В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу, страница 10

Óñëîâèå äèôôåðåíöèðóåìîñòè (4.3) ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâ A = f 0 (x), α(∆x) · ∆x = o(∆x) ïðè ∆x → 0, ìîæíî çàïèñàòü â âèäå∆y = f 0 (x) · ∆x + o(∆x).(4.4)Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = x . Èìååì:2∆y = (x + ∆x)2 − x2 = 2x · ∆x + ∆x · ∆x = 2x · ∆x + o(∆x).Çäåñü A = f 0 (x) = 2x.Òåîðåìà 2. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êåa, òî îíà è íåïðåðûâíà â ýòîé òî÷êå.Äîêàçàòåëüñòâî. Íóæíî äîêàçàòü, ÷òîlim f (x) = f (a).x→aÂâåäåì îáîçíà÷åíèå: x − a = ∆x. Òîãäà ∆x → 0 ïðè x → a,x = a + ∆x, è íóæíî äîêàçàòü, ÷òîlim f (a + ∆x) = f (a) èëè∆x→0lim [f (a + ∆x) − f (a)] = 0.∆x→0Íî f (a + ∆x) − f (a) = ∆y ïðèðàùåíèå ôóíêöèè â òî÷êå a.Òàêèì îáðàçîì, òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òîlim ∆y = 0.∆x→0Ïî óñëîâèþ òåîðåìû ôóíêöèÿ y = f (x) äèôôåðåíöèðóåìà âòî÷êå a, ïîýòîìó∆y = f 0 (a) · ∆x + o(∆x).3.

Äèôôåðåíöèðóåìîñòü è äèôôåðåíöèàë ôóíêöèèÑëåäîâàòåëüíî,61lim ∆y = 0,∆x→0÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Çàìå÷àíèå. Ðàâåíñòâîlim ∆y = 0,∆x→0ãäå ∆y = f (a + ∆x) − f (a), íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòíîé ôîðìîéóñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå a. Åñëè ýòîóñëîâèå âûïîëíåíî, òî ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà â òî÷êå a, è îáðàòíî,åñëè ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà â òî÷êå a, òî ýòî óñëîâèå âûïîëíåíî.Îòìåòèì òàêæå, ÷òî îáðàòíîå ê òåîðåìå 2 óòâåðæäåíèå íåâåðíî, ò.å. íåïðåðûâíàÿ â íåêîòîðîé òî÷êå ôóíêöèÿ ìîæåò áûòüíåäèôôåðåíöèðóåìîé â ýòîé òî÷êå.Ïðèìåð. Ôóíêöèÿ f (x) = |x| íåïðåðûâíà â òî÷êå x = 0, íîíå äèôôåðåíöèðóåìà â ýòîé òî÷êå.Ñóùåñòâóþò ôóíêöèè, êîòîðûå íåïðåðûâíû â êàæäîé òî÷êå÷èñëîâîé ïðÿìîé, íî íè â îäíîé òî÷êå íå äèôôåðåíöèðóåìû.Âïåðâûå ïðèìåð òàêîé ôóíêöèè ïîñòðîèë Êàðë Âåéåðøòðàññ(1815-1897) â 1872 ãîäó.Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèèÎáðàòèìñÿ ñíîâà ê óñëîâèþ äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè,çàïèñàííîìó â âèäå (4.4): ∆y = f 0 (x) · ∆x + o(∆x).

