup f (x)X(inf f (x)).XÌîæíî ñêàçàòü èíà÷å: òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü ôóíêöèè y = f (x) ýòî sup{y}, ãäå {y} ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè.Ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå. ×èñëî M íàçûâàåòñÿ òî÷íîéâåðõíåé ãðàíüþ ôóíêöèè f (x) íà ìíîæåñòâå X , åñëè:1) ∀x ∈ X : f (x) 6 M (ýòî óñëîâèå ïîêàçûâàåò, ÷òî M îäíàèç âåðõíèõ ãðàíåé f (x) íà X );f < M ∃ef (ýòî óñëîâèå ïîêàçûâàåò, ÷òî2) ∀Mx ∈ X : f (ex) > MM íàèìåíüøàÿ èç âåðõíèõ ãðàíåé).Çàäàíèå.1) Ñôîðìóëèðóéòå àíàëîãè÷íîå îïðåäåëåíèå òî÷íîé íèæíåéãðàíè ôóíêöèè,2) Ñôîðìóëèðóéòå îïðåäåëåíèÿ:à) íåîãðàíè÷åííîé ñâåðõó íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèè,á) íåîãðàíè÷åííîé ñíèçó íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèè,â) íåîãðàíè÷åííîé íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèè.Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = sin x, 0 < x 6 π .2sup sin x = 1 ∈ {y},(0,π/2]inf sin x = 0 6∈ {y}.(0,π/2]Ýòîò ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò íåïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ, ðàâíîãî êàêîé-ëèáî åå òî÷íîé ãðàíè.

Âòàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ íå äîñòèãàåò ýòîé òî÷íîéãðàíè.Ÿ 2. Îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèèÎïðåäåëåíèå. ×èñëî a íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ÷èñëîâîãî ìíîæåñòâà X , åñëè â ëþáîé ïðîêîëîòîé ε-îêðåñòíîñòèòî÷êè a ñîäåðæàòñÿ òî÷êè èç ìíîæåñòâà X .Ïðè ýòîì ñàìà òî÷êà a ìîæåò ïðèíàäëåæàòü, à ìîæåò è íåïðèíàäëåæàòü ìíîæåñòâó X .Ïðèìåðû.1) X = {x : a < x < b}. Ëþáàÿ òî÷êà èíòåðâàëà X , à òàêæå òî÷êèa è b ïðåäåëüíûå òî÷êè èíòåðâàëà X .2) N ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íå èìååò ïðåäåëüíûõòî÷åê.Ãë.

2. Ïðåäåë ôóíêöèè20Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) îïðåäåëåíà íà ìíîæåñòâå X è a ïðåäåëüíàÿ òî÷êà X .Îïðåäåëåíèå (ïî Êîøè). ×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîìôóíêöèè f (x) â òî÷êå a (ïðè x → a), åñëè ∀ε > 0 ∃δ > 0,òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà x èç ïðîêîëîòîéδ -îêðåñòíîñòè òî÷êè a âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |f (x) − b| < ε(èíà÷å ãîâîðÿ, |f (x) − b| < ε, åñëè x ∈ X è 0 < |x − a| < δ ).Îáîçíà÷åíèå:lim f (x) = b.x→aÇàäàíèå.

Ïîñòðîéòå îòðèöàíèå îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè, òî åñòü ñôîðìóëèðóéòå îïðåäåëåíèålim f (x) 6= b.x→aÃåîìåòðè÷åñêàÿ èëëþñòðàöèÿ îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè.yb+εbb-εyb+εbb-εOc+εcc-εa-δ a a+δÐèñ. 2.2.xOa-δ a a+δxÐèñ. 2.3.Ïîñêîëüêó|f (x) − b| < ε ⇔ −ε < f (x) − b < ε ⇔ b − ε < f (x) < b + ε,òî ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà, ðàâíîãî b, ó ôóíêöèè f (x) ïðè x →→ a ñ ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ îçíà÷àåò, ÷òî ∀ε > 0 ∃δ >> 0, òàêîå, ÷òî â ïðåäåëàõ ïðîêîëîòîé δ -îêðåñòíîñòè òî÷êè aãðàôèê f (x) ëåæèò â ïîëîñå ìåæäó ïðÿìûìè y = b − ε è y = b + ε(ðèñ. 2.2).Çàìå÷àíèå 1.

