В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу, страница 9

Åñëè ñóùåñòâóåò∆y,∆x→0 ∆xlimòî îí íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x.Îáîçíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíîé: f 0 (x) èëè y 0 (x). ôèçèêå ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå ẏ(x), îáû÷íî â òîìñëó÷àå, êîãäà x âðåìÿ. Íåñêîëüêî ïîçæå ìû ââåäåì åùå îäíîdyîáîçíà÷åíèå:, íî ýòî áóäåò íå åäèíûé ñèìâîë, à äðîáü, âdxêîòîðîé ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü èìåþò ñâîé ñìûñë.Ïðèìåðû.1) Ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ y = c, ãäå c íåêîòîðîå ÷èñëî. Òàêêàê ∆y = f (x + ∆x) − f (x) = c − c = 0, òîlim∆x→0∆y=∆x0, òî åñòü c0 = 0.Ãë. 4. Ïðîèçâîäíûå è äèôôåðåíöèàëû.542) Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ y = xn , n ∈ N. Íàéäåì ïðèðàùåíèåôóíêöèè:∆y = f (x + ∆x) − f (x) = (x + ∆x)n − xn == xn + nxn−1 · ∆x + n(n − 1)xn−2 × (∆x)2 /2 + ...+ (∆x)n − xn == nxn−1 · ∆x + o(∆x) ïðè ∆x → 0.Îòñþäà ñëåäóåò:∆yo(∆x)= nxn−1 +→ nxn−1∆x∆xòî åñòüïðè ∆x → 0,(xn )0 = nxn−1 , n ∈ N.Ïîçäíåå ìû äîêàæåì, ÷òî ýòà ôîðìóëà âåðíà äëÿ ëþáîãî âåùåñòâåííîãî ÷èñëà n è ëþáîãî x > 0.3) Ôóíêöèÿ y = sin x.

Èìååì:∆y = sin(x + ∆x) − sin x = 2 sin∆x2∆x· cos x +=2∆x∆x+ o(∆x) · cos x +=22ïðè ∆x → 0.2∆x∆xÇäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü ôîðìóëîé sin=+ o(∆x) ïðè22∆x → 0. Èñïîëüçóÿ òåïåðü íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè cos x, ïîëó÷àåì:∆y=∆xÈòàê,o(∆x)1+∆x∆x· cos x +→ cos x2ïðè ∆x → 0.(sin x)0 = cos x.4) Äîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíî, ÷òî(cos x)0 = − sin x.5) Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ y = loga x (x > 0). Òàê êàê∆y = loga (x + ∆x) − loga x = loga∆x1+x,1. Îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé.

Ïðîèçâîäíûå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé.55òî, ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó (3.6), ïîëó÷àåì:∆y =∆x+ o(∆x)x ln aïðè ∆x → 0,îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî1o(∆x)1∆y=+→∆xx ln a∆xx ln aÈòàê,ïðè ∆x → 0.(loga x)0 = 1/(x ln a),â ÷àñòíîñòè,(ln x)0 = 1/x.6) Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ y = ax (a > 0; a 6= 1).Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3.7), ïîëó÷àåì∆y = ax+∆x − ax = ax (a∆x − 1) = ax (∆x · ln a + o(∆x))ïðè ∆x → 0.Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî∆y= ax∆xo(∆x)ln a +∆xÈòàê,→ ax · ln a ïðè∆x → 0.(ax )0 = ax · ln a,â ÷àñòíîñòè,(ex )0 = ex .Îäíîñòîðîííèå ïðîèçâîäíûåÐàññìîòðèì ðàçíîñòíîå îòíîøåíèåf (x + ∆x) − f (x)∆y=∆x∆xïðè ∆x > 0.Îïðåäåëåíèå. Åñëè ñóùåñòâóåòlim∆x→+0∆y,∆xòî îí íàçûâàåòñÿ ïðàâîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êåx.

Îáîçíà÷åíèå: f 0 (x).ïðÃë. 4. Ïðîèçâîäíûå è äèôôåðåíöèàëû.56Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ëåâàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè y = f (x)â òî÷êå x:lim∆x→−0∆y0= fëåâ(x).∆xÔóíêöèÿ y = f (x) ìîæåò èìåòü â êàêîé-òî òî÷êå íå ðàâíûåîäíîñòîðîííèå ïðîèçâîäíûå.Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = |x|.