Ïðèðàùåíèå∆y äèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êå x ôóíêöèè y = f (x) ñîñòîèò èçäâóõ ñëàãàåìûõ: f 0 (x) · ∆x è o(∆x). Îáà ñëàãàåìûõ ÿâëÿþòñÿáåñêîíå÷íî ìàëûìè ôóíêöèÿìè ïðè ∆x → 0. Åñëè f 0 (x) 6= 0, òîïåðâîå ñëàãàåìîå ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé òîãî æå ïîðÿäêà,÷òî è ∆x: f 0 (x) · ∆x = O(∆x). Âòîðîå ñëàãàåìîå o(∆x) ÿâëÿåòñÿáåñêîíå÷íî ìàëîé áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà, ÷åì ∆x.Îïðåäåëåíèå. Äèôôåðåíöèàëîì ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êåx íàçûâàåòñÿ ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ àðãóìåíòà ∆x:dy = f 0 (x) · ∆x.(4.5)Îòìåòèì, ÷òî åñëè f 0 (x) 6= 0, òî dy = f 0 (x) · ∆x ÿâëÿåòñÿ ãëàâíîé÷àñòüþ ∆y ïðè ∆x → 0. Åñëè æå f 0 (x) = 0, òî dy = 0 è óæå íåÿâëÿåòñÿ ãëàâíîé ÷àñòüþ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè.Äèôôåðåíöèàëîì íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé x íàçîâåì ïðèðàùåíèå ýòîé ïåðåìåííîé: dx = ∆x. Ôîðìóëà (4.5) ïðèíèìàåòòåïåðü âèä: dy = f 0 (x)dx, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òîf 0 (x) =dy,dxÃë.

4. Ïðîèçâîäíûå è äèôôåðåíöèàëû.62ò.å. åñëè x íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ, òî ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè âòî÷êå x ðàâíà îòíîøåíèþ äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè â ýòîé òî÷êåê äèôôåðåíöèàëó íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé.Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = sin x. Íàéäåì åå äèôôåðåíöèàë: dy = d(sin x) = cos x · dx ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ àðãóìåíòà dx ïðè ôèêñèðîâàííîì x.  ÷àñòíîñòè,d(sin x)x= π31= dx;2d(sin x),dx=0,1x= π3=0, 05;d(sin x)x= π2=0.Ôèçè÷åñêèé ñìûñë äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèèÏóñòü x âðåìÿ, y = f (x) êîîðäèíàòà òî÷êè íà îñè Oyâ ìîìåíò âðåìåíè x.

Òîãäà ∆y = f (x + ∆x) − f (x) èçìåíåíèå(ïðèðàùåíèå) êîîðäèíàòû çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè îò ìîìåíòà xäî ìîìåíòà x + ∆x. Ïðè ýòîì dy = f 0 (x) · ∆x = v(x) · ∆x, òîåñòü äèôôåðåíöèàë ðàâåí òîìó èçìåíåíèþ êîîðäèíàòû, êîòîðîåèìåëà áû òî÷êà, åñëè áû åå ñêîðîñòü v(x) íà îòðåçêå âðåìåíè[x, x + ∆x] áûëà ïîñòîÿííîé, ðàâíîé f 0 (x).Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèèyNf (x + Δx )f (x )ìdy íî123Müý DyþΔxOxx + ΔxxÐèñ. 4.3.Äèôôåðåíöèàë dy ðàâåí òîìó èçìåíåíèþ ôóíêöèè y = f (x)ïðè èçìåíåíèè àðãóìåíòà íà ∆x, êîòîðîå èìåëà áû ôóíêöèÿ,åñëè áû íà îòðåçêå [x, x + ∆x] îíà áûëà ëèíåéíîé ñ óãëîâûìêîýôôèöèåíòîì ïðÿìîé (åå ãðàôèêà), ðàâíûì f 0 (x) (ñì.

ðèñ. 4.3).4. Ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ63Èñïîëüçîâàíèå äèôôåðåíöèàëà äëÿ ïðèáëèæåííûõâû÷èñëåíèéÑ ïîìîùüþ ôîðìóëû ∆y = dy + o(∆x) ìîæíî ïðèáëèæåííîâû÷èñëÿòü f (x + ∆x) ïðè ìàëûõ ∆x, åñëè èçâåñòíû f (x) è f 0 (x). ñàìîì äåëå, èç ðàâåíñòâàf (x + ∆x) − f (x) = f 0 (x) · ∆x + o(∆x)ñëåäóåò:f (x + ∆x) = f (x) + f 0 (x) · ∆x + o(∆x),îòêóäà ïîëó÷àåì ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâîf (x + ∆x) ≈ f (x) + f 0 (x) · ∆x.Ÿ 4.

Ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿÒåîðåìà 3. Åñëè ôóíêöèè u(x) è v(x) äèôôåðåíöèðóåìû âòî÷êå x, òî ôóíêöèè u(x) ± v(x), u(x) · v(x), u(x)/v(x) (ãäå v(x) 6== 0) òàêæå äèôôåðåíöèðóåìû â òî÷êå x, ïðè÷åì:1) [u(x) ± v(x)]0 = u0 (x) ± v 0 (x);2) [u(x) · v(x)]0 = u0 (x) · v(x) + u(x) · v 0 (x);3)u(x)v(x)0=u0 (x)v(x) − u(x)v 0 (x).v 2 (x)Äîêàçàòåëüñòâî.

Äîêàæåì ôîðìóëó 2) (ôîðìóëû 1) è 3) äîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíî). Ïîëîæèì y(x) = u(x)v(x). Òîãäà∆y = y(x + ∆x) − y(x) = u(x + ∆x)v(x + ∆x) − u(x)v(x) == u(x + ∆x)v(x + ∆x) − u(x)v(x) + u(x)v(x + ∆x) −−u(x)v(x + ∆x) = [u(x + ∆x) − u(x)]v(x + ∆x)++u(x)[v(x + ∆x) − v(x)] = ∆u · v(x + ∆x) + ∆v · u(x).Îòñþäà ñëåäóåò:∆u∆v∆y=· v(x + ∆x) +· u(x).∆x∆x∆xÏåðåéäåì â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè ∆x → 0:lim∆x→0∆y= v(x)u0 (x) + u(x)v 0 (x),∆xÃë. 4. Ïðîèçâîäíûå è äèôôåðåíöèàëû.64òî åñòü y 0 (x) = (u(x)v(x))0 = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x), ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Ñëåäñòâèÿ.(1) [c · y(x)]0 = c · y 0(x),(2) (tg x)0 =0sin xcos x=(3) (ctg x)0 = −ãäå c = const;(sin x)0 cos x − sin x(cos x)0==cos2 xcos2 x + sin2 x1=;cos2 xcos2 x1sin2 x(äîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíî).Ÿ 5.

Ïðîèçâîäíàÿ îáðàòíîé ôóíêöèèyf (b)Òåîðåìà 4. Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) îïðåäåëåíà,ñòðîãî ìîíîòîííà è íåïðåðûâíà â îêðåñòíîñòè òî÷êèx , äèôôåðåíöèðóåìà â ñàìîéòî÷êå x è f 0 (x ) 6= 0. Ïóñòüf (x ) = y . Òîãäà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè y ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿx = f − (y), ýòà ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå y è0y0 + Dyy0 = f ( x0 )00f (a)O000(aDxx0 x0 + Dx b1)x0Ðèñ. 4.4.10f −1 (y0 ) =0f (x0 ).Äîêàçàòåëüñòâî.

Ðàññìîòðèì êàêîé-íèáóäü ñåãìåíò [a, b], ðàñïîëîæåííûé â óêàçàííîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x è òàêîé, ÷òîa < x < b. Ôóíêöèÿ y = f (x) ñòðîãî ìîíîòîííà è íåïðåðûâíà íàýòîì ñåãìåíòå (ðèñ. 4.4). Ïîýòîìó, ñîãëàñíî òåîðåìå 5 ãëàâû 3,ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé ôóíêöèè y = f (x), çàäàííîé íà [a, b], ÿâëÿåòñÿ ñåãìåíò Y = [f (a), f (b)], íà ñåãìåíòå Y ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿôóíêöèÿ x = f − (y), ñòðîãî ìîíîòîííàÿ è íåïðåðûâíàÿ. Ïðèýòîì y ∈ (f (a), f (b)).Äàäèì àðãóìåíòó y îáðàòíîé ôóíêöèè â òî÷êå y ïðèðàùåíèå∆y 6= 0 ñòîëü ìàëîå, ÷òî (y + ∆y) ∈ (f (a), f (b)). Îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ ïîëó÷èò ïðèðàùåíèå ∆x = f − (y + ∆y) − f − (y ), êîòîðîå00100011005. Ïðîèçâîäíàÿ îáðàòíîé ôóíêöèè65îòëè÷íî îò íóëÿ â ñèëó ñòðîãîé ìîíîòîííîñòè îáðàòíîé ôóíêöèè:∆x 6= 0.

Ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî:∆x1= .∆y∆y(4.6)∆xÏåðåéäåì â ýòîì ðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè ∆y → 0 è âîñïîëüçóåìñÿ íåïðåðûâíîñòüþ îáðàòíîé ôóíêöèè x = f − (y) è óñëîâèåì íåïðåðûâíîñòè â ðàçíîñòíîé ôîðìå: ∆x → 0 ïðè ∆y → 0.Òàê êàê ïðè ∆x → 0 çíàìåíàòåëü â ïðàâîé ÷àñòè (4.6) ñòðåìèòñÿ1. Ñëåäîâàòåëüíî,ê f 0 (x ), òî ïðåäåë ïðàâîé ÷àñòè ðàâåí 0f (x0 )ñóùåñòâóåò ïðåäåë è ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (4.6), êîòîðûé ïî0îïðåäåëåíèþ ïðîèçâîäíîé ðàâåí f − (y ). Òàêèì îáðàçîì, ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè ∆y → 0 â ðàâåíñòâå (4.6), ìû ïîëó÷àåì:10100f −1 (y0 ) =1f 0 (x0 ).Òåîðåìà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå. Ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà äëÿ ïðîèçâîäíîé îáðàòyíîé ôóíêöèè èìååò ïðîñòîéπè ÿñíûé ôèçè÷åñêèé ñìûñë.2касательнаяÏðîèçâîäíàÿ f 0 (x ) åñòü ñêîy = arcsin xðîñòü èçìåíåíèÿ ïåðåìåííîé-1y ïî îòíîøåíèþ ê èçìåíåíèþ0x1ïåðåìåííîé x â òî÷êå x .

Ýòîîçíà÷àåò, ÷òî ïðè ìàëîì èçìåíåíèè x îò x äî x + ∆x,πò.å. ïðè èçìåíåíèè x íà ìà2ëóþ âåëè÷èíó ∆x, ïåðåìåííàÿ y èçìåíèòñÿ íà âåëè÷èíó ∆y ≈ f 0 (x ) · ∆x. Ìîæíîñêàçàòü, ÷òî y èçìåíÿåòñÿ âf 0 (x ) ðàç ¾áûñòðåå¿, ÷åì x. Íî òîãäà x èçìåíÿåòñÿ â 1/f 0 (x ) ðàç1¾ìåäëåííåå¿, ÷åì y : ∆x ≈ 0· ∆y , òî åñòü ñêîðîñòü èçìåíåíèÿf (x0 )ïåðåìåííîé x ïî îòíîøåíèþ ê èçìåíåíèþ ïåðåìåííîé y (à ýòà0ñêîðîñòü è åñòü f − (y )) ðàâíà 1/f 0 (x ).00000Ðèñ. 4.5.001Ïðèìåðû.001) Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = sin x ïðè −π/2 < x < π/2. Ýòà3 Â.Ô.

ÁóòóçîâÃë. 4. Ïðîèçâîäíûå è äèôôåðåíöèàëû.66ôóíêöèÿ èìååò îáðàòíóþ: x = arcsin y , −1 < y < 1. Äëÿ ëþáîãîx ∈ (−π/2, π/2) âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 4, ñîãëàñíî êîòîðîé(arcsin y)0 =1(sin x)01=cos x=q11 − sin x2=p1, −1 < y < 1.1 − y2Çàïèøåì ýòó ôîðìóëó, çàìåíèâ y íà x:1(arcsin x)0 = p1 − x2, −1 < x < 1.Çàìå÷àíèå. Ïðè x → +1 (è òàêæå ïðè x → −1) èìååì:(arcsin x)0 → +∞.

 òàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ èìååòâ äàííîé òî÷êå áåñêîíå÷íóþ ïðîèçâîäíóþ. Ãåîìåòðè÷åñêè ýòîîçíà÷àåò, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè â ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êå ýòî ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ îñè Oy (ðèñ 4.5).2) Ñàìîñòîÿòåëüíî âûâåäèòå ôîðìóëó(arccos x)0 = − p11 − x2,−1 < x < 1.3) Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = tg x, −π/2 < x < π/2. Ýòà ôóíêöèÿ èìååò îáðàòíóþ: x = arctg y , −∞ < y < +∞. Äëÿ ëþáîãîx ∈ (−π/2, π/2) âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 4, ñîãëàñíî êîòîðîé(arctg y)0 =1(tg x)0=11= cos2 x =cos2 x11 + tg x2=11 + y2.Çàïèøåì ýòó ôîðìóëó, çàìåíèâ y íà x:(arctg x)0 =1,1 + x2−∞ < x < +∞.4) Ñàìîñòîÿòåëüíî âûâåäèòå ôîðìóëó(arcctg x)0 = −11 + x2.Ÿ 6. Ïðîèçâîäíàÿ ñëîæíîé ôóíêöèèÐàññìîòðèì ñëîæíóþ ôóíêöèþ y = f (t), ãäå t = ϕ(x), òî åñòüy = f (ϕ(x)) := F (x).Òåîðåìà 5.

Ïóñòü ôóíêöèÿ t = ϕ(x) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x , ϕ(x ) = t , è ôóíêöèÿ y = f (t) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå0006. Ïðîèçâîäíàÿ ñëîæíîé ôóíêöèè67t0 . Òîãäà ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ F (x) = f (ϕ(x)) äèôôåðåíöèðóåìà âòî÷êå x0 è âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî:F 0 (x0 ) = f 0 (t0 ) · ϕ0 (x0 ) = f 0 (ϕ(x0 )) · ϕ0 (x0 ).Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ äèôôåðåíöèðóåìîñòèôóíêöèè íóæíî äîêàçàòü, ÷òî ïðèðàùåíèå ôóíêöèè y = F (x) âòî÷êå x ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:0∆y = f 0 (ϕ(x0 )) · ϕ0 (x0 ) · ∆x + α(∆x) · ∆x,(4.7)ãäå α(∆x) → 0 ïðè ∆x → 0 è α(0) = 0.Äàäèì àðãóìåíòó x ïðèðàùåíèå ∆x â òî÷êå x .

Ôóíêöèÿ t == ϕ(x) ïîëó÷èò ïðèðàùåíèå ∆t = ϕ(x + ∆x) − ϕ(x ), êîòîðîåìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå (â ñèëó äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèèt = ϕ(x) â òî÷êå x ):0000∆t = ϕ0 (x0 ) · ∆x + β(∆x) · ∆x,(4.8)ãäå β(∆x) → 0 ïðè ∆x → 0 è β(0) = 0.Ýòîìó ïðèðàùåíèþ ∆t ïåðåìåííîé t ñîîòâåòñòâóåò ïðèðàùåíèå ∆y = f (t + ∆t) − f (t ) ôóíêöèè y = f (t). Ïîñêîëüêóôóíêöèÿ y = f (t) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå t , òî ∆y ìîæíîïðåäñòàâèòü â âèäå000∆y = f 0 (t0 ) · ∆t + γ(∆t) · ∆t,(4.9)ãäå γ(∆t) → 0 ïðè ∆t → 0 è γ(0) = 0.Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå (4.8) äëÿ ∆t â ðàâåíñòâî (4.9), ïîëó÷èì:∆y = f 0 (t0 ) · ϕ0 (x0 ) · ∆x + [β · f 0 (t0 ) + γ · ϕ0 (x0 ) + γβ] ∆x == f 0 (ϕ(x0 )) · ϕ0 (x0 ) · ∆x + α(∆x) · ∆x,ò.å.