В.Н. Латышев - Курс лекций по высшей алгебре, страница 6

Приведите пример, когда AB не будет подгруппой G.Заметим, что если B ⊳ G, то AB = BA. В самом деле, рассмотрим a ∈ A, b ∈ B. Тогда ab = (aba−1 )a ∈ BA,поскольку в силу нормальности B имеем aba−1 ∈ B. Значит, AB ⊂ BA. Аналогично, BA ⊂ AB. Значит,AB = BA.Теорема 3.1. Если подгруппы Hi ⊂ G попарно коммутируют, то H := H1 · . .

. · Hm — подгруппа в G, независящая от порядка сомножителей. Если подгруппа Hi коммутирует поэлементно со всеми остальнымимножителями Hj , то Hi ⊳ H. Докажем, что H — подгруппа в G. Доказывать будем индукцией по m. При m = 1 доказывать нечего.Пусть m = 2, тогда A, B ⊂ G. Рассмотрим a1 b1 , a2 b2 ∈ AB. Имеем (a1 b1 )−1 (a2 b2 ) = b−1a−1 a2 b2 ∈ AB. Значит,|1 {z1 }a3 b3AB — подгруппа. Докажем шаг индукции: пусть m > 3 и H = H1 · . . .

· Hm−1 Hm . По предположению индукции|{z}LL — подгруппа, поскольку там m − 1 множитель. Кроме того, поскольку Hi попарно коммутируют, получаемLHm = Hm L, и тогда LHm — подгруппа, поскольку здесь тоже меньше, чем m сомножителей. Итак, H —подгруппа в G.Пусть имеет место поэлементное коммутирование. Покажем, что Hi ⊳ H. В самом деле, пусть h ∈ H. Тогдаh = h1 · . .

. · hi · . . . · hm . Далее hbi обозначает пропуск соответствующего множителя. Имеем hHi = (h1 · . . . · hi · . . . ··hm )Hi = в силу поэлементного коммутирования = (h1 ·. . .· hbi ·. . .·hm )(hi Hi ) = (h1 ·. . .· hbi ·. . .·hm )Hi = в силупоэлементного коммутирования, Hi можно протащить через произведение = Hi (h1 ·. .

.· hbi ·. . .·hm ) = (Hi hi )(h1 ·· . . . · hbi · . . . · hm ) = Hi (h1 · . . . · hi · . . . · hm ) = Hi h, а, значит, левый смежный класс совпадает с правым. Следствие 3.1. Если все Hi ⊳ G, то H = H1 · . . . · Hm ⊳ G. Поскольку нормальные подгруппы заведомо коммутируют как подмножества, получаем, что H — подгруппа в G.

Рассмотрим g ∈ G, тогда gHg −1 = g(H1 · . . . · Hm )g −1 = (gH1 g −1 ) · . . . · (gHm g −1 ) = H1 · . . . ·· Hm = H ⇒ H ⊳ G, ибо нормальные подгруппы инвариантны относительно внутренних автоморфизмов. Определение. Произведение подгрупп Hi ⊂ G называется прямым, если Hi коммутируют между собойпоэлементно и ∀ h ∈ H = H1 · . . . · Hm существует единственный набор (h1 , . . . , hm ) : h = h1 · . . .

· hm , hi ∈ Hi .Заметим, что в силу поэлементного коммутирования имеем Hi ⊳ H.Обозначения: H = H1 ×. . .×Hm для мультипликативной терминологии, H = H1 ⊕. . .⊕Hm — для аддитивной.Теорема 3.2 (О прямом произведении). Пусть Hi ⊳ G. Тогда H = H1 × . . . × Hm ⇔ ∀ i имеем Hi ∩ (H1 ·ci · . . . · Hm ) = {e}.· ...· Hci · . . . · Hm ). Рассмотрим x ∈ M . С одной стороны, Пусть H = H1 × . .