 òî÷êå x = 0 èìååì:∆y = y(0 + ∆x) − y(0) =ïîýòîìó∆x, åñëè ∆x > 0,−∆x, åñëè ∆x < 0åñëè ∆x > 0,åñëè ∆x < 0.Ñëåäîâàòåëüíî, ïðàâàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè y = |x| â òî÷êå 0ðàâíà 1, à ëåâàÿ ïðîèçâîäíàÿ ðàâíà −1. Ïðîèçâîäíîé â ýòîé òî÷êåôóíêöèÿ y = |x| íå èìååò.∆y=∆x+1,−1,×àñòíûå ïðîèçâîäíûåÐàññìîòðèì ôóíêöèþ íå îäíîé, à íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ,íàïðèìåð, z = f (x, y). Åñëè çàôèêñèðîâàòü çíà÷åíèå îäíîé èçïåðåìåííûõ, íàïðèìåð y , òî ôóíêöèÿ z ñòàíåò ôóíêöèåé îäíîéïåðåìåííîé x.

Ïðîèçâîäíàÿ ýòîé ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ ÷àñòíîéïðîèçâîäíîé ôóíêöèè z = f (x, y) ïî àðãóìåíòó x è îáîçíà÷àåòñÿzx0 . Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ zy0 ïî àðãóìåíòó y .Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ z = xy . Òîãäà zx0 = y · xy− ,0zy = xy · ln x.1Ÿ 2. Ôèçè÷åñêèé è ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîéÔèçè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîéÏóñòü x âðåìÿ, à y = f (x) êîîðäèíàòà òî÷êè, äâèæóùåéñÿ ïî îñè Oy , â ìîìåíò âðåìåíè x.Ðàçíîñòíîå îòíîøåíèå∆yf (x + ∆x) − f (x)=∆x∆xïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñðåäíþþ ñêîðîñòü òî÷êè íà ïðîìåæóòêåâðåìåíè îò ìîìåíòà x äî ìîìåíòà x + ∆x, à âåëè÷èíàlim∆x→0∆y= f 0 (x) = v(x)∆x2.

Ôèçè÷åñêèé è ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé57ÿâëÿåòñÿ ìãíîâåííîé ñêîðîñòüþ òî÷êè â ìîìåíò âðåìåíè x. ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè y = f (x) ïðîèçâîäíàÿ f 0 (x)õàðàêòåðèçóåò ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ïåðåìåííîé y (ôóíêöèè) ïîîòíîøåíèþ ê èçìåíåíèþ àðãóìåíòà x.Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîéÏóñòü çàäàíà ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò yè äàíà ïðÿìàÿ l. Îáîçíà÷èìl1áóêâîé α âåëè÷èíó óãëà,íàl2êîòîðûé íóæíî ïîâåðíóòüîñü Ox, ÷òîáû ñîâìåñòèòü ååα>0ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå Oxα<0ñ îäíèì èç íàïðàâëåíèéíà ïðÿìîé l, ïðè÷åì−π/2 < α 6 π/2 (ðèñ. 4.1).×èñëî k = tg α íàçûâàåòñÿóãëîâûì êîýôôèöèåíòîìïðÿìîé l â äàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.Ðàññìîòðèì ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x), ò.å. ìíîæåñòâî òî÷åê{(x, f (x)), x ∈ X}, ãäå X îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ýòîé ôóíêöèè.Îòìåòèì íà ãðàôèêå òî÷êè M (x, f (x)) è N (x + ∆x, f (x + ∆x)).Ïðÿìàÿ M N íàçûâàåòñÿ ñåêóùåé ïî îòíîøåíèþ ê ãðàôèêó ôóíêöèè.

Âåëè÷èíó óãëà ìåæäó ñåêóùåé M N è îñüþ Ox îáîçíà÷èìϕ(∆x) (ðèñ. 4.2). Óñòðåìèì òåïåðü ∆x ê íóëþ.Ðèñ. 4.1.yNf (x + Δx )f (x )φ(Dx)φ0Ol123Müý Dy = f ( x + Dx) - f ( x)þPΔxxx + ΔxÐèñ. 4.2.xÃë. 4. Ïðîèçâîäíûå è äèôôåðåíöèàëû.58Îïðåäåëåíèå. Åñëè ñóùåñòâóåòlim ϕ(∆x) = ϕ0 ,∆x→0òî ïðÿìàÿ l ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì k = tg ϕ , ïðîõîäÿùàÿ÷åðåç òî÷êó M (x, f (x)), íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêóôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå M .Ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî ïðÿìàÿ l ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíûì ïîëîæåíèåì ñåêóùåé M N ïðè ∆x → 0.

 ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x) âòî÷êå M (x, f (x)) åñòü ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå ñåêóùåé M N ïðè∆x → 0.Òåîðåìà 1. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò â òî÷êå x ïðîèçâîäíóþ f 0 (x), òî ãðàôèê ôóíêöèè èìååò â òî÷êå M (x, f (x))êàñàòåëüíóþ, ïðè÷åì óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàñàòåëüíîé ðàâåíf 0 (x).Äîêàçàòåëüñòâî.

