В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу, страница 2

Ïîòðåáíîñòè ïðàêòèêè ïðèâåëè ê ïîÿâëåíèþ ïðîñòûõ äðîáåé, ò.å.1 3÷èñåë âèäà , , è ò.ä. Çíà÷èòåëüíî ïîçäíåå èíäóñû èçîáðåëè2 5âàæíîå ÷èñëî 0, à â íà÷àëå íàøåé ýðû èòàëüÿíöû îòêðûëè îòðèöàòåëüíûå ÷èñëà. Ìû áóäåì èñõîäèòü èç òîãî, ÷òî íàì èçâåñòíûðàöèîíàëüíûå ÷èñëà è äåéñòâèÿ íàä íèìè.Ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî ýòî ÷èñëî, êîòîðîå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå îòíîøåíèÿm,nãäå m öåëîå, à n íàòóðàëüíîå ÷èñëî.Äëÿ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ñóùåñòâóþò òðè ïðàâèëà.mm1) Ïðàâèëî ñðàâíåíèÿ: ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà 1 è 2 , ñâÿçàn1n2íû òåì æå çíàêîì (>, = èëè <), ÷òî è öåëûå ÷èñëà m n è m n .Ñâîéñòâî ìíîæåñòâà ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, ñîñòîÿùåå â òîì,÷òî ëþáûå äâà ðàöèîíàëüíûõ ÷èñëà ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé çíàêîì>, íàçûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííîñòüþ ýòîãî ìíîæåñòâà.2) Ïðàâèëî ñëîæåíèÿ:1221m1mm n + m2 n1+ 2 = 1 2.n1n2n1 n23) Ïðàâèëî óìíîæåíèÿ:m1 m2m m·= 1 2.n1 n2n1 n2Ýòè òðè ïðàâèëà îáëàäàþò ðÿäîì ñâîéñòâ, íàïðèìåð, ïðàâèëîñðàâíåíèÿ îáëàäàåò ñâîéñòâîì òðàíçèòèâíîñòè çíàêà > (åñëè a >8Ãë.

1. Âåùåñòâåííûå ÷èñëà> b è b > c, òî a > c) è çíàêà = (åñëè a = b è b = c, òî a == c); ïðàâèëî ñëîæåíèÿ îáëàäàåò ïåðåñòàíîâî÷íûì (a + b = b ++ a), ñî÷åòàòåëüíûì ((a + b) + c = a + (b + c)) è ðÿäîì äðóãèõñâîéñòâ; ïðàâèëî óìíîæåíèÿ òàêæå îáëàäàåò ïåðåñòàíîâî÷íûì èñî÷åòàòåëüíûì ñâîéñòâàìè.Ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë íåäîñòàòî÷íî äëÿ èçìåðåíèÿ ðàçëè÷íûõâåëè÷èí, â ÷àñòíîñòè, äëèí ëþáûõ îòðåçêîâ.

Òàê, äëèíà äèàãîíàëè êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé 1 íå ÿâëÿåòñÿ ðàöèîíàëüíûì ÷èñëîì.Âîçíèêàåò ïîòðåáíîñòü ðàñøèðèòü ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë è äîïîëíèòü åãî òàê, ÷òîáû èìåòü âîçìîæíîñòü èçìåðÿòüäëèíû ëþáûõ îòðåçêîâ.Îòìåòèì, ÷òî ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî ñ ïîìîùüþ ïðîöåññàäåëåíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîéïåðèîäè÷åñêîé äðîáè. Íàïðèìåð,11= 0, 3333 ... = 0, (3); = 0, 16666 ... = 0, 1(6);361= 0, 500 ... 0 = 0, 5(0).2Äëÿ îòëè÷íûõ îò íóëÿ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, ó êîòîðûõ äåñÿòè÷íàÿ äðîáü èìååò ïåðèîä, ñîñòîÿùèé èç îäíîé öèôðû 0, ñóùåñòâóåò èíîå ïðåäñòàâëåíèå â âèäå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè ñ öèôðîé 9 â ïåðèîäå, íàïðèìåð,1= 0, 5(0) = 0, 499 ... 9 ...