. × Hm . Тогда M := Hi ∩ (H1 · . . . · Hпоскольку x ∈ Hi , получаем x = e · . . . · x · . . . · e. С другой стороны, x = h1 · . . . · e · . . . · hm . Но представление x вiiвиде произведения множителей из Hj единственно, значит, x = e. Следовательно, M = {e}.−1−1Обратно, пусть пересечение тривиально. Рассмотрим коммутатор [hi , hj ] = hi hj h−1∈i hj . Имеем hi hj hi−1 −1∈ Hj в силу нормальности Hj . Но hj hi hj ∈ Hi в силу нормальности Hi . Значит, [hi , hj ] ∈ Hi ∩ Hj = {e}.Следовательно, hi hj = hj hi , и мы доказали поэлементное коммутирование. Теперь докажем единственностьразложения. Пусть x ∈ H = h1 · .

. . · hi · . . . · hm = h′1 · . . . · h′i · . . . · h′m . Тогда, пользуясь коммутированием,получаем hi (h1 · . . . · hbi · . . . · hm ) = h′i (h′1 · . . . · hb′i · . . . · h′m ). Далее, hi (h′i )−1 = (h′1 · . . . · hb′i · . . . · h′m )(h−1m · ... ·d−1−1′−1· h · . . . · h ). Теперь, поскольку h h ∈ H , он коммутирует с элементами других подгрупп, поэтому этотm m1imмножитель можно переставить в «хвост» произведения. Теперь, поскольку h′m−1 h−1m−1 ∈ Hm−1 , его тоже можнопереставить на предпоследнее место. Так будем переставлять их, пока не получим hi (h′i )−1 = (h′1 h−11 ) · ... ·−1\′−1′ −1′· (h h ) · . .

. · (h h ). Но поскольку пересечение подгрупп единичное, получаем h (h ) = {e}. Значит, h = h′ ,i iim miiiи мы доказали единственность разложения. 3.1.2. Внешние произведенияОпределение. Пусть G1 , . . . , Gm — группы. Рассмотрим обычное декартово произведение G := G1 × . . . ×′′× Gm и определим на нём операцию покомпонентного умножения: (g1 , .

. . , gm ) · (g1′ , . . . , gm) := (g1 g1′ , . . . , gm gm).Очевидно, это будет группой с единицей в виде строки единиц групп Gi . В этом случае G называется прямымпроизведением групп G1 , . . . , Gm и обозначается так же, как и внутреннее произведение.13fi := {gei = (e1 , . . . , gi , . . . , em ), gi ∈ Gi }. Очевидно что Gfi образуют подгруппы в G. ОсуществимРассмотрим Gfi по правилу gi 7→ gei . Тогда можно мысленно отождествить Gi и Gfi . Тогдаканонический изоморфизм Gi → Gf1 × .

. . × GgGi ֒→ G. Заметим, что G = Gm . В самом деле, элементы между собой коммутируют, разложениеединственно, а пересечение, очевидно, единичное.Теорема 3.3 (О факторизации по прямыммножителям).Пусть G = G1 × . . . × Gm . Пусть Hi ⊳ Gi .Рассмотрим H = H1 × . . . × Hm . Тогда H ⊳ G и G H ∼= G1 H1 × . . . × Gm Hm . Рассмотрим отображение ϕ : G → G1 H1 × . . . × Gm Hm , определённое по правилуϕ : g = (g1 , . . .

, gm ) 7→ (g1 H1 , . . . , gm Hm ).′′Оно сохраняет операцию: ϕ(gg ′ ) = (g1 g1′ )H1 , . . . , (gm gm)Hm = (g1 H1 , . . . , gm Hm )·(g1′ H1 , . . . , gmHm ) = ϕ(g)ϕ(g ′ ).Сюръективность ϕ очевидна, ибо на любую строку смежных классов отображается строка их представителей.Поэтому ϕ — эпиморфизм. Далее, g ∈ Ker ϕ ⇔ ϕ(g) = (g1 H1 , . .

. , gm Hm ) = (H1 , . . . , Hm ) ⇔ gi ∈ Hi . ОтсюдаKer ϕ = H, и, факторизуя по H, по теореме о гомоморфизме групп получаем требуемое. 3.2. Конечнопорождённые абелевы группыОпределение. Пусть G — абелева группа. Мы будем придерживаться аддитивной терминологии для абелевых групп. Говорят, что G порождается системой g1 , . . . , gm , если ∀ g ∈ G имеем g = n1 g1 + . . . + nm gm , гдеni ∈ Z. Тогда G называют конечнопорождённой абелевой группой.Определение. Система порождающих x1 , .