Ôóíêöèÿ ìîæåò èìåòü â äàííîé òî÷êå íå áîëååîäíîãî ïðåäåëà. ñàìîì äåëå, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ôóíêöèÿ èìååò â òî÷êåa äâà ïðåäåëà: b è c, òî, âçÿâ íåïåðåñåêàþùèåñÿ ε-îêðåñòíîñòèòî÷åê b è c, ïîëó÷èì, ÷òî â ïðåäåëàõ íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé2. Îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè21δ -îêðåñòíîñòè òî÷êè a ãðàôèê ôóíêöèè ëåæèò îäíîâðåìåííî âïîëîñå ìåæäó y = b − ε è y = b + ε è òàêæå â ïîëîñå ìåæäóïðÿìûìè y = c − ε è y = c + ε, ÷åãî íå ìîæåò áûòü (ðèñ. 2.3).Çàìå÷àíèå 2.

Åñëè ôóíêöèÿ f (x) èìååò ïðåäåë â òî÷êå a, òîîíà îãðàíè÷åíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè.Óòâåðæäåíèå ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè: b − ε < f (x) < b + ε ïðè 0 < |x − a| < δ .Ïðèìåðû.1) Ïóñòü f (x) = b = const ∀x ∈ R, òîãäà ∀a :lim f (x) = b.x→aÄåéñòâèòåëüíî, ∀ε > 0 âîçüìåì ëþáîå δ > 0. Òîãäà |f (x) − b| == 0 < ε ïðè âñåõ x è, çíà÷èò, ïðè 0 < |x − a| < δ .2) Ïóñòüb, åñëè x 6= a,f (x) =c 6= b, åñëè x = aòîãäàlim f (x) = b.x→a3) Ïóñòüf (x) =b,åñëè x 6= aíå îïðåäåëåíà,åñëè x = a,òîãäàlim f (x) = b.x→aÇàìå÷àíèå 3.  ïðèìåðàõ 2) è 3), êàê è â ïðèìåðå 1), äëÿëþáîãî ε > 0 ìîæíî âçÿòü ëþáîå δ > 0, òî åñòü δ íå çàâèñèò îòε.Çàìå÷àíèå 4. Åñëè â îïðåäåëåíèè ïðåäåëà ôóíêöèè îïóñòèòüíåðàâåíñòâî 0 < |x − a|, ò.å. ïîòðåáîâàòü âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâà|f (x) − b| < ε äëÿ âñåõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà x èç δ -îêðåñòíîñòèòî÷êè a, âêëþ÷àÿ è ñàìó òî÷êó a (åñëè, êîíå÷íî, îíà ïðèíàäëåæèò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè), òî îòâåò â ïðèìåðå 3 íåèçìåíèòñÿ, ïîñêîëüêó x = a íå ÿâëÿåòñÿ çíà÷åíèåì àðãóìåíòàôóíêöèè.

 ïðèìåðå 2, íàïðîòèâ, îòâåò èçìåíèòñÿ: ïðåäåë óôóíêöèè f (x) ïðè x → a íå áóäåò ñóùåñòâîâàòü, òàê êàê äëÿx = a íåðàâåíñòâî |f (x) − b| < ε ïðèíèìàåò âèä |c − b| < ε, è,ñëåäîâàòåëüíî, îíî íå âûïîëíÿåòñÿ, åñëè âçÿòü ε ìåíüøå, ÷åì|c − b|.Ãë. 2. Ïðåäåë ôóíêöèè224) Ïóñòü f (x) = x, òîãäà äëÿ ëþáîãî alim f (x) = a.x→a ñàìîì äåëå, ∀ε > 0 âîçüìåì δ = ε. Òîãäà åñëè |x − a| < δ = ε,òî |f (x) − a| = |x − a| < ε, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.15) Ïóñòü f (x) = sin , x 6= 0. Çàìåòèì, ÷òî x = 0 ÿâëÿåòñÿxïðåäåëüíîé òî÷êîé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, è äîêàæåì,÷òî ýòà ôóíêöèÿ íå èìååò ïðåäåëà ïðè x → 0.Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì îò ïðîòèâíîãî: ïðåäïîëîæèì, ÷òîlim sinx→01x= b,ãäå b íåêîòîðîå ÷èñëî.

Âîçüìåìε =1. Ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà1ôóíêöèè ∃δ > 0, òàêîå, ÷òî sin − b < 1 ïðè 0 < |x| < δ .xÂîçüìåì11x =π, x =π.12πn +222πn −2Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì n ∈ N ÷èñëà x è x óäîâëåòâîðÿþòíåðàâåíñòâàì: 0 < |xi | < δ , i = 1, 2. Ïðè ýòîì11− b = |1 − b| < 1sinx1BOx2lim f (x) = lim sin x = 0.Ax1− b = | − 1 − b| = |1 + b| < 1.sinÏîñëåäíèå äâà íåðàâåíñòâà íå ìîãóòîäíîâðåìåííî âûïîëíÿòüñÿ íè ïðèêàêîì b, ñëåäîâàòåëüíî, íàøå ïðåäïîëîæåíèå íåâåðíî è ïðåäåë ôóíêöèèf (x) ïðè x → 0 íå ñóùåñòâóåò.6) Ïóñòü f (x) = sin x, òîãäàC1è2x→0x→01×òîáû äîêàçàòü ýòî, âîñïîëüçóåìñÿ èçâåñòíûì íåðàâåíñòâîì sin x < xπïðè 0 < x < . Îíî âûðàæàåò òîò2ôàêò, ÷òî ïëîùàäü ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà, âïèñàííîãî âñåêòîð åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè, ìåíüøå ïëîùàäè ýòîãî ñåêòîðà11(ðèñ. 2.4): S∆AOB = sin x < Sñåêò.