Èç òðåóãîëüíèêà M N P (ñì. ðèñ. 4.2) ïîëó÷àåì:0tg ϕ(∆x) =∆y∆y⇒ ϕ(∆x) = arctg.∆x∆xÏåðåéäåì ê ïðåäåëó ïðè ∆x → 0 è âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òîlim∆x→0∆y= f 0 (x)∆xè arctg t íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Ïîëó÷èì:lim ϕ(∆x) = lim arctg∆x→0∆x→0∆y= arctg f 0 (x).∆xÎòñþäà ïî îïðåäåëåíèþ êàñàòåëüíîé ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåòêàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè â òî÷êå M (x, f (x)). Ïðè ýòîìϕ0 = lim ϕ(∆x) = arctg f 0 (x),∆x→0è, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ óãëîâîãî êîýôôèöèåíòà êàñàòåëüíîé ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî k = tg ϕ = f 0 (x). Òåîðåìà äîêàçàíà.Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè y == f (x) â òî÷êå M (x , f (x )) èìååò âèä:000y − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 ).3.

Äèôôåðåíöèðóåìîñòü è äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè59Ÿ 3. Äèôôåðåíöèðóåìîñòü è äèôôåðåíöèàë ôóíêöèèÏóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò ïðîèçâîäíóþ â òî÷êå x, òîåñòülim∆x→0∆y= f 0 (x).∆xÂâåäåì ôóíêöèþα(∆x) =∆yf (x + ∆x) − f (x)− f 0 (x) =− f 0 (x).∆x∆x(4.1)Ôóíêöèÿ α(∆x) îïðåäåëåíà ïðè ∆x 6= 0 è ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íîìàëîé ïðè ∆x → 0. Èç ðàâåíñòâà (4.1) ïîëó÷àåì:∆y = f 0 (x) · ∆x + α(∆x) · ∆x ïðè∆x 6= 0.(4.2)Ðàâåíñòâî (4.2) áóäåò âåðíûì è äëÿ ∆x = 0, åñëè äîîïðåäåëèòüêàêèì-íèáóäü îáðàçîì ôóíêöèþ α(∆x) ïðè ∆x = 0.

Äëÿ äàëüíåéøåãî óäîáíî ïîëîæèòü α(0) = 0, òî åñòü äîîïðåäåëèòü α(∆x)â òî÷êå ∆x = 0 ïî íåïðåðûâíîñòè. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî f 0 (x)íå çàâèñèò îò ∆x, ò.å. äëÿ äàííîé òî÷êè x ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûì÷èñëîì.Èòàê, åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò ïðîèçâîäíóþ â òî÷êå x,òî åå ïðèðàùåíèå â ýòîé òî÷êå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå (4.2),ãäå α(∆x) → 0 ïðè ∆x → 0, α(0) = 0.Ïóñòü òåïåðü äàíî, ÷òî ïðèðàùåíèå ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êåx èìååò âèä∆y = A · ∆x + α(∆x) · ∆x,(4.3)ãäå A íåêîòîðîå ÷èñëî, à α(∆x) → 0 ïðè ∆x → 0, α(0) = 0.Ïîêàæåì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò ïðîèçâîäíóþ â òî÷êå x, ïðè÷åì f 0 (x) = A. Èç (4.3) ïîëó÷àåì:∆y= A + α(∆x),∆xîòêóäà ñëåäóåò, ÷òî∆y= f 0 (x) = A.∆x→0 ∆xlimÒàêèì îáðàçîì, åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò ïðîèçâîäíóþâ òî÷êå x, òî åå ïðèðàùåíèå â ýòîé òî÷êå ìîæíî ïðåäñòàâèòü ââèäå (4.3), ãäå A = f 0 (x), è îáðàòíî, åñëè ïðèðàùåíèå ôóíêöèè âòî÷êå x ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå (4.3), òî îíà èìååò â òî÷êå xÃë.

4. Ïðîèçâîäíûå è äèôôåðåíöèàëû.60ïðîèçâîäíóþ, ïðè÷åì f 0 (x) = A, ò.å. ñóùåñòâîâàíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè â òî÷êå x è ïðåäñòàâëåíèå ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèèâ âèäå (4.3) ÿâëÿþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè ñâîéñòâàìè ôóíêöèè.Îïðåäåëåíèå. Åñëè ïðèðàùåíèå ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êåx ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå (4.3), ãäå A íåêîòîðîå ÷èñëî, àα(∆x) áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ôóíêöèÿ ïðè ∆x → 0, α(0) = 0, òîôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êå x.Èç ïðîâåäåííîãî ðàññóæäåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî äëÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè â òî÷êå x íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî,÷òîáû îíà èìåëà ïðîèçâîäíóþ â ýòîé òî÷êå.Îïåðàöèþ âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíîé íàçûâàþò äèôôåðåíöèðîâàíèåì ôóíêöèè.Çàìå÷àíèå.