. . , xm группы G называется базой (базисом), если она «линейнонезависима» над Z, т. е. только тривиальные целочисленные линейные комбинации базисных векторов могутбыть равны 0. Очевидно, если x1 , . . . , xm — база, то представление любого элемента группы через базисныевектора единственно. В самом деле, если бы их было два, то можно вычесть одно из другого и получитьнетривиальную, но равную нулю линейную комбинацию.Определение. КПАГ G называется свободной, если она обладает базой. Заметим, что далеко не каждаяабелева группа свободна. Например, конечная ненулевая абелева группа имеет конечное число порождающих,но никогда не бывает свободной, поскольку там все элементы имеют конечный порядок, значит, для любогоненулевого базисного вектора x найдётся n ∈ N : nx = 0, значит, система даже из одного базисного векторабудет линейно зависимой.Рассмотрим группу G = hx1 i∞ ⊕ .

. . ⊕ hxm i∞ ∼. . ⊕ Z ֒→ Qm . Заметим, что если существует нетри= |Z ⊕ .{z}mвиальная линейная зависимость над Q, то она есть и над Z. Достаточно все дроби домножить на их общийзнаменатель.Теорема 3.4. Все базы САГ G имеют одинаковое количество элементов.Пусть X = {x1 , . . . , xm } и Y = {y1 , . . . , yn } — две различные базы. Допустим, что m 6= n, и дляопределённости m > n. Тогда, поскольку каждый вектор xi выражается через вектора базы Y, получаем(x1 , . .

. , xm ) = (y1 , . . . , yn )C, где C — целочисленная матрица, в которой n строк и m столбцов. Но по основнойлемме о линейной зависимости столбцы C линейно зависимы над Q (ведь мы доказывали эту лемму для произвольного поля). Значит, как уже было сказано, имеет место и нетривиальная линейная зависимость междувекторами X над Z, а это невозможно. Определение. Число векторов базиса САГ называется её рангом. Из теоремы следует, что определениекорректно. По определению, нулевая группа считается свободной абелевой группой ранга 0.Пусть G — САГ с базисом x1 , . .

. , xm . Произвольное отображение векторов базиса в элементы некоторойабелевой группы L продолжается естественным образом до гомоморфизма. Действительно, пусть ϕ : G → L,причём ϕ(xi ) = ai . Имеем ϕ(n1 x1 + . . . + nm xm ) = n1 a1 + . . .

+ nm am , причём отображение задано корректноблагодаря единственности разложения элемента G по базису.Теорема 3.5. Всякая КПАГ L с m порождающими изоморфна некоторому фактору САГ G ранга m. Пусть G — САГ с базисом x1 , . . . , xm , а L = ha1 , . . . , am i. Как было сказано выше, корректно задангомоморфизм ϕ : G → L, при котором xi 7→ ai . Поскольку a1 , . . . , am порождают G, этот гомоморфизм будет сюръективен,ведь мы перебираем все строки вида (n1 , . . .

, nm ). Тогда по теореме о гомоморфизме группполучаем G Ker ϕ ∼= L. Теорема 3.6 (О согласованных базах). Пусть G — САГ ранга m и H — ненулевая подгруппа в G. ТогдаH — САГ ранга l 6 m, причём существуют согласованные базы X = {x1 , . . . , xm } группы G и Y = {y1 , . . . , yl }группы H, такие, что yi = ni xi . Будем вести индукцию по рангу m САГ. При m = 1 доказывать нечего: G ∼= Z = h1i∞ , а посколькулюбая подгруппа H ⊂ Z имеет строение nZ, то для неё базисом будет вектор y1 = n · 1.141◦ Рассмотрим h = a1 x1 + . .

. + am xm , для которого a1 ∈ N реализует минимально возможный коэффициентпо всем ai и по всем возможным базам группы G.2◦ Рассмотрим другой элемент h′ = a′1 x1 + . . .+ a′m xm ∈ H. Докажем, что a1 a′1 . В самом деле, допустим, чтоэто не так, поделим с остатком: a′1 = a1 q + r. Рассмотрим элемент h′ − qh = rx1 + . . . .