AOB = x. Ïîïóòíî çàìåòèì,Ðèñ. 2.4.222. Îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè1231÷òî Sñåêò. AOB < S∆AOC , òî åñòü x < tg x, èëè x < tg x ïðè22π0 < x < (ýòî íåðàâåíñòâî ïîíàäîáèòñÿ íàì íå çäåñü, à ïîçäíåå).2 ñèëó íå÷åòíîñòè ôóíêöèé sin x è x èìååì:| sin x| < |x| ïðèπ0 < |x| < .2Çàäàäèì ïðîèçâîëüíîå ε > 0 è ïîëîæèì δ = ε. Òîãäà äëÿ âñåõx, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ 0 < |x| < δ = ε, ïîëó÷èì| sin x − 0| = | sin x| < |x| < ε,à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî lim sin x = 0.x→0Îäíîñòîðîííèå ïðåäåëûÌîæåò ñëó÷èòüñÿ òàê, ÷òî ïðè ñòðåìëåíèè àðãóìåíòà x ê òî÷êå añëåâà è ñïðàâà ôóíêöèÿ f (x) èìååò ðàçíûå ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ. êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèâåäåì ôóíêöèþ (ðèñ. 2.5)(+1, åñëè x > 0,f (x) = sgn x = 0, åñëè x = 0,−1, åñëè x < 0.y2y11xO-1Ðèñ.

2.5.-1O12x-1Ðèñ. 2.6.Îïðåäåëåíèå. ×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè f (x)â òî÷êå a ñïðàâà (ñëåâà), åñëè ∀ε > 0 ∃δ > 0, òàêîå, ÷òî∀x ∈ (a, a + δ) (ñîîòâåòñòâåííî, ∀x ∈ (a − δ , a)) âûïîëíÿåòñÿíåðàâåíñòâî |f (x) − b| < ε.Îáîçíà÷åíèå:lim f (x) = b èëè f (a + 0) = b x→a+0lim f (x) = b èëè f (a − 0) = b .x→a−0Ãë. 2. Ïðåäåë ôóíêöèè24Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = [x], ãäå [x] öåëàÿ÷àñòü ÷èñëà x, ò.å. íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå x(ðèñ. 2.6). Äëÿ ëþáîãî n ∈ Z (Z - ìíîæåñòâî âñåõ öåëûõ ÷èñåë,âêëþ÷àÿ íóëü) èìååì:f (n − 0) = n − 1,f (n + 0) = nè f (n) = n.Èç îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè è îïðåäåëåíèé îäíîñòîðîííèõïðåäåëîâ ñëåäóåòÒåîðåìà 1.

Åñëè ó ôóíêöèè f (x) ñóùåñòâóþò â òî÷êå aïðåäåë ñëåâà è ïðåäåë ñïðàâà, ïðè÷åì f (a − 0) = f (a + 0) = b, òîâ äàííîé òî÷êå ñóùåñòâóåò ïðåäåë ýòîé ôóíêöèè, ðàâíûé b.Ïðåäåë ôóíêöèè ïðè x → ∞Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) çàäàíà íà ìíîæåñòâå X è ∀A ∃x ∈∈ X : x > A.Îïðåäåëåíèå. ×èñëî b áóäåì íàçûâàòü ïðåäåëîì ôóíêöèèf (x) ïðè x → +∞, åñëè ∀ε > 0 ∃A, òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà x > A âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |f (x) − b| < ε.Îáîçíà÷åíèå:lim f (x) = b.x→+∞Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïðåäåë ôóíêöèè ïðè x → −∞.

Åñëèôóíêöèÿ f (x) èìååò ðàâíûé ÷èñëó b ïðåäåë ïðè x → +∞ èðàâíûé ýòîìó æå ÷èñëó ïðåäåë ïðè x → −∞, òî ïèøóòlim f (x) = b.x→∞Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = 1/x è äîêàæåì, ÷òîlim f (x) = 0.x→+∞Äåéñòâèòåëüíî, ∀ε > 0 âîçüìåì A = 1/ε. Òîãäà åñëè x > A = 1/ε,òî 1/x < ε, ò.å.