= 0, 4(9).2Êàê ïðàâèëî, äëÿ òàêèõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë èñïîëüçóåòñÿ ñïîñîá ïðåäñòàâëåíèÿ â âèäå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè, ó êîòîðîé, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ðàçðÿäà ïîñëå çàïÿòîé, âñå öèôðûðàâíû íóëþ.Íî èíîãäà èñïîëüçóåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå ñ öèôðîé 9 âïåðèîäå (ñì. Ÿ4).Ÿ 2. Èððàöèîíàëüíûå ÷èñëàÊðîìå ïåðèîäè÷åñêèõ ñóùåñòâóþò è íåïåðèîäè÷åñêèå äåñÿòè÷íûå äðîáè, íàïðèìåð,0, 123456789101112 ... 100101102 ... ,√1, 414213 ...(÷èñëî 2 ),3, 141592 ...(÷èñëî π),2, 7182818284590452353 ...(÷èñëî e).3. Ñðàâíåíèå âåùåñòâåííûõ ÷èñåë9Áåñêîíå÷íûå íåïåðèîäè÷åñêèå äåñÿòè÷íûå äðîáè áóäåì íàçûâàòü èððàöèîíàëüíûìè ÷èñëàìè.Ðàöèîíàëüíûå è èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà ñ ââåäåííûìè äëÿíèõ íèæå ïðàâèëàìè ñðàâíåíèÿ, ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íàçûâàþòñÿ âåùåñòâåííûìè (èëè äåéñòâèòåëüíûìè) ÷èñëàìè.Èòàê, ëþáîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî a ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåáåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáèa = ±α0 , α1 α2 ...

αn ... ,ãäå èç äâóõ çíàêîâ ïëþñ è ìèíóñ áåðåòñÿ êàêîé-òî îäèí, α öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî, αk öèôðû (k = 1, 2, ...).Äàëåå âîçíèêàåò çàäà÷à ââåäåíèÿ äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåëòðåõ ïðàâèë (ñðàâíåíèÿ, ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ) ñ ñîõðàíåíèåìòåõ ñâîéñòâ, êîòîðûå èìåëè ìåñòî äëÿ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë.0Ÿ 3. Ñðàâíåíèå âåùåñòâåííûõ ÷èñåëÏðè ñðàâíåíèè âåùåñòâåííûõ ÷èñåë äîãîâîðèìñÿ èñïîëüçîâàòü äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, äîïóñêàþùèõ äâîÿêîå ïðåäñòàâëåíèå â âèäå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè, òîëüêî îäèíñïîñîá ïðåäñòàâëåíèÿ.1) Åñëè âñå αk = 0, òî íåçàâèñèìî îò çíàêà ïåðåä äðîáüþ÷èñëî a ñ÷èòàåì ðàâíûì íóëþ: a = 0.

Åñëè õîòÿ áû îäíî αk 6= 0è ïåðåä äðîáüþ ñòîèò çíàê ïëþñ, òî ÷èñëî a áóäåì íàçûâàòüïîëîæèòåëüíûì è ïèñàòü a > 0, åñëè æå ñòîèò çíàê ìèíóñ, òî÷èñëî a áóäåì íàçûâàòü îòðèöàòåëüíûì è ïèñàòü a < 0.2) Ðàññìîòðèì äâà âåùåñòâåííûõ ÷èñëà: ÷èñëî a = ±±α , α α ... αn ... è ÷èñëî b = ±β , β β ... βn .... Ïóñòü a 6= 0è b 6= 0.

Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî a = b, åñëè èõ çíàêè îäèíàêîâû èαk = βk äëÿ âñåõ k = 0, 1, 2, ....  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñ÷èòàåì,÷òî a 6= b.3) Ïóñòü a > 0, b > 0, a 6= b. Òîãäà íàéäåòñÿ òàêîå öåëîå ÷èñëîk > 0, ÷òî αi = βi (i = 0, 1, ... , k − 1), αk 6= βk . Áóäåì ñ÷èòàòü,÷òî:a > b, åñëè αk > βk ,0120a < b,12åñëè αk < βk .4) Ïóñòü a 6 0, b > 0.

Òîãäà áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî a < b.5) Ïóñòü a < 0, b < 0, a 6= b. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî:a > b,åñëè |a| < |b|,Ãë. 1. Âåùåñòâåííûå ÷èñëà10a < b,åñëè |a| > |b|.Çäåñü ñèìâîëîì |a| îáîçíà÷åíî ÷èñëî α , α ...αn ..., åñëè a = ±±α , α ...αn ... .Çàäàíèå.

Äîêàæèòå, ÷òî ñôîðìóëèðîâàííîå ïðàâèëî ñðàâíåíèÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë îáëàäàåò ñâîéñòâîì òðàíçèòèâíîñòèçíàêîâ = è >, è ÷òî â ïðèìåíåíèè ê ðàöèîíàëüíûì ÷èñëàì îíîäàåò òîò æå ðåçóëüòàò, ÷òî è ïðàâèëî ñðàâíåíèÿ ðàöèîíàëüíûõ÷èñåë.Èç ïðàâèëà ñðàâíåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî åñëè0011a = α0 , α1 α2 ... αn ... > 0,òîα0 , α1 α2 ... αn 6 a 6 α0 , α1 α2 ... αn +110n(àíàëîãè÷íûå íåðàâåíñòâà èìåþò ìåñòî äëÿ a < 0), ò.å. ëþáîå íåîòðèöàòåëüíîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî a ìîæíî ïðèáëèçèòüðàöèîíàëüíûìè ÷èñëàìè ñ ïðîèçâîëüíîé òî÷íîñòüþ äî 1/10n(n ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî) ïî íåäîñòàòêó (α , α α ... αn ) èïî èçáûòêó (α , α α ...

αn + 1/10n ). Àíàëîãè÷íûå ïðèáëèæåíèÿèìåþò ìåñòî, åñëè a < 0.Äëÿ ââåäåíèÿ ïðàâèë ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ âåùåñòâåííûõ÷èñåë íàì ïîíàäîáèòñÿ íîâîå ïîíÿòèå ïîíÿòèå òî÷íûõ ãðàíåéîãðàíè÷åííîãî ÷èñëîâîãî ìíîæåñòâà.001122Ÿ 4. Òî÷íûå ãðàíè îãðàíè÷åííîãî ÷èñëîâîãîìíîæåñòâàÎáîçíà÷èì áóêâîé X ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, ñîäåðæàùåå õîòÿ áû îäíî ÷èñëî (òàêîå ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿíåïóñòûì).

Ëþáîå ÷èñëî x ∈ X áóäåì íàçûâàòü ýëåìåíòîììíîæåñòâà X .Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûìñâåðõó (ñíèçó), åñëè ñóùåñòâóåò ÷èñëî M (m) òàêîå, ÷òî äëÿëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ X âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâîx6M(x > m).×èñëî M (m) íàçûâàåòñÿ âåðõíåé (íèæíåé) ãðàíüþ ìíîæåñòâà X . Äëÿ êðàòêîñòè âìåñòî ñëîâ ¾ñóùåñòâóåò¿ è ¾äëÿ ëþáîãî¿áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå ëîãè÷åñêèå ñèìâîëû (êâàíòîðû):∃ êâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ (çàìåíÿåò ñëîâî ¾ñóùåñòâóåò¿ èëè4. Òî÷íûå ãðàíè îãðàíè÷åííîãî ÷èñëîâîãî ìíîæåñòâà11¾íàéäåòñÿ¿) è ∀ êâàíòîð âñåîáùíîñòè (çàìåíÿåò âûðàæåíèÿ¾äëÿ ëþáîãî¿ èëè ¾äëÿ âñåõ¿).Çàïèøåì äàííîå îïðåäåëåíèå îãðàíè÷åííîãî ñâåðõó ìíîæåñòâà ñ ïîìîùüþ êâàíòîðîâ.Ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì ñâåðõó, åñëè∃M ,∀x ∈ X : x 6 M.(1.1)Îòðèöàíèå ýòîãî ïðåäëîæåíèÿ â ïîçèòèâíîé ôîðìå âûãëÿäèò òàê:Ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñÿ íåîãðàíè÷åííûì ñâåðõó, åñëè∀M∃x ∈ X : x > M.(1.2)Ñðàâíèâàÿ (1.1) è (1.2), ìû âèäèì, ÷òî äëÿ ïîñòðîåíèÿ îòðèöàíèÿ ïðåäëîæåíèÿ (1.1) íóæíî êâàíòîð ∃ çàìåíèòü íà ∀, àêâàíòîð ∀ íà ∃, è ñòîÿùåå ïîñëå äâîåòî÷èÿ íåðàâåíñòâî çàìåíèòüåìó ïðîòèâîïîëîæíûì.

Ýòî ïðàâèëî ìîæíî èñïîëüçîâàòü è äëÿïîñòðîåíèÿ îòðèöàíèé ëþáûõ äðóãèõ óòâåðæäåíèé, ñîäåðæàùèõêâàíòîðû ∃ è ∀.Çàäàíèå. Çàïèøèòå ñ ïîìîùüþ êâàíòîðîâ îïðåäåëåíèå îãðàíè÷åííîãî ñíèçó ìíîæåñòâà è îòðèöàíèå ýòîãî îïðåäåëåíèÿ.Ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì, åñëè îíî îãðàíè÷åíî è ñâåðõó è ñíèçó, ò.å. åñëè ∃M è m, ∀x ∈ X : m 6 x 6 M .Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî òàêîå îïðåäåëåíèå ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùåìó: ìíîæåñòâî X îãðàíè÷åíî, åñëè∃A > 0, ∀x ∈ X : |x| 6 A.Ïðèìåð.

Ìíîæåñòâî X = {x : x < 0} îãðàíè÷åíî ñâåðõó,íî íå îãðàíè÷åíî ñíèçó. Î÷åâèäíî, ëþáîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî ÿâëÿåòñÿ âåðõíåé ãðàíüþ ýòîãî ìíîæåñòâà. Òàêèì îáðàçîì,îãðàíè÷åííîå ñâåðõó ìíîæåñòâî èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî âåðõíèõãðàíåé. Ñðåäè ýòèõ âåðõíèõ ãðàíåé â äàííîì ïðèìåðå èìååòñÿíàèìåíüøàÿ ÷èñëî 0.Îïðåäåëåíèå.

Íàèìåíüøàÿ èç âåðõíèõ ãðàíåé îãðàíè÷åííîãîñâåðõó ìíîæåñòâà X íàçûâàåòñÿ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ ýòîãîìíîæåñòâà è îáîçíà÷àåòñÿsup X(supremum ìíîæåñòâà X) .Èíîãäà ìû áóäåì ïèñàòü x = sup X .Àíàëîãè÷íî,íàèáîëüøàÿ èç íèæíèõ ãðàíåé îãðàíè÷åííîãî ñíèçóìíîæåñòâà X íàçûâàåòñÿ òî÷íîé íèæíåé ãðàíüþ ýòîãî ìíîæåñòâà è îáîçíà÷àåòñÿinf X(infinum ìíîæåñòâà X),12Ãë. 1.

Âåùåñòâåííûå ÷èñëàäðóãîå îáîçíà÷åíèå: x = inf X .Îïðåäåëåíèå òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòüèíà÷å: ÷èñëî x íàçûâàåòñÿ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ îãðàíè÷åííîãîñâåðõó ìíîæåñòâà X , åñëè:1) ∀x ∈ X : x 6 x (ýòî îçíà÷àåò, ÷òî x îäíà èç âåðõíèõãðàíåé ìíîæåñòâà X );e (ýòî îçíà÷àåò, ÷òî x íàèìåíü2) ∀ex < x ∃x ∈ X : x > xøàÿ èç âåðõíèõ ãðàíåé).Çàäàíèå.

Ñôîðìóëèðóéòå àíàëîãè÷íîå îïðåäåëåíèå òî÷íîéíèæíåé ãðàíè.Ïîñòàâèì âîïðîñ: âñåãäà ëè ñðåäè âåðõíèõ ãðàíåé îãðàíè÷åííîãî ñâåðõó ìíîæåñòâà èìååòñÿ íàèìåíüøàÿ? Îòâåò íà ýòîòâîïðîñ íå î÷åâèäåí. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî {x : x > 0} íå èìååò íàèìåíüøåãî ÷èñëà.

Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â îòíîøåíèè âåðõíèõãðàíåé îãðàíè÷åííîãî ñâåðõó ìíîæåñòâà îòâåò íà ïîñòàâëåííûéâîïðîñ ïîëîæèòåëüíûé.Òåîðåìà. Îãðàíè÷åííîå ñâåðõó (ñíèçó) íåïóñòîå ìíîæåñòâîèìååò òî÷íóþ âåðõíþþ (íèæíþþ) ãðàíü.Äîêàçàòåëüñòâî. Ìû äîêàæåì òåîðåìó äëÿ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè(äëÿ òî÷íîé íèæíåé ãðàíè äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî). ÏóñòüX îãðàíè÷åííîå ñâåðõó ìíîæåñòâî, ò